GTM202 | 14 Seifert–Van Kampen 定理

GTM202 (Introduction to Topological Manifolds) Chapter 10 的笔记.

32 The Seifert–Van Kampen Theorem

本章中, 我们介绍一个计算基本群的重要定理, 可以用来计算诸如 CW 复形, 紧曲面等空间的基本群.

这个重要定理, 即 Seifert–Van Kampen 定理, 通过考察拓扑空间 $X$ 的子空间的基本群, 进而给出全空间的基本群.

32.1 Statement of the theorem

设拓扑空间 $X$ 的开覆盖 $\{U,V\}$, 设 $U,V,U\cap V$ 道路连通, 并且我们能计算这三个子集的基本群. 我们会发现, $X$ 中的任一环路道路同伦于若干环路的积, 积的每一项都在 $U$ 或者 $V$ 中. 这样的一条道路可以代表 ${\pi }_1(U)\ast {\pi }_1(V)$ 中某的群元. 然而, ${\pi }_1(U\cap V)$ 中的环路在自由积群中被视作不同的群元 (分别作为 ${\pi }_1(U)$ 和 ${\pi }_1(V)$ 的群元参与自由积), 因此我们还需要在此基础上商去某些关系.

下面我们给出定理的严谨叙述.

设 $X$ 为拓扑空间, $\{U,V\}$ 是 $X$ 的开覆盖, 且 $U\cap V\ne \mathrm{\varnothing }$. 任取基点 $p\in U\cap V$. 我们有四个包含映射 $$UkU\cap VijXVl$$ 它们诱导出基本群同态 $${\pi }_1(U,p)k_{\ast }{\pi }_1(U\cap V,p)i_{\ast }{j}_{\ast }{\pi }_1(X,p){\pi }_1(V,p)l_{\ast }$$ 下面将 ${\pi }_1(U)\ast {\pi }_1(V)$ 插入这个交换图. 根据自由积的泛性质, 同态 $k_{\ast }$ 和 $l_{\ast }$ 唯一地诱导出同态 $\mathrm{\Phi }:{\pi }_1(U)\ast {\pi }_1(V)\to {\pi }_1(X)$, 使得下图的右半部分交换: $${\pi }_1(U,p)k_{\ast }{\pi }_1(U\cap V,p)i_{\ast }{j}_{\ast }{\pi }_1(U,p)\ast {\pi }_1(V,p)\mathrm{\Phi }{\pi }_1(X,p){\pi }_1(V,p)l_{\ast }$$

Claim 32.1 (Seifert–Van Kampen 定理) 设拓扑空间 $X$ 的开覆盖 $\{U,V\}$, 满足 $U,V,U\cap V$ 道路连通. 令 $p\in U\cap V$, 定义子集 $C\subset {\pi }_1(U,p)\ast {\pi }_1(V,p)$, $$C=\{(i_{\ast }\gamma )(j_{\ast }\gamma {)}^{-1}\mid \gamma \in {\pi }_1(U\cap V,p)\}.$$ 则如上定义的 $\mathrm{\Phi }$ 是满同态, 且 $\ker \mathrm{\Phi }$ 等于 $C$ 在 ${\pi }_1(U,p)\ast {\pi }_1(V,p)$ 中的正规闭包. 因此, $${\pi }_1(X,p)\cong ({\pi }_1(U,p)\ast {\pi }_1(V,p))/\bar{C}.$$ 特别地, ${\pi }_1(X,p)$ 由 ${\pi }_1(U,p)$ 和 ${\pi }_1(V,p)$ 在 $\mathrm{\Phi }$ 下的像生成.

• 利用融合自由积的语言, ${\pi }_1(X,p)$ 同构于 ${\pi }_1(U,p)$ 和 ${\pi }_1(V,p)$ 沿着 ${\pi }_1(U\cap V,p)$ 的融合自由积: $${\pi }_1(X,p)\cong {\pi }_1(U,p){\ast }_{{\pi }_1(U\cap V,p)}{\pi }_1(V,p),$$ 其中, 融合自由积定义中的群同态由 $i_{\ast }$ 和 $j_{\ast }$ 给出.

• Seifert–Van Kampen 定理的证明在本章最后给出. 实际上, 该定理能推广到任意开覆盖 $\{U_{\alpha }\}$ 的情形.

