GTM202 | 1 拓扑空间

GTM202 (Introduction to Topological Manifolds) Chapter 2 的笔记.

1 Topological Spaces

1.1 Topology

拓扑: \({\cal T}\subset P(X)\), 满足 ① \(X,\emptyset\in{\cal T}\); ② 关于有限交封闭; ③ 关于任意并封闭. \({\cal T}\) 中的集合称为开集.

• 若拓扑 \({\cal T}_1\subset{\cal T}_2\), 则称 \({\cal T}_2\) 更精细(finer)/强, \({\cal T}_1\) 更粗糙(coarser)/弱.
• 离散拓扑(最精细), 平凡拓扑(最粗糙), 度量拓扑.
• 闭集: 开集之补.
• 邻域: 包含某点/某子集的开集.

度量拓扑: 子集 \(S\subset X\) 称为开集, 若其中每一点 \(p\) 有某 \(B_r(p)\subset S\).

• \(B_r(p)\) 表示中心为 \(p\), 半径为 \(r\) 的开球; \(S_r(p)\) 表示球面.
  • 特别地, \(\R^n\) 中的单位开球记作 \(\mathbb{B}^n:=B_1(0)\), 单位球面 \(\mathbb{S}^{n-1}:=S_1(0)\).
• 离散度量 \(d(x,y)=\Cases{0,&x=y,\\1,&x\neq y}\) 给出离散拓扑.

Claim 1.1 度量 \(d,d'\) 给出同一个拓扑 \(\iff\) 对任意 \(x\in M\) 和 \(r>0\), 存在 \(r_1,r_2>0\), \[ B'_{r_1}(x)\subset B_r(x),\quad B_{r_2}(x)\subset B'_r(x). \]

• 一个充分条件: 存在常数 \(c_1,c_2>0\) 使 \(c_1d'\leq d\leq c_2d'\) (强等价度量).

1.2 Subsets and points

开集与闭集的性质.

• (de Morgan) \(\bigcup(A_\alpha^C)=(\bigcap A_\alpha)^C\) 等.

• 闭包: \(\bar{A}=\bigcap\{\textsf{包住 }A\textsf{ 的闭集}\}\), 包含 \(A\) 的最小闭集.

• 内部: \({\rm Int}A=\bigcup\{A\textsf{ 的开子集}\}\), 包含于 \(A\) 的最大开集.

• 外部: \({\rm Ext}A=(\bar{A})^C=\bigcup\{\textsf{与 }A\textsf{ 不交的开集}\}\), 与 \(A\) 不交的最大开集.

• 边界: \(\partial{A}=({\rm Int}A\cup{\rm Ext}A)^C=\bar{A}\setminus{\rm Int}A\). 边界是闭集.

  • \({\rm Int}A,\partial{A},{\rm Ext}A\) 不交地组成 \(X\), 且 \(\bar{A}={\rm Int}A\cup\partial A\). 集合 \(A\) 介于 \({\rm Int}A\) 和 \(\bar{A}\) 之间.

Claim 1.2 (内部, 外部, 闭包, 边界, 开集和闭集的刻画)

• \(x\in{\rm Int}A\iff\) 某邻域 \(U_x\subset A\).
• \(x\in{\rm Ext}A\iff\) 某邻域 \(U_x\cap A=\emptyset\).
• \(x\in\bar{A}\iff\) 任意邻域 \(U_x\cap A\neq\emptyset\).
• \(x\in\partial{A}\iff\) 任意邻域 \(U_x\cap A,U_x\cap A^C\neq\emptyset\).
• (开集刻画) \(A\) 开\(\iff A={\rm Int}A\iff\partial{A}\cap A=\emptyset\iff\) 任一点有邻域 \(U\subset A\).
• (闭集刻画) \(A\) 闭\(\iff A=\bar{A}\iff\partial{A}\subset A\iff\) 任 \(A^C\) 一点有邻域 \(U\subset A^C\).

Pf 1,2 是平凡的; 3 是 2 的否定; 4 是 (1 或 2) 的否定. 开/闭集刻画是 1-4 的推论.

极限点与孤立点.

• 极限点: \(p\) 的任意邻域 \(U\cap A\) 包含 \(p\) 以外的点. (\(p\) 可以不在 \(A\) 中)

• 孤立点: \(p\) 的某个邻域 \(U\cap A=\{p\}\). (\(p\in A\))

  • \(A\) 中的点要么是极限点, 要么是孤立点.

