GTM202 | 9 紧曲面

GTM202 (Introduction to Topological Manifolds) Chapter 6 的笔记.

23 Classification of Compact Surfaces

23.1 Classification theorems

现在我们终于可以给出紧曲面的分类定理了. 在 1907 年, Max Dehn 和 Poul Heegaard 对存在多边形表示的曲面证明了分类定理. 下面的命题表明这总是成立的.

Claim 23.1 紧曲面 \(M\) 存在多边形表示.

Pf 由 Claim 20.4, 存在 \(2\) 维单纯复形 \(K\), 使得 \(M\cong|K|\). 因为 \(M\) 紧, 所以 \(K\) 是有限单纯复形.

我们这样构造一个面表示 \({\cal P}\): 令 \(K\) 中的每个单形对应一个长度 \(3\) 的字, 且 \({\cal P}\) 的两条边符号相同当且仅当它们对应同一个 \(1\) 维单形. 容易验证, \({\cal P}\) 确实构成面表示:

• 由 \(K\) 的有限性, \({\cal P}\) 的字的个数是有限的.
• 由三角剖分的性质, 每个 \(1\) 维单形恰好是两个 \(2\) 维单形的公共面, 即每个符号恰好出现两次.

下面证明 \({\cal P}\) 是 \(M\) 的表示, 即证明 \(|{\cal P}|\cong|K|\). 设 \(K\) 中所有 \(2\) 维单形的不交并为 \(P\), 则有两个商映射 \(\pi_K:P\to|K|\) 和 \(\pi_{\cal P}:P\to|{\cal P}|\). 我们只需证明它们给出相同的 identification.

根据 \({\cal P}\) 的定义, \(\pi_{\cal P}\) 和 \(\pi_K\) 在 \(2\) 维单形的内部都是单射, 且它们对 \(1\) 维单形给出相同的 identification. 剩下的工作是证明它们在 \(0\) 维单形 (顶点) 上也给出相同的 identification. 设顶点 \(v,w\in K\).

• 如果 \(\pi_{\cal P}(v)=\pi_{\cal P}(w)\), 则说明 \(v\) 的某条邻边与 \(w\) 的某条邻边认同, 自然有 \(\pi_K(v)=\pi_K(w)\).

• 如果 \(\pi_K(v)=\pi_K(w)\), 只要证明 \(v\) 的某条邻边与 \(w\) 的某条邻边认同即可. 记 \(p=\pi_K(v)\).

  我们考虑这样一种等价关系: 两个以 \(p\) 为顶点的 \(2\) 维单形 \(\sigma,\sigma'\) 称为边连通的 (edge-connected), 若存在 \(2\) 维单形序列 \(\sigma=\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_k=\sigma'\), 其中相邻两个 \(2\) 单形有公共边 (认同的边). 要证明 \(v\) 的某条边与 \(w\) 的某条边认同, 就是证明这个等价关系只有一个等价类.

  假设不然, 则存在以 \(p\) 为顶点的 \(2\) 维单形族 \(\{\sigma_1,\dots,\sigma_k\}\) 和 \(\{\tau_1,\dots,\tau_m\}\), 其中任意 \(\sigma_i,\sigma_j\) 边连通, 而任意 \(\sigma_i,\tau_j\) 不边连通. 取足够小的 \(\varepsilon\) 使得 \(B_\varepsilon(p)\) 只与 \(p\) 的邻边相交. 则 \(B_\varepsilon(p)\cap|K|\) 是 \(|K|\) 的开子集, 进而是 \(2\) 维流形, 因此存在 \(p\) 邻域 \(W\subset B_\varepsilon(p)\cap|K|\), 满足 \(K\cong\R^2\). 我们有 \(W\setminus\{p\}\) 连通. 若令 \[ U=W\cap(\sigma_1\cup\dots\cup\sigma_k)\setminus\{p\},\quad V=W\cap(\tau_1\cup\dots\cup\tau_m)\setminus\{p\}, \] 则 \(U,V\) 是 \(|K|\) 的开集 (它们与每个单形的交集在单形中开). 根据假设, \(U,V\) 不交, 因此 \[ W\setminus\{p\} = U\cup V \] 间断 \(W\setminus\{p\}\), 与连通性矛盾.