在后面几节的大多数应用中, 我们只需要考虑定理的特殊情况.

Claim 32.2 (Seifert–Van Kampen, 交集单连通) 假设同 Seifert–Van Kampen, 若还有 $U\cap V$ 单连通, 则 $\mathrm{\Phi }$ 是 ${\pi }_1(U,p)\ast {\pi }_1(V,p)$ 与 ${\pi }_1(X,p)$ 的群同构. 如果 $U,V$ 的基本群有表现 $$\begin{array}{rl}{\pi }_1(U,p)& \cong ⟨{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\mid {\rho }_1,\dots ,{\rho }_r⟩,\\ {\pi }_1(V,p)& \cong ⟨{\beta }_1,\dots ,{\beta }_m\mid {\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_s⟩,\end{array}$$ 则 $X$ 的基本群有表现 $${\pi }_1(X,p)\cong ⟨{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_m\mid {\rho }_1,\dots ,{\rho }_r,{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_s⟩.$$

另一种特殊情况是其中一个开集 (比如 $U$) 单连通的情况. 此时, ${\pi }_1(U,p)$ 平凡, $i_{\ast },k_{\ast }$ 都是平凡同态, 交换图中央的 ${\pi }_1(U,p)\ast {\pi }_1(V,p)$ 变成了 ${\pi }_1(V,p)$. 因此整个交换图化简为 $${\pi }_1(U\cap V,p)\stackrel{j_{\ast }}{⟶}{\pi }_1(V,p)\stackrel{l_{\ast }}{⟶}{\pi }_1(X,p).$$

Claim 32.3 (Seifert–Van Kampen, 一个开集单连通) 假设同 Seifert–Van Kampen, 若还有 $U$ 单连通, 则包含映射 $l:V\hookrightarrow X$ 诱导群同构 $${\pi }_1(X,p)\cong {\pi }_1(V,p)/\overline{j_{\ast }{\pi }_1(U\cap V,p)},$$ 其中 $\overline{j_{\ast }{\pi }_1(U\cap V,p)}$ 是 $j_{\ast }{\pi }_1(U\cap V,p)$ 在 ${\pi }_1(V,p)$ 中的正规闭包. 若 $V,U\cap V$ 的基本群有表现 $$\begin{array}{rl}{\pi }_1(V,p)& \cong ⟨{\beta }_1,\dots ,{\beta }_m\mid {\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_s⟩,\\ {\pi }_1(U\cap V,p)& \cong ⟨{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_p\mid {\tau }_1,\dots ,{\tau }_t⟩,\end{array}$$ 则 $X$ 的基本群有表现 $${\pi }_1(X,p)\cong ⟨{\beta }_1,\dots ,{\beta }_m\mid {\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_s,v_1,\dots ,v_p⟩,$$ 其中 $v_a$ 是 $j_{\ast }{\gamma }_a\in {\pi }_1(V,p)$ 关于生成元 $\{{\beta }_i\}$ 的表达式.

32.2 Applications

32.2.1 Wedge sums

回忆拓扑空间的楔和/一点并: 设带基点的拓扑空间 $(X_j,p_j)$, $j=1,\dots ,n$, 其楔和 $X_1\vee \cdots \vee X_n$ 定义为 $\coprod _i{X}_i$ 商去等价关系 $p_1\sim \cdots \sim p_n$. 楔和的基点 $\ast$ 是 $p_j$ 所在的等价类. 记商映射 $q:\coprod _j{X}_j\to \underset{j}{\bigvee }{X}_j$.

空间 $X_j$ 可以视作 $\underset{i}{\bigvee }{X}_i$ 的子空间. 考虑复合映射 ${\iota }_j:X_j\hookrightarrow \coprod _i{X}_i\stackrel{q}{\to }\underset{i}{\bigvee }{X}_i$, 这是一个连续的单射, 容易验证它还是开映射, 因此 ${\iota }_j$ 是拓扑嵌入, $X_j$ 可以和 $\underset{i}{\bigvee }{X}_i$ 的子空间 ${\iota }_j(X_j)$ 认同.