Claim 1.3 (闭集的极限点刻画) \(A\) 闭 \(\iff\) \(A\) 包含所有极限点.

Pf 若 \(A\) 闭, 反证, 假设极限点 \(p\notin A=\bar{A}\), 则 \(p\in{\rm Ext}A\), 于是某邻域 \(U_p\cap A=\emptyset\) 矛盾.

若 \(A\) 包含所有极限点, 反证, 假设 \(A\) 不闭, 则 \(A\subsetneq\bar A\). 取 \(p\in\bar{A}\setminus A\), 则 \(p\) 的任意邻域 \(U\cap A\neq\emptyset\). 显然 \(U\cap A\) 有 \(p\) 以外的点, 因此 \(p\) 是极限点, 然而 \(p\notin A\), 矛盾.

稠密性.

• 子集 \(A\) 在 \(X\) 中稠密 (dense), 若 \(\bar{A}=X\).

Claim 1.4 (稠密刻画) \(A\) 稠密 \(\iff\) \(X\) 任意非空开集包含 \(A\) 中的点.

Pf 若 \(A\) 稠密, 反证, 设某非空开集 \(U\cap A=\emptyset\), 则 \(U\subset{\rm Ext}A\neq\emptyset\). 但因为 \({\rm Ext}A\cap\bar{A}=\emptyset\), 其中 \(\bar{A}=X\), 矛盾.

若 \(X\) 的任意非空开集包含 \(A\) 中的点, 反证, 设 \(\bar{A}\subsetneq X\), 则 \(\bar{A}^C\) 是非空开集, 然而 \(\bar{A}^C\) 不包含 \(A\) 中的点, 与题设矛盾.

2 Convergence & Continuity

极限: 对任意 \(x\) 的邻域 \(U_x\), 存在 \(N\), 使得 \(i\geq N\Rightarrow x_i\in U_x\).

• 离散拓扑: 只有最终常值序列收敛. 平凡拓扑: 所有序列收敛到任意点.

连续: 开集的原象是开集. (闭集的原象是闭集.)

• 与度量空间中 \(\varepsilon-\delta\) 语言定义的连续性等价.

• (逆的好性质) \(f^{-1}(\bigcap U_\alpha)=\bigcap f^{-1}(U_\alpha)\), \(f^{-1}(Y\setminus A)=X\setminus f^{-1}(A)\) 等.

• 开映射: 开集映到开集.

• 闭映射: 闭集映到闭集.

Claim 2.1 (连续的局部 criterion) \(f:X\to Y\) 连续, 当且仅当, 任意一点 \(x\in X\) 有邻域 \(U\), 使得 \(f|_U\) 连续.

Pf 设 \(f\) 连续, 取 \(U=A\) 即可.

反之, 设 \(f\) 局部连续. 任给开集 \(A\subset Y\), 对于任意 \(x\in f^{-1}(A)\), 存在邻域 \(U_x\), 使得 \(f|_{U_x}\) 连续. 因此 \((f|_{U_x})^{-1}(A)=f^{-1}(A)\cap U_x\) 是开集. 注意到 \[ f^{-1}(A) = \bigcup_x f^{-1}(A)\cap U_x = \bigcup_x (f|_{U_x})^{-1}(A) \] 作为开集之并, 也是开集.

Claim 2.2 (连续映射的性质)

1. 恒等映射, 常值映射连续.
2. 连续映射的复合连续.
3. 连续映射在开集上的限制连续.

同胚映射: 双射, 双向连续.

• 若有同胚映射 \(f:X\to Y\), 则称 \(X,Y\) 同胚, 记作 \(X\cong Y\).

• (完全保持拓扑) \(f:(X_1,{\cal T}_1)\to(X_2,{\cal T}_2)\) 同胚 \(\iff f({\cal T}_1)={\cal T}_2\).

• (限制) 同胚在开集上的限制是同胚.

• (同胚判断) 若 \(f\) 连续且双射, 则 同胚 \(\iff\) 开映射 \(\iff\) 闭映射.

Claim 2.3 (开/闭/连续映射的刻画) 设 \(f:X\to Y\).

• \(f\) 闭 \(\iff\) \(f(\bar{A})\supset\overline{f(A)}\).
• \(f\) 连续 \(\iff f(\bar{A})=\overline{f(A)}\).
• \(f\) 开 \(\iff f^{-1}({\rm Int}B)\supset{\rm Int}f^{-1}(B)\).
• \(f\) 连续 \(\iff\) \(f^{-1}({\rm Int}B)\subset{\rm Int}f^{-1}(B)\).