Claim 23.2 (紧连通曲面分类定理) 任意非空的紧连通曲面 \(M\) 同胚且仅同胚于下列之一:

• 球面 \(\mathbb{S}^2\).
• \(k\geq1\) 个 \(\mathbb{T}^2\) 的连通和 \(\Sigma_k\).
• \(k\geq1\) 个 \(\mathbb{RP}^2\) 的连通和 \(\tilde\Sigma_k\).

其中的 "同胚且仅同胚" 指的是: 列表中有且仅有 1 个曲面与 \(M\) 同胚. 利用多边形表示的工具, 我们能证明存在 \(\mathbb{S}^2,\Sigma_k,\tilde\Sigma_k\) 中的某曲面与 \(M\) 同胚; 然而, 唯一性需要等到学完基本群后才能证明.

利用紧连通曲面的分类, 我们能给出紧连通带边曲面的分类:

Claim 23.3 (紧连通带边曲面分类定理) 任意非空, 带边的紧连通曲面 \(M\) 同胚且仅同胚于下列之一:

• 挖去 \(m\) 个开胞腔的 \(\mathbb{S}^2\), 记作 \(\mathbb{S}^2_m\).
• 挖去 \(m\) 个开胞腔的 \(\Sigma_k\), 记作 \(\Sigma_{k,m}\).
• 挖去 \(m\) 个开胞腔的 \(\tilde\Sigma_k\), 记作 \(\tilde\Sigma_{k,m}\).

其中 \(m\) 是 \(\partial{M}\) 连通分量的个数.

证明完分类定理后, 我们将研究紧曲面的两个重要拓扑不变量: Euler 示性数和可定向性.

23.2 Proofs of the theorems

下面我们证明分类定理. 基本思路是将曲面的多边形表示, 通过初等变换, 化简为标准表示. 先给出两个引理:

Claim 23.4 Klein 瓶 \(K\cong\mathbb{RP}^2\mathbin{\#}\mathbb{RP}^2\).

Pf 只需将 \(\lr{a,b\mid abab^{-1}}\) 初等变换为 \(\lr{b,c\mid bcbc}\), 如下图.

Claim 23.5 \(\mathbb{T}^2\mathbin{\#}\mathbb{RP}^2\cong\mathbb{RP}^2\mathbin{\#}\mathbb{RP}^2\mathbin{\#}\mathbb{RP}^2\).

Pf 根据上一个引理, 我们只需将 \(K\mathbin{\#}\mathbb{RP}^2\cong\lr{a,b,c\mid abab^{-1}cc}\) 初等变换为 \(\mathbb{RP}^2\mathbin{\#}\mathbb{RP}^2\mathbin{\#}\mathbb{RP}^2\).

Pf (紧连通曲面分类定理, 部分证明) 根据 Claim 23.1, 曲面 \(M\) 存在多边形表示. 一对认同的边称为互补的 (complementary), 如果它们的符号分别为 \(a,a^{-1}\); 称为扭曲的 (twisted), 如果它们的符号同时为 \(a\) 或者同时为 \(a^{-1}\). (例如, Klein 瓶 \(\lr{a,b\mid abab^{-1}}\) 的对边 \(b\) 是互补的, 对边 \(a\) 是扭曲的.)

步骤 1: \(M\) 存在只有一个面的表示.

• 对于两个有公共边的面 \(P_1,P_2\) (即 \(P_1\) 的某条边与 \(P_2\) 的某条边认同), 将其粘合成一个. 如果某两个面没有公共边, 则它们在商映射下的像不交的, 既开又闭的集合, 与 \(M\) 连通矛盾.