为了利用 Seifert–Van Kampen 定理计算楔和的基本群, 我们需要对基点提出一个要求. 点 $p\in X$ 称为非退化基点 (nondegenerate base point), 若 $p$ 的某邻域 $U$ 能够强形变收缩到 $\{p\}$.

• 流形的所有点都是非退化基点, 因为坐标开球可以强形变收缩到其中任意一点.

Claim 32.4 (楔和的非退化基点) 若 $p_j\in X_j$ 是非退化基点, 则 $\ast$ 是 $\underset{j}{\bigvee }{X}_j$ 的非退化基点.

Pf 对于 $p_i$, 有强形变收缩 $r_i:W_i\to \{p_i\}$, 设同伦 ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{W_i}\sim {\iota }_{\{p_i\}}\circ r_i$ 由 $H_i:W_i\times I\to W_i$ 给出. 定义不交并空间上的同伦 $H:(\coprod _i{W}_i)\times I\to \coprod _i{W}_i$, 定义为 $H{|}_{W_i\times I}:=H_i$ (根据不交并的特征性质, 这是连续映射).

商映射 $q$ 在饱和开集 $\coprod _i{W}_i$ 上的限制是 $\coprod _i{W}_i$ 到 $W:=q(\coprod _i{W}_i)$ 的商映射, 其中 $W$ 是基点 $\ast$ 的一个邻域. 因为 $I$ 局部紧, 乘积 $q\times {\mathrm{i}\mathrm{d}}_I:(\coprod _i{W}_i)\times I\to W\times I$ 是商映射. 因为 $q\circ H$ 在 $q\times {\mathrm{i}\mathrm{d}}_I$ 的纤维上常值, 它下降到连续映射 $\tilde{H}:W\times I\to W$, 这给出了 $W$ 到 $\{\ast \}$ 的强形变收缩.

Claim 32.5 (楔和的基本群) 设带有非退化基点的拓扑空间 $(X_j,p_j)$, $j=1,\dots ,n$, 则 $$({\iota }_j{)}_{\ast }:{\pi }_1(X_j,p_j)\to {\pi }_1(X_1\vee \cdots \vee X_n,\ast )$$ 诱导出的群同态 $$\mathrm{\Phi }:{\pi }_1(X_1,p_1)\ast \cdots \ast {\pi }_1(X_n,p_n)\to {\pi }_1(X_1\vee \cdots \vee X_n,\ast )$$ 是群同构.

Pf 用归纳法. 下面我们证明 $X_1\vee X_2$ 的情形. 对于 $n>2$, 对 $X_1$ 和 $X_2\vee \cdots \vee X_n$ 应用下面的证明 (上面的引理保证这两个空间都有非退化基点).

考虑 $X_1\vee X_2$. 需要注意, 直接对 $U=X_1,V=X_2$ 应用 SVK 定理是不对的, 因为它们不是开集.

取邻域 $W_i\subset X_i$ 使得它能强形变收缩到 $\{p_i\}$, 令 $U=q(X_1⨿W_2)$, $V=q(X_2⨿W_1)$, 其中 $q:X_1⨿X_2\to X_1\vee X_2$ 是商映射. 因为 $X_1⨿W_2$ 和 $X_2⨿W_1$ 都是饱和开集, $q$ 将它们映到开集, 所以 $U,V,U\cap V$ 是 $X_1\vee X_2$ 中的开集.

一个关键的观察是: 由基点的非退化性, 有三组同伦等价 $$\begin{array}{rl}\{\ast \}& \hookrightarrow U\cap V,\\ X_1& \hookrightarrow U,\\ X_2& \hookrightarrow V,\end{array}$$ 其中每一组的左边是右边的强形变收缩.