Pf 1, \(\Leftarrow\), 任给闭集 \(A\subset X\), 则 \(f(A)=f(\bar{A})\supset\overline{f(A)}\). 然而 \(f(A)\subset\overline{f(A)}\), 于是两相等, 即 \(f(A)\) 闭. \(\Rightarrow\), 有 \(f(\bar{A})\) 是闭集, 所以 \(\overline{f(\bar{A})}=f(\bar{A})\). 注意到 \(A\subset\bar{A}\), 于是 \(\overline{f(A)}\subset \overline{f(\bar{A})}=f(\bar{A})\).

2, TODO

3, TODO

4, \(\Leftarrow\), 任给开集 \(B\subset Y\), 则 \[ f^{-1}(B)=f^{-1}({\rm Int}B)\subset{\rm Int}f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B) \] 因此上式全部取等, 进而 \(f^{-1}(B)={\rm Int}f^{-1}(B)\) 是开集, 故 \(f\) 连续. \(\Rightarrow\), 注意到 \[ f^{-1}({\rm Int}B)\subset f^{-1}(B)={\rm Int}f^{-1}(B). \]

局部同胚: 任意一点存在邻域 \(U\), 使得 \(f(U)\) 开且 \(f|_U:U\to f(U)\) 是同胚.

• 局部同胚是连续的开映射.
• 双射 + 局部同胚 = 同胚.

3 Hausdorff Spaces

拓扑不能过于粗糙.

Hausdorff 空间: 任两个点可邻域分离.

• 离散空间是 Hausdorff 的.

Claim 3.1 (充分条件) 对任意 \(p\), 存在连续函数 \(f:X\to\R\), \(f^{-1}(0)=\{p\}\), 则 \(X\) Hausdorff.

• 度量空间 Hausdorff. 对任意 \(p\), 考虑连续函数 \(d(p,-):X\to\R\) 即可.

  Pf (将 \(\R\) 的 Hausdorff 性带到 \(X\) 上) 任给 \(p\neq q\), 存在连续函数 \(f:X\to\R\), \(f^{-1}(0)=\{p\}\). 设 \(f(q)=x\neq0\), 取 \(\varepsilon=x/2\), 则 \(U_1=(-\varepsilon,\varepsilon)\) 和 \(U_2=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\) 分别是 \(f(p),f(q)\) 的不交邻域. 由连续性, \(f^{-1}(U_1),f^{-1}(U_2)\) 分别是 \(p,q\) 的不交邻域. 因此 \(X\) Hausdorff.

Claim 3.2 (Hausdorff 空间的性质)

• 有限子集是闭集.
• 序列的极限唯一.
• 若 \(p\) 是子集 \(A\) 的极限点, 则任意邻域包含 \(A\) 中无穷多个点.

Pf 1, 设 \(\{x\}\subset X\). 任给 \(y\neq x\), 存在邻域 \(U_x\cap U_y=\emptyset\), 进而 \(U_y\subset X\setminus\{p\}\), 意味着 \(X\setminus\{x\}\) 是开集, 即 \(\{x\}\) 是闭集. 有限子集是独点集的有限并, 也是闭集.

2, 设 \(x_n\) 同时收敛到 \(x\neq y\). 则存在邻域 \(U_x\cap U_y=\emptyset\). 收敛性意味着存在 \(N_x,N_y\), 当 \(i>N_x\) 时 \(x_i\in U_x\), 当 \(i>N_y\) 时 \(x_i\in U_y\). 因此 \(i>\max(N_x,N_y)\) 时有矛盾.

3, 假设 \(p\) 的邻域 \(U\) 只包含 \(A\) 中 (除 \(p\) 外) 有限个点 \(a_1,\dots,a_n\). 存在邻域 \(p\) 的邻域 \(U_i\subset U\) 和 \(a_i\) 的邻域 \(A_i\), 使得 \(U_i\cap A_i=\emptyset\). 有限交集 \(\bigcap U_i\) 也是 \(p\) 的邻域, 但是 \((\bigcap U_i)\cap A\) 不包含除 \(p\) 外任何一点, 与极限点的定义矛盾.

4 Bases & countability

拓扑不能过于精细.