步骤 2: 或者 \(M\) 同胚于球面; 或者存在 \(M\) 的一个表示, 其中没有互补的邻边.

• 互补邻边通过折叠消去, 直到不存在互补邻边, 或者得到球面 \(\lr{a\mid aa^{-1}}\).

自此假设 \(M\) 不同胚于球面.

步骤 3: 存在 \(M\) 的一个表示, 其任意一对扭曲的边都是邻边.

• 通过适当旋转和反射, 假设一对 "扭曲的非邻边" 形如 \(VaWa\), 通过下图将其化为 \(VW^{-1}bb\). 同时并未产生新的 "扭曲的非邻边", 因此 "扭曲的非邻边" 数量至少减少 \(1\). 通过有限步操作, 能够让 "扭曲的非邻边" 数量降为 \(0\). (在此过程中, 新产生的 "互补邻边" 用步骤 2 消去.)

  

步骤 4: 存在 \(M\) 的一个表示, 其所有顶点都认同.

• 假设并非所有顶点都认同, 则存在边 \(a\) 连接两个不认同的顶点 \(v,w\). 我们首先说明, \(v\) 的其他边不能与 \(a\) 认同:

  • 如果有以 \(v\) 为顶点的互补邻边, 则通过步骤 2 已经消去.
  • 如果有以 \(v\) 为顶点的扭曲邻边, 则它们将 \(v,w\) 认同起来, 矛盾.

  取 \(v\) 的另一条边 \(b\), 记 \(b\) 的另一个顶点是 \(x\).

• (\(\clubsuit\)) 在多边形中, 一定存在另一条边 \(b\) 或 \(b^{-1}\), 不妨设其为 \(b\). 则该表示形如 \(baXb^{-1}Y\), 其中 \(X,Y\) 不同时为空 (如图; 我们将与 \(v,x\) 认同的顶点也记作 \(v,x\)). 沿 \(c\) 剪切再沿 \(b\) 拼合, 与 \(v\) 认同的顶点数减少 \(1\). (过程中新产生的 "互补邻边" 用步骤 2 消去, 这不会增加与 \(v\) 认同的顶点数.)

  

• 重复操作 \((\clubsuit)\) 有限次, 可以将与 \(v\) 认同的顶点数降至 \(0\). 对于所有不与 \(w\) 认同的顶点进行这个过程即可.

步骤 5: 若表示中有互补边 \(a,a^{-1}\), 则存在互补边 \(b,b^{-1}\) 与之交错出现: \(a,\dots,b,\dots,a^{-1},\dots,b^{-1}\).

• 若不然, 则多边形表示形如 \(aXa^{-1}Y\), 其中 \(X\) 中的边或者是一对互补边, 或者是扭曲邻边. 于是 \(X\) 中的边只会与 \(X\) 中的边认同, 不会与 \(Y\) 中的边认同. 由于, \(a\) 与 \(a^{-1}\) 的起点都与 \(X\) 接触, 终点都与 \(Y\) 接触, 故商映射下, 起点与终点不重合, 与步骤 4 矛盾.

步骤 6: 一对交错的互补边相邻地出现: \(aba^{-1}b^{-1}\).

• 假设一对交错互补边形如 \(WaXbYa^{-1}Zb^{-1}\), 通过下图将其化为 \(cdc^{-1}d^{-1}WZYX\). 这个过程不会将其他邻边分离. 重复这个步骤有限次即可. (注意这一步没有用到反射.)

  

步骤 7: \(M\) 同胚于若干 \(\mathbb{T}^2\) 的连通和或者若干 \(\mathbb{RP}^2\) 的连通和.