因为 $U\cap V$ 可缩, 进而单连通, 应用 Claim 32.2, 有群同构 $$\mathrm{\Phi }:{\pi }_1(U,\ast )\ast {\pi }_1(V,\ast )\stackrel{\sim }{\to }{\pi }_1(X,\ast ),$$ 另外, 单射 ${\iota }_1:X_1\hookrightarrow U$ 和 ${\iota }_2:X_2\hookrightarrow V$ 是同伦等价, 因此有基本群同构 $$\begin{array}{rlrl}({\iota }_1{)}_{\ast }:{\pi }_1(X_1,\ast )& \stackrel{\sim }{\to }{\pi }_1(U,\ast ),& ({\iota }_2{)}_{\ast }:{\pi }_1(X_2,\ast )& \stackrel{\sim }{\to }{\pi }_1(V,\ast ),\end{array}$$ 将它们复合便得到想要的结果. 具体的过程见交换图: $${\pi }_1(X_1,\ast )({\iota }_1{)}_{\ast }\sim {\pi }_1(U,\ast )k_{\ast }{\pi }_1(U,\ast )\ast {\pi }_1(V,\ast )\mathrm{\Phi }\sim {\pi }_1(X,\ast ){\pi }_1(X_2,\ast )({\iota }_2{)}_{\ast }\sim {\pi }_1(V,\ast )l_{\ast }$$

一些例子:

• (圆束) ${\mathbb{S}}^1\vee \cdots \vee {\mathbb{S}}^1$ 的基本群同构于 $\mathbb{Z}\ast \cdots \ast \mathbb{Z}$. 如果记 $[{\omega }_i]$ 是第 $i$ 个 ${\mathbb{S}}^1$ 的基本群的生成元, 则圆束的基本群是 $[{\omega }_1],\dots ,[{\omega }_n]$ 生成的自由群 $⟨[{\omega }_1],\dots ,[{\omega }_n]⟩$.

  • 特别地, 8 字形空间 ${\mathbb{S}}^1\vee {\mathbb{S}}^1$ 的基本群是由两个基本环路 $[{\omega }_1],[{\omega }_2]$ 生成的自由群, 一个群元形如 $$[{\omega }_1{]}^{i_1}[{\omega }_2{]}^{j_1}\cdots [{\omega }_1{]}^{i_m}[{\omega }_2{]}^{j_m}.$$

• (去掉 $n$ 个点的平面) 设 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{p_1,\dots ,p_n\}$ 是去掉 $n$ 的点的平面, 它可以强形变收缩到 ${\mathbb{S}}^1\vee \cdots \vee {\mathbb{S}}^1$ (每个 ${\mathbb{S}}^1$ 包住一个 $p_i$). 因此 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{p_1,\dots ,p_n\}$ 的基本群同构于 ${\mathbb{Z}}^{\ast n}$.

• (去掉 $n$ 个点的球面) 注意到去掉一个点的球面 ${\mathbb{S}}^2\setminus \{p_0\}$ 同胚于平面 ${\mathbb{R}}^2$ (球极投影), 因而去掉 $n$ 个点的球面同胚于去掉 $(n-1)$ 个点的 ${\mathbb{R}}^2$, 其基本群同构于 ${\mathbb{Z}}^{\ast (n-1)}$.

• (圆的另一种楔和) 记 $X_n$ 是 $\mathbb{C}$ 中以 $\{0,2,\dots ,2n-2\}$ 为圆心的单位元的并. $X_{n+1}$ 可以看作 $X_n$ 与单位圆的楔和, 基点为 $2n-1$.

  • 记 ${\omega }_k$ 是第 $k$ 个圆周上以 $2k-1$ 为基点, 逆时针转一圈的环路. 记 ${\tilde{\omega }}_k$ 是第 $k$ 个圆周上以 $2k-3$ 为基点, 顺时针转一圈的环路.

  • 记 ${\gamma }_{k,l}$ 是 $X_n$ 中连接 $x$ 轴上 $k,l$ 两点的最短道路, 规定其沿着上半圆周.

  • 可以归纳地证明, $X_n$ 以 $1$ 为基点的基本群是 $${\pi }_1(X_n,1)=⟨[{\omega }_1],[{\tilde{\omega }}_2],[{\gamma }_{1,3}\ast {\tilde{\omega }}_3\ast {\gamma }_{3,1}],\dots ,[{\gamma }_{1,2n-3}\ast {\tilde{\omega }}_n\ast {\gamma }_{2n-3,1}]⟩.$$ 生成元的几何含义是明显的: ${\gamma }_{1,2n-3}\ast {\tilde{\omega }}_n\ast {\gamma }_{2n-3,1}$ 表示先从 $1$ 沿着上半圆周走到 $2n-3$, 接着绕第 $n$ 个圆一圈, 再沿着上半圆周走回 $1$ 的环路 (橙色).