4.1 Bases

拓扑基: \({\cal B}\) 任意元素是开集, \(X\) 任意开集是 \({\cal B}\) 中元素之并.

• (等价说法) 任给开集 \(U\) 和 \(p\in U\), 存在 \(B\in{\cal B}\) 使得 \(p\in B\subset U\).

Claim 4.1 (开集 basis criterion) \(U\) 中任意一点 \(p\), 存在 \(B\in{\cal B}\) 使得 \(p\in B\subset U\).

Claim 4.2 (连续 basis criterion) 任给 \(B\in{\cal B}_Y\), \(f^{-1}(B)\) 在 \(X\) 中开.

Claim 4.3 (生成拓扑) \({\cal B}\) 可以生成拓扑 (开集定义为其中任意元素的并) 当且仅当

• \(\bigcup B=X\).
• 任给 \(B_1,B_2\in{\cal B}\) 且 \(x\in B_1\cap B_2\), 存在 \(B_3\in{\cal B}\) 使得 \(x\in B_3\subset B_1\cap B_2\).

子基: 设集合 \(X\), 集合 \({\cal S}\subset{\cal P}(X)\). 令 \({\cal T}\) 包含 \(X,\emptyset\) 以及 \({\cal S}\) 中集合之有限交的任意并. 则 \({\cal T}\) 是拓扑, \({\cal S}\) 称为子基.

• \({\cal T}\) 是以 \({\cal A}\) 中集合为开集的最弱拓扑.

Claim 4.4 (连续 subbasis criterion) 任给 \(S\in{\cal S}_Y\), \(f^{-1}(S)\) 在 \(X\) 中开.

序拓扑. 设全序集 \((X,<)\), 以下列集合为子基, 生成的拓扑称为序拓扑. \[ \Align{ (a,+\infty)&=\{x\in X\mid x>a\},\\ (-\infty,a)&=\{x\in X\mid x<a\}. } \]

• \((a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\}\) 是开集, \([a,b]=\{x\in X\mid a\leq x\leq b\}\) 是闭集.

• (Hausdorff) 任给 \(x<y\), 则存在邻域不交邻域 \(U_x\cap U_y=\emptyset\).

  • 若 \(z\in(x,y)\), 取 \((-\infty,z)\) 和 \((z,+\infty)\) 即可. 若 \((x,y)=\emptyset\), 取 \((-\infty,y)\) 和 \((x,+\infty)\) 即可.

• (闭包) \(\overline{(a,b)}\subset[a,b]\), 若具有稠密性, 则取等.

  • 取 \(x\in[a,b]\), 其任意邻域 \((s,t)\), 则 \(t>x\geq a\), 因此存在 \(c\) 使得 \(t<c<a\), 即 \(c\in(s,t)\cap(a,b)\), 说明 \([a,b]=\overline{(a,b)}\).

• 线性连续统: 至少有两个元素的全序集, 且满足

  • (Dedekind 完备性) 非空有上界子集有上确界;
  • (稠密性) 任给 \(x<y\), 存在 \(z\) 使得 \(x<z<y\).

  例如, \(\R\) 是线性连续统, 它的序拓扑和度量拓扑相同.

4.2 First countability

第一可数: 任意一点存在可数邻域基.

• 邻域基: \(p\) 的任意邻域包含某 \(B\in{\cal B}_p\).

  • 度量空间中, 一点处的所有有理半径球, 构成可数邻域基.

• 嵌套邻域基: 邻域基 \((U_i)_{i=1}^\infty\) 满足 \(U_{i+1}\subset U_i\).

Claim 4.5 (嵌套邻域基引理) 第一可数空间, 任意一点存在嵌套邻域基.

Pf 若存在有限邻域基 \((V_1,\dots,V_k)\), 则令 \(U_i=V_1\cap\cdots\cap V_k\) 对任意 \(i\) 即可. 否则, 取可数邻域基 \((V_i)_{i=1}^\infty\), 令 \(U_i=\bigcap_{k=1}^iV_k\) 即可.

Claim 4.6 (序列引理) 第一可数空间 \(X\) 的子集 \(A\), 点 \(x\in X\).

• \(x\in\bar{A}\iff x\) 是 \(A\) 中某序列的极限.
• \(x\in{\rm Int}A\iff\) 任意收敛到 \(x\) 的序列最终在 \(A\) 内 (只有有限项不在 \(A\)).
• \(A\) 闭 \(\iff A\) 包含任意 \(A\) 中任意收敛序列的极限.
• \(A\) 开 \(\iff\) 任意收敛到 \(A\) 中某点的序列最终在 \(A\) 内.