• 根据步骤 3, 所有扭曲边形以 \(aa\) 形式出现; 根据步骤 6, 所有互补边以 \(aba^{-1}b^{-1}\) 形式出现. 因此, \(M\) 是若干 \(\mathbb{T}^2\) 与 \(\mathbb{RP}^2\) 的连通和.
  • 如果连通和中只有 \(\mathbb{T}^2\), 则 \(M\cong\Sigma_k\).
  • 如果连通和中存在 \(\mathbb{RP}^2\), 根据 Claim 23.5, 可以将所有 \(\mathbb{T}^2\) 都化为 \(\mathbb{RP}^2\), 有 \(M\cong\tilde\Sigma_k\).

至此, 我们证明了 \(M\) 同胚于 \(\mathbb{S}^2,\Sigma_k,\tilde\Sigma_k\) 中的某曲面.

带边版本的证明:

Pf (紧连通带边曲面分类定理, 部分证明) 设 \(\partial M\) 有 \(m\) 个连通分量.

步骤 1: \(\partial{M}\) 同胚于 \(m\) 个 \(\mathbb{S}^1\) 的不交并.

• 因为 \(\partial{M}\) 是 \(M\) 的闭子集, 故 \(\partial{M}\) 紧, 其每个分量也紧, 且只有有限个分量. 又 \(\partial{M}\) 是 \(1\) 维流形, 其每个分量是 \(1\) 维紧连通流形, 根据一维分类定理, 每个分量同胚于 \(\mathbb{S}^1\).

步骤 2: 把洞补上.

• 记 \(m\) 个闭圆盘的不交并 \(N:=\coprod_m\overline{\mathbb{B}^2}\). 取同胚 \(h:\partial{N}=\coprod_m\mathbb{S}^1\overset\sim\to\partial{M}\), 考虑 \(M,N\) 沿着边界贴合 \(M'=M\cup_hN\). 根据 Claim 10.2, \(M'\) 是 \(2\) 维连通的无边流形, 且 \(M,N\) 分别通过 \(e,f\) 嵌入到 \(M'\), 满足 \[ \textstyle e(M)\cup f(N)=M',\quad e(M)\cap f(N)=f(\coprod_m\mathbb{S}^1). \] 作为连通流形 \(e(M)\), \(f(N)\) 有公共点的并, \(M'\) 连通; \(M'\) 作为紧空间 \(M\amalg N\) 的商空间, 也是紧的. 对 \(M'\) 应用 "紧连通曲面分类定理", \(M'\) 同胚于 \(\mathbb{S}^2,\Sigma_k,\tilde\Sigma_k\) 中的某曲面.

• 注意 \(M\cong e(M)\), 而 \(e(M)\) 恰好是 \(M'\) 挖去 \(m\) 个开胞腔 \(\coprod_mf(\mathbb{B}^2)\) 得到的带边曲面.

至此, 我们证明了 \(M\) 同胚于 \(\mathbb{S}^2_m,\Sigma_{k,m},\tilde\Sigma_{k,m}\) 中的某曲面.

在第 14 篇笔记的 32.2 节, 我们将证明 \(\mathbb{S}^2_m,\Sigma_{k,m},\tilde\Sigma_{k,m}\) 互不同胚, 进而完成 (带边与无边) 分类定理的证明.

23.3 The Euler characteristic

多面体的 Euler 公式是曲面理论最经典的结果之一: 设 \(P\) 是 \(\R^3\) 中的紧凸多面体, 其面数, 边数和顶点数分别记作 \(F,E,V\), 则 \[ V-E+F=2. \] 这个量很容易推广到 CW 复形上. 对于 \(n\) 维的有限 CW 复形 \(X\), 记其 \(k\) 维胞腔数目为 \(n_k\), 则 \(X\) 的 Euler 示性数 (Euler characteristic) 定义为交错和 \[ \chi(X) := \sum_{k=1}^n (-1)^kn_k. \] 欧拉公式表明, Euler 示性数是紧凸多面体的某种不变量. 实际上, Euler 示性数是有限 CW 复形的拓扑不变量, 若两个 CW 复形 \(X,Y\) 的拓扑空间同胚, 则 \(\chi(X)=\chi(Y)\). 当我们学完同伦群后会给出证明.