  

32.2.2 Graphs

在 CW 复形一章中, 我们介绍了图的概念. 一个图 (graph) 是 $0$ 或 $1$ 维的 CW 复形. 其 $0$ 维胞腔称为顶点 (vertices), $1$ 维胞腔称为边 (edges). 根据定义, 对于任意一条边 $e$, $\bar{e}\setminus e$ 包含 $1$ 或 $2$ 个顶点. 对于包含于 $\bar{e}$ 的顶点 $v$, 我们称 $v$ 和 $e$ 是关联的 (incident). 一个子图 (subgraph) 是图的子复形. 因此, 若一个子图包含一条边, 则它必须包含与之关联的顶点.

只与一个顶点关联的边称为自环 (self-loop). 若顶点 $v_1,v_2$ (可以相同) 同时与多条边关联, 则称这些边为重边 (multiple edges). 没有自环, 也没有多重边的图称为简单图 (simple graph). (有的图论文献以 "图" 代指简单图, 以 "重图" 代指这里一般意义上的图.)

一条路径 (edge path) 指的是有限序列 $(v_0,e_1,v_1,\dots ,v_{k-1},e_k,v_k)$, 其中顶点和边交替出现, 以点起止, 并且满足对任意 $i=1,\dots ,k$, $\{v_{i-1},v_i\}$ 恰好是与边 $e_i$ 关联的顶点 ($v_{i-1}=v_i$ 当且仅当 $e_i$ 是自环). 顶点 $v_0,v_k$ 分别称为起点 (initial vertex) 和终点 (terminal vertex). 平凡路径 (trivial edge path) 是单顶点的路径 $(v_0)$. 一条路径称为闭的 (closed), 若 $v_0=v_k$; 称为简单的 (simple), 若其中的顶点 (除了 $v_0,v_k$) 和边都只出现一次.

• 图 $\mathrm{\Gamma }$ 是连通的, 当且仅当任给 $v,v^{\prime }\in \mathrm{\Gamma }$, 存在连接 $v,v^{\prime }$ 的路径. 在连通图中, 任意两点可以由简单路径相连.

一个环 (cycle) 是非平凡的简单闭路径. 一棵树 (tree) 是不含有环的连通图.

• 一棵树中不能含有重边或自环. 若 $e$ 是与顶点 $v$ 关联的自环, 则 $(v,e,v)$ 是一个环. 若 $e,e^{\prime }$ 是与顶点 $v,v^{\prime }$ 关联的重边, 则 $(v,e,v^{\prime },e^{\prime },v)$ 是一个环. 因此, 树是一个简单图.
• 一棵树的顶点数总是比边数多 $1$.

Claim 32.6 任意有限树都是可缩的, 因此是单连通的.

图 $\mathrm{\Gamma }$ 的一棵生成树 (spanning tree) 是包含了 $\mathrm{\Gamma }$ 的所有顶点的一棵子树. 图 $\mathrm{\Gamma }$ 的一棵极大子树 (maximal tree) 是不真包含于其他子树的子树.

Claim 32.7 任意有限连通图都包含一棵生成树.

设 $\mathrm{\Gamma }$ 是一个有限连通图, 下面我们尝试构造其基本群的一组生成元. 取顶点 $v$ 为基点, 令 $T\subset \mathrm{\Gamma }$ 为一棵生成树. 设 $e_1,\dots ,e_n$ 是不在 $T$ 中的边, 对于 $e_i$, 记与之关联的顶点为 $\{w_i,w_i^{\prime }\}$. 我们这样构造一条以 $v$ 为基点的环路 (如下图): ① 在 $T$ 中选择一条从 $v$ 到 $w_i$ 的道路 $g_i$, ② 沿着 $e_i$ 从 $w_i$ 走到 $w_i^{\prime }$, ③ 在 $T$ 中选择一条从 $w_i^{\prime }$ 到 $v$ 的道路 $h_i$. 记这条环路为 $f_i$. 注意 $[f_i]$ 与 $g_i,h_i$ 的选取无关: 因为 $T$ 是单连通的, 所以任意起点与终点相同的道路是道路同伦的.

Claim 32.8 (有限图的基本群) 有限连通图 $\mathrm{\Gamma }$ 的基本群 ${\pi }_1(\mathrm{\Gamma },v)$ 是以上 $[f_1],\dots ,[f_n]$ 生成的自由群.