• Sequences are sufficient to detect most topological properties.

Pf 1, \(\Leftarrow\) 是平凡的. 反之, 设 \(x\in\bar{A}\), 则 \(x\) 的任意邻域交 \(A\) 不空. 设 \(x\) 的嵌套邻域基 \((U_i)_{i=1}^\infty\), 则 \(U_i\cap A\neq\emptyset\), 取 \(x_i\in U_i\cap A\). 容易看出, \((x_i)_{i=1}^\infty\) 是 \(A\) 中收敛到 \(x\) 的序列.

2, \(\Rightarrow\) 是平凡的. 反之, 设任意收敛到 \(x\) 的序列最终在 \(A\) 内. 由 1, 显然 \(x\in\bar{A}\). 反证法, 假设 \(x\in\bar{A}\setminus{\rm Int}A=\partial{A}\). 设 \(x\) 的嵌套邻域基 \((U_i)_{i=1}^\infty\).

因为 \(x\in\partial{A}\), 所以 \(U_i\cap A^C\neq\emptyset\). 取 \(x_i\in U_i\cap A^C\), 则序列 \((x_i)_{i=1}^\infty\) 收敛到 \(x\). 然而 \(x_i\) 永远不在 \(A\) 中, 与题设矛盾.

3, 4 是 1, 2 的推论.

4.3 Second countability

第二可数: 存在可数拓扑基.

• 欧氏空间中, 有理点处有理半径球, 构成可数基.

Claim 4.7 (第二可数空间的性质) 设 \(X\) 第二可数, 则

• \(X\) 第一可数.
• \(X\) 有稠密的可数子集. (可分离)
• 任意开覆盖有可数子覆盖. (Lindelöf 空间)

Pf 设 \({\cal B}\) 是 \(X\) 的可数基.

1, 因为拓扑基中, 所有包含 \(p\) 的开集构成 \(p\) 的邻域基, 所以邻域基可数.

2, 在每个 \(B\in{\cal B}\) 中取一点 \(x_B\), 构成可数子集 \(A=\{x_B\mid B\in{\cal B}\}\). 任取非空开集 \(U\subset X\), 根据开集 basis criterion, 存在 \(B\in{\cal B}\) 使得 \(B\subset U\), 于是 \(x_B\in U\). 因此任意非空开集与 \(A\) 交非空, 根据稠密的刻画, \(A\) 稠密.

3, 设开覆盖 \({\cal U}\). 定义子集 \({\cal B}'\subset{\cal B}\). 对于 \(B\in{\cal B}\), 令 \(B\in{\cal B}'\) 当且仅当 \(B\) 完全包含于 \({\cal U}\) 的某开集内. 因此, 对任意 \(B\in{\cal B}'\), 存在 \(U_B\in{\cal U}\), 使得 \(B\subset U_B\). 定义 \({\cal U}'=\{U_B\mid B\in{\cal B}'\}\), 显然这是可数的.

下面证 \({\cal U}'\) 覆盖 \(X\). 任给 \(x\in X\), 存在 \(U\in{\cal U}\), 使得 \(x\in U\). 根据开集 basis criterion, 存在 \(B\in{\cal B}\), 使得 \(p\in B\subset U\). 这说明 \(B\in{\cal B}'\), 进而, 存在 \(U_B\in{\cal U}'\) 使得 \(x\in B\subset{U}_B\). 因此 \({\cal U}'\) 覆盖 \(X\).

Claim 4.8 (用开覆盖判定第二可数) 设 \(X\) 的开覆盖 \(\cal U\).

• 所有 \(U\in{\cal U}\) 的基之并构成 \(X\) 的基.
• 若 \({\cal U}\) 可数, \(U\in{\cal U}\) 第二可数, 那么 \(X\) 第二可数.

Claim 4.9 (度量空间) 设 \(M\) 为度量空间, TFAE:

• \(M\) 第二可数.
• \(M\) 可分离.
• \(M\) 是 Lindelöf 空间.

Pf 因为 1 \(\Rightarrow\) 2 且 1 \(\Rightarrow\) 3, 我们只需证明反向蕴含.