然而, 我们可以证明 Euler 示性数的某种 "组合不变性".

Claim 23.6 多边形表示的 Euler 示性数 (即它确定的单纯复形的 Euler 示性数) 在初等变换下不变.

Pf 符号替换, 反射, 旋转不该变 \(0,1,2\) 维单形的数目, 因此不改变 Euler 示性数. 对于互逆的变换, 我们只需证明其一:

细分: 假设 \(a\mapsto ae\), \(a^{-1}\mapsto e^{-1}a^{-1}\), 且 \(a,a^{-1}\) 总共有 \(k\) 个, 则细分后增加 \(k\) 个零维胞腔, 增加 \(k\) 个一维胞腔, 不改变二维胞腔的数目. 注意 \(0,1\) 维增加的 \(k\) 在交错和中相互抵消.

剪切: 不改变零维胞腔的数目, 增加 \(1\) 个一维胞腔, 增加 \(1\) 个二维胞腔. 相互抵消.

折叠: 减少 \(2\) 个零维胞腔, 减少 \(2\) 个一维胞腔, 不改变二维胞腔的数目. 相互抵消.

因为曲面的任意三角剖分都是组合等价的 (组合拓扑主猜想的二维情形), 即有公共的细分. 而三角剖分的 "细分" 相当于对相应的多边形表示作 "剪切" "细分" 等初等变换. 我们已经证明了初等变换不改变 Euler 示性数, 因此两个组合等价的三角剖分具有相同 Euler 示性数. 因此, 我们可以定义紧曲面 \(M\) 的 Euler 示性数 \(\chi(M)\) 为它的三角剖分的 Euler 示性数.

Claim 23.7 (连通和的 Euler 示性数) 若 \(M_1,M_2\) 是紧曲面, 则 \[ \chi(M_1\mathbin{\#}M_2)=\chi(M_1)+\chi(M_2)-2. \]

Pf 分别取 \(M_1,M_2\) 的多边形表示, 充分细分, 剪切, 不妨假设所有的多边形都是三角形, 且任意三角形的顶点不与其自身顶点认同. 根据 Claim 22.2, 三角形内部的像同胚于正则坐标球.

做连通和时, 在 \(M_1,M_2\) 各取一个三角形, 去掉三角形内部, 再将对应边认同, 便得 \(M_1\mathbin{\#}M_2\). 与之前相比, 少了 \(3\) 个零维胞腔, 少了 \(3\) 个一维胞腔, 少了 \(2\) 个二维胞腔, \(\chi(M_1\mathbin{\#}M_2)\) 与 \(\chi(M_1)+\chi(M_2)\) 相比减少 \(2\).

计算 \(\mathbb{S}^2,\mathbb{T}^2,\mathbb{RP}^2\) 的 Euler 示性数:

借助连通和的 Euler 示性数公式, 可以得到:

Claim 23.8 (紧连通带边曲面的 Euler 示性数)

1. \(\chi(\mathbb{S}^2_m)=2-m\).
2. \(\chi(\Sigma_{k,m})=2-2k-m\).
3. \(\chi(\tilde\Sigma_{k,m})=2-k-m\).

如果我们承认上面的曲面互不同胚, 则 Euler 示性数构成紧连通曲面的拓扑不变量. 实际上, \(\Sigma_{k,m}\) 和 \(\tilde{\Sigma}_{k,m}\) 的下标 \(k\) 有一定的几何含义, 即曲面上 "通透的洞的数量". 这个整数 \(k\) 称为曲面的亏格 (genus) (球面的亏格为 \(0\)).

23.4 Orientability

神奇的 Möbius 带 (Möbius band) 是将正方形的一对对边扭曲认同得到的曲面 \(\lr{a,b,c\mid abcb}\) (其中一对 \(b\) 是扭曲的), 它是一个 \(2\) 维带边流形, 其边界只有 \(1\) 个连通分量. 它的