• 记 $E,V$ 分别为 $\mathrm{\Gamma }$ 的边数, 顶点数, 则其生成树的边数为 $(V-1)$, 因此 $n=E-V+1$, 于是 $${\pi }_1(\mathrm{\Gamma },v)\cong \underset{n=E-V+1}{\underbrace{\mathbb{Z}\ast \cdots \ast \mathbb{Z}}}.$$

• 有限连通图 $\mathrm{\Gamma }$ 的 Euler 示性数定义为 $\chi (\mathrm{\Gamma }):=V-E$. 图 $\mathrm{\Gamma }$ 的基本群的秩为 $1-\chi (\mathrm{\Gamma })$, 因此 Euler 示性数是有限连通图的同伦不变量.

Pf 对 $n$ (即 $\mathrm{\Gamma }\setminus T$ 的边数) 进行归纳. 当 $n=0$, $\mathrm{\Gamma }=T$ 是单连通的, 基本群平凡.

当 $n=1$, 我们要证明 ${\pi }_1(\mathrm{\Gamma },v)$ 是 $[f_1]$ 生成的无穷循环群. 根据假设 $\mathrm{\Gamma }$ 中有环 $(v_0,e_1,\dots ,e_m,v_m)$, 并且 $\mathrm{\Gamma }\setminus T$ 中的唯一一条边 $e$ 在这个环中 (否则 $T$ 中有环). 包含 $\{v_0,e_1,\dots ,e_m,v_m\}$ 的子图 $C\subset \mathrm{\Gamma }$ 同胚于 ${\mathbb{S}}^1$. 我们下面证明包含映射 $C\hookrightarrow \mathrm{\Gamma }$ 是同伦等价.

设 $K$ 是 $\mathrm{\Gamma }\setminus T$ 中的所有边及其顶点构成的子图. $K$ 的任一分量 $K_i$ 是 $\mathrm{\Gamma }$ 的连通子图, 且包含于 $T$, 进而是一棵树 (下图). 还需注意到 $K_i$ 与 $C$ 有公共顶点 $y_i$ (因为 $\mathrm{\Gamma }$ 连通), 并且该 $y_i$ 是唯一的: 假如 $K_i\cap C$ 有两个点 $y_i,y_i^{\prime }$, 我们就能找到 $T$ 中的一个环 (在 $K_i$ 中从 $y_i$ 走到 $y_i^{\prime }$, 再在 $C$ 中从 $y_i^{\prime }$ 走到 $y_i$, 且不穿过 $e$), 这是不可能的.

现在可以定义 $\mathrm{\Gamma }\to C$ 的强形变收缩了: 在每个 $K_i$ 上, 令 $K_i$ 强形变收缩到 $y_i$; 在 $C$ 上取恒等映射. 根据 gluing lemma, 这是强形变收缩, 进而 $\mathrm{\Gamma }\sim {\mathbb{S}}^1$.

最后我们证明 $[f_1]$ 生成 ${\pi }_1(\mathrm{\Gamma },v)$. 取顶点 $z\in C$, 从 $z$ 出发, 依次遍历 $C$ 的边的一条道路 $a$ 显然道路同伦于 ${\mathbb{S}}^1$ 的标准环路 (或其逆), 可作为 ${\pi }_1(\mathrm{\Gamma },z)$ 的生成元. 一条从 $v$ 到 $z$ 的道路 $b$ 给出了基点变换 ${\mathrm{\Phi }}_b:{\pi }_1(\mathrm{\Gamma },z)\stackrel{\sim }{\to }{\pi }_1(\mathrm{\Gamma },v)$, 因此 ${\pi }_1(\mathrm{\Gamma },v)$ 的一个生成元是 ${\mathrm{\Phi }}_b[a]=[\overline{b}\ast a\ast b]$, 这是一条 ① 从 $v$ 到 $w_1$, ② 走过 $e$, ③ 从 $w_1^{\prime }$ 回到 $v$ 的环路, 所以道路同伦于 $f_1$ (因为 $f_1$ 的道路类不依赖于 ① 和 ③ 道路的选取). 因此我们完成了对 $n=1$ 情形的证明.