2 \(\Rightarrow\) 1, 设可数子集 \(\{p_i\mid i\in\N\}\) 在 \(M\) 中稠密. 设 \({\cal B}=\{B_{1/n}(p_i)\mid n\in\N^+,i\in\N\}\), 则 \({\cal B}\) 是可数的. 下面我们证明 \({\cal B}\) 构成 \(M\) 的基. 任取非空开集 \(S\subset M\) 和 \(x\in S\), 都存在球邻域 \(B_\varepsilon(x)\subset S\). 因为 \(\{p_i\}\) 在 \(M\) 中稠密, 所以 \(B_\varepsilon(x)\) 中含有某 \(p_i\). 只需要找到 \(B_{1/n}(p_i)\) 完全包含于 \(B_\varepsilon(x)\subset S\) 中, 进而由拓扑基的等价说法, 即证. 取 \(n\in\N^+\) 满足 \(1/n<\varepsilon+d(x,p_i)\) 即可.

3 \(\Rightarrow\) 1, 任给 \(n\in\N^+\), 考虑开覆盖 \({\cal U}_n\), 它由 \(M\) 中所有点处的 \(1/n\)-球构成. 由 Lindelöf 性, \({\cal U}_n\) 有可数子覆盖 \({\cal B}_n\). 并集 \({\cal B}=\bigcup_n{\cal B}_n\) 是可数覆盖, 下面证明它构成 \(M\) 的基.

任给非空开集 \(S\subset M\). 由开性, 对于任意 \(x\in S\), 都存在球形邻域 \(B_\varepsilon(x)\subset S\). 根据 \({\cal B}\) 的定义, 对任意 \(n\), 存在 \({\cal B}\) 中的 \(1/n\)-球包含 \(x\). 取 \(n=\lceil2/\varepsilon\rceil\), 这 \(1/n\) 球便包含于 \(B_\varepsilon(x)\subset S\). 这满足拓扑基的等价说法, 即证.

5 Topological Manifolds

局部欧氏: 给定 \(n\), 任意一点的某邻域同胚于 \(\R^n\) 的开子集.

• (等价说法) 任意一点某邻域同胚于 \(\R^n\). 任意一点某邻域同胚于 \(\R^n\) 的开球.
• 坐标域/欧氏邻域 \(U\), 坐标映射 \(\psi:U\overset\sim\to V\subset\R^n\), 坐标系 \((U,\psi)\).

拓扑流形: 局部欧氏, Hausdorff, 第二可数的拓扑空间.

• \(0\) 维流形是可数的离散拓扑空间.
• (继承) 拓扑流形的开子集是拓扑流形.

带边流形: 局部同胚于 \(\R^n\) 或 \(\H^n\) 的开子集, Hausdorff, 第二可数的拓扑空间.

• \(\H^n=\{(x_1,\dots,x_n)\mid x_n\geq0\}\). 记流形边界 \(\partial\H^n=\{x_n=0\}\), 流形内部 \({\rm Int}\H^n=\{x_n>0\}\).

  • 内部坐标系: 满足 \(\psi(U)\cap\partial\H^n=\emptyset\) 的坐标系, 可以视作 \(\psi:U\to\R^n\).
  • 边界坐标系: 满足 \(\psi(U)\cap\partial\H^n\neq\emptyset\) 的坐标系.
  • 内部点: 存在内部坐标邻域. 所有内部点组成内部 \({\rm Int}M\).
  • 边界点: 存在边界坐标邻域, 且 \(\psi(p)\in\partial\H^n\). 所有边界点组成边界 \(\partial M\).

• \(0\) 维流形都是不带边的.

• 注意: 区分拓扑边界 & 流形边界.

  • 闭球 \(\bar{\mathbb{B}}^2\) 本身视作拓扑空间, 流形边界是 \(\mathbb{S}^2\), 拓扑边界为空. 若 \(\bar{\mathbb{B}}^2\) 视作 \(\R^3\) 的子集, 拓扑边界是它本身.

Claim 5.1 (坐标球基) 流形存在由坐标球 (同胚于 \(\R^n\) 的开球) 构成的拓扑基.

