GTM202 | 拓扑流形笔记

Introduction to Topological Manifolds (GTM202) by John M. Lee.

第一部分: 拓扑空间与拓扑流形的基本性质.

1. 拓扑空间: 拓扑空间, 连续性, Hausdorff 与可数性, 拓扑流形.
2. 构造新的拓扑空间: 拓扑空间的构造 (子空间, 积, 不交并, 商, 黏着), 拓扑群与群作用.
3. 连通性: 连通和道路连通, 分量, 局部的连通性.
4. 紧致性: 紧致性, 局部紧性.
5. 紧致性: 仿紧性与单位分解, 逆紧映射.

第二部分: 胞腔复形与低维流形的分类.

6. 胞腔复形: 胞腔复形与 CW 复形, CW 复形的拓扑性质.
7. 胞腔复形: 一维流形的分类, 单纯复形.
8. 紧曲面: 紧曲面的连通和 & 多边形表示.
9. 紧曲面: 紧曲面的分类定理, 欧拉示性数与可定向性.

第三部分: 同伦与基本群.

10. 同伦与基本群: 同伦与道路同伦; 基本群的定义, 高维球面与流形的基本群.
11. 同伦与基本群: 基本群的函子性 & 拓扑不变性; 同伦等价, 基本群的同伦不变性; 高阶同伦群简介.
12. 圆: 圆的提升性质, 基本群, 映射度理论及其应用.
13. 一些群论: 自由积, 自由群, 群的表现, 自由 Abel 群.
14. Siefert-Van Kampen 定理: 定理的内容与应用 (楔和, 图, CW 复形, 紧曲面).
    • 附: Siefert-Van Kampen 定理的证明.
15. 覆叠映射: 覆叠映射的定义, 提升性质与一般提升问题.
16. 覆叠映射
17. 群作用与覆叠映射
18. 群作用与覆叠映射

第四部分: 同调.