假设命题当 $n\ge 1$ 时正确, 下面考虑 $n+1$ 的情形. 对于不在 $T$ 中的边 $e_1,\dots ,e_{n+1}$, 取 $x_i\in e_i$, 令 $U=\mathrm{\Gamma }\setminus \{x_1,\dots ,x_n\}$, $V=\mathrm{\Gamma }\setminus \{x_{n+1}\}$ 为 $\mathrm{\Gamma }$ 中的开集. 容易构造强形变收缩 (如下图) $$U\cap V\sim T,U\sim T\cup e_{n+1},V\sim \mathrm{\Gamma }\setminus e_{n+1}.$$ 根据 $n=1$ 的情形, ${\pi }_1(U,v)=⟨[f_{n+1}]⟩$; 根据归纳假设, ${\pi }_1(V,v)=⟨[f_1],\dots ,[f_n]⟩$. 因为 $U\cap V$ 单连通, 由 SVK 的特殊情形, ${\pi }_1(\mathrm{\Gamma },v)$ 同构于这两个自由群的自由积, 进而同构于 $[f_1],\dots ,[f_{n+1}]$ 生成的自由群.

32.2.3 CW complexes

向拓扑空间 $X$ 粘贴一个圆盘 $D$, 其基本群会 "变小": 贴映射 $\phi :\partial D\to X$ 是一条环路的圆代表元, 在粘贴后, 这条环路在 $D$ 中可以缩成一点, 是零伦的.

Claim 32.9 (粘贴一个圆盘) ...

Claim 32.10 (粘贴一个 $n$ 维胞腔) 设 $X$ 道路连通, $\tilde{X}$ 是向 $X$ 粘贴一个 $n\ge 3$ 维胞腔得到的空间. 则包含映射 $X\hookrightarrow \tilde{X}$ 诱导出基本群同构.

Claim 32.11 (有限 CW 复形的基本群) ...

32.2.4 Compact surfaces

通过对标准曲面基本群的计算, 我们能够证明曲面分类定理中的 "唯一性" (即证明标准曲面互不同胚), 进而完成分类定理的证明.

Claim 32.12 (多边形表示的基本群) 设拓扑空间 $M$ 有单字的多边形表示 $⟨a_1,\dots ,a_n\mid W⟩$, 其中所有点都认同, 则 ${\pi }_1(M)$ 有表现 $⟨a_1,\dots ,a_n\mid W⟩$.

Claim 32.13 (紧曲面的基本群) 标准曲面的基本群有如下表现:

• ${\pi }_1({\mathbb{S}}^2)\cong ⟨\mathrm{\varnothing }\mid \mathrm{\varnothing }⟩$ (平凡群).
• ${\pi }_1({\mathrm{\Sigma }}_k)\cong ⟨{\beta }_1,{\gamma }_1,\dots ,{\beta }_k,{\gamma }_k\mid {\beta }_1{\gamma }_1{\beta }_1^{-1}{\gamma }_1^{-1}\cdots {\beta }_k{\gamma }_k{\beta }_k^{-1}{\gamma }_k^{-1}=e⟩$.
• ${\pi }_1({\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_l)\cong ⟨{\beta }_1,\dots ,{\beta }_l\mid {\beta }_1^2\cdots {\beta }_l^2=e⟩$.

带边版本:

• ${\pi }_1({\mathbb{S}}_m^2)\cong ⟨c_1,\dots ,c_m⟩$ (自由群).
• ${\pi }_1({\mathrm{\Sigma }}_{k,m})\cong ⟨{\beta }_1,{\gamma }_1,\dots ,{\beta }_k,{\gamma }_k,c_1,\dots ,c_m\mid {\beta }_1{\gamma }_1{\beta }_1^{-1}{\gamma }_1^{-1}\cdots {\beta }_k{\gamma }_k{\beta }_k^{-1}{\gamma }_k^{-1}=c_1\cdots c_m⟩$.
• ${\pi }_1({\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_{l,m})\cong ⟨{\beta }_1,\dots ,{\beta }_l,c_1,\dots ,c_m\mid {\beta }_1^2\cdots {\beta }_l^2=c_1\cdots c_m⟩$.