Pf 任取 \(x\in M\), 取欧氏邻域 \(U,\psi\). 考虑 \(\psi(x)\in\R^n\) 的一个邻域基 \[ {\cal B}=\{\textsf{开球} B\mid \psi(x)\in B\subset\psi(U) \}. \] 令 \({\cal B}'=\psi^{-1}[{\cal B}]=\{\psi^{-1}(B)\mid B\in{\cal B}\}\), 则 \({\cal B'}\) 由坐标球组成. 任给 \(x\) 的邻域 \(V\), 则 \(V\cap U\) 是一个欧氏邻域, 且 \(\psi(V\cap U)\) 是 \(\psi(x)\) 的邻域. 因此存在 \(B\in{\cal B}\), 满足 \(B\subset\psi(V\cap U)\). 进而 \(\psi^{-1}(B)\subset V\cap U\subset V\), 这说明 \({\cal B}'\) 构成 \(x\) 的邻域基.

将每个 \(x\in M\) 的 (坐标开球组成的) 邻域基并起来, 就得到了 \(M\) 的 (坐标开球组成的) 拓扑基.

上面的证明是对内部点的. 对于边界点, 在构造 \({\cal B}\) 时, 取开球与 \(\H^n\) 之交 (坐标半球).

Claim 5.2 (维数不变性) 对于 \(m\neq n\), 空间 \(M\) 不能同时是 \(m\) 维流形和 \(n\) 维流形.

• 流形的维数是良定义的.
• 一个等价说法是, 对于 \(m\neq n\), \(\R^m\) 的开子集 \(U\) 和 \(\R^n\) 的开子集 \(V\) 不同胚.
• 当我们有了足够的拓扑工具后, 会给出维数不变性的证明. 我们现在可以证明一个特殊情况, 即 \(0\) 维的维数不变性: \(M\) 不可能同时为 \(0\) 维流形与 \(n>0\) 维流形.

Pf (零维情形) 零维的流形是离散空间, 其中每个独点集都是开集. 然而在 \(n\geq1\) 维流形中, 每一点的邻域都包含某 \(n\geq1\) 维坐标球, 其不可能是独点集.

Claim 5.3 (流形内部) \({\rm Int}M\) 是 \(M\) 的开子集, 是 \(n\) 维无边流形.

Pf 根据定义, \({\rm Int}M\) 由所有的内部坐标邻域组成, 作为开集的并, 也是开集. 取 \(M\) 的一个可数坐标覆盖, 其中所有的内部坐标系构成了 \({\rm Int}M\) 的可数坐标覆盖, 因此 \({\rm Int}M\) 局部 \(\R^n\) 且第二可数. 作为 \(M\) 的子空间, \({\rm Int}M\) Hausdorff, 故构成 \(n\) 维无边流形.

Claim 5.4 (边界不变性) 流形边界 \(\partial M\) 和流形内部 \({\rm Int}M\) 交集为空, 并集为 \(M\). (之后给出证明.)

• 流形的边界是良定义的.

Claim 5.5 (边界) \(\partial M\) 是 \(M\) 的闭子集, 且 \(M\) 是一个无边流形当且仅当 \(\partial{M}=\emptyset\).

Pf 根据边界不变性, \(\partial{M}=M\setminus{\rm Int}M\), 其中流形内部是开集, 所以边界闭.

若 \(M\) 无边, 则任意点都在某内部坐标系内, 故 \(M={\rm Int}M\). 反之, 若 \(\partial{M}=\emptyset\), 则 \(M={\rm Int}M\), 是一个无边流形.

流形/不是流形的例子. (更多例子之后逐步介绍.)

• \(\R^n\) 及其开子集是无边流形.
• 不第二可数的例子. 对于给定的 \(a,b,c\in\R\), 记 \(I_{abc}=\{(c,y)\in\R^2\mid a<y<b\}\). 令 \({\cal B}\) 是所有这样的 \(I_{abc}\) 的全体 (可看作所有平行于 \(y\) 轴的开线段). 容易验证这是 \(\R^2\) 的拓扑基, 并且 \({\cal B}\) 生成的拓扑 \({\cal T}\) 比度量拓扑细致.
  • 因为 \({\cal T}\) 中包含了所有平行于 \(y\) 轴的开线段, 因此 Hausdorff 和局部欧氏是显然的 (局部同胚于 \(\R\), 是一维的).
  • 第二可数: 只需找到它的一个开覆盖, 其不存在可数子覆盖. 实际上, 取 \(y\) 轴的一个开覆盖 \({\cal U}\), 它也可以作为任意平行于 \(y\) 轴的直线的开覆盖. 因此我们找到了 \(\R^2\) 的开覆盖 \({\cal U}_0=\bigcup_{x\in\R}{\cal U}\). 注意这是不可数个集合的(无交)并, 是一个不可数开覆盖, 并且不存在可数子覆盖.