Pf 先看无边版本. 我们之前就讨论过, ${\mathbb{S}}^2$ 的基本群是平凡的, 因为它是 ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 的强形变收缩. 基本曲面 ${\mathrm{\Sigma }}_k$ 和 ${\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_l$ 的基本群从 Claim 32.12 立刻得到 (它们的标准表示中, 所有点都认同).

带边版本...

特别地, ${\pi }_1({\mathbb{T}}^2)={\pi }_1({\mathrm{\Sigma }}_1)\cong ⟨\beta ,\gamma \mid \beta \gamma =\gamma \beta ⟩\cong {\mathbb{Z}}^2$, 与我们之前得到的结果一致. 对于实射影平面, 我们有 ${\pi }_1({\mathbb{RP}}^2)\cong ⟨\beta \mid {\beta }^2=e⟩\cong \mathbb{Z}/2$.

Pf (紧连通曲面分类定理, 剩下的部分) 首先注意到 ${\mathbb{S}}^2$ 不可能同胚于 ${\mathrm{\Sigma }}_k,{\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_k$ (对任意 $k>0$), 因为前者基本群平凡, 而后两者基本群非平凡. 为了区分后两者, 我们考虑其基本群的交换化. 由 Claim 31.14, 我们得到 ($k,l>0$) $$\begin{array}{rl}\mathrm{A}\mathrm{b}({\pi }_1({\mathrm{\Sigma }}_k))& \cong {\mathbb{Z}}^{2k},\\ \mathrm{A}\mathrm{b}({\pi }_1({\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_l))& \cong {\mathbb{Z}}^{l-1}\times \mathbb{Z}/2.\end{array}$$ 注意 ${\mathbb{Z}}^{l-1}\times \mathbb{Z}/2$ 含有一个非平凡的挠元, 而 ${\mathbb{Z}}^{2k}$ 是无挠的, 因此 ${\pi }_1({\mathrm{\Sigma }}_k)$ 与 ${\pi }_1({\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_l)$ 的交换化不同构, 它们本身也不同构. 因此 ${\mathrm{\Sigma }}_k$ 不同胚于 ${\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_l$.

注意 ${\pi }_1({\mathrm{\Sigma }}_k)$ 的交换化的秩为 $2k$, 因此, 亏格 $k$ 可以被基本群的交换化确定, 进而是拓扑不变量. 换言之, 对于 $k\ne k^{\prime }$, ${\mathrm{\Sigma }}_k$ 与 ${\mathrm{\Sigma }}_{k^{\prime }}$ 不同胚.

同样地, ${\pi }_1({\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_l)$ 的交换化的秩为 $l-1$, 亏格 $l$ 也是拓扑不变量. 对于 $l\ne l^{\prime }$, ${\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_l$ 与 ${\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_{l^{\prime }}$ 不同胚.

要证明 ${\mathbb{S}}_m^2,{\mathrm{\Sigma }}_{k,m},{\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_{k,m}$ 互不同胚, 用到 "可定向性" 是拓扑不变量这一事实. 这个事实的证明 (Claim 23.10) 没有用到分类的唯一性.

Pf (紧连通带边曲面分类定理, 剩下的部分) 注意边界的连通分量数 $m$ 是拓扑不变量. 我们计算交换化: ($k,l,m\ge 1$) $$\begin{array}{rl}\mathrm{A}\mathrm{b}({\pi }_1({\mathbb{S}}_m^2))& \cong {\mathbb{Z}}^{m-1},\\ \mathrm{A}\mathrm{b}({\pi }_1({\mathrm{\Sigma }}_{k,m}))& \cong {\mathbb{Z}}^{2k+m-1},\\ \mathrm{A}\mathrm{b}({\pi }_1({\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_{l,m}))& \cong {\mathbb{Z}}^{l+m-1}.\end{array}$$ 因此交换化可以被用来区分大多数情况, 唯一的例外是: $$\mathrm{A}\mathrm{b}({\pi }_1({\mathrm{\Sigma }}_{k,m}))\cong \mathrm{A}\mathrm{b}({\pi }_1({\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_{2k,m})).$$ 此时, 可以利用可定向性来区分: ${\mathrm{\Sigma }}_{k,m}$ 可定向, ${\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_{2k,m}$ 不可定向, 而可定向性是拓扑不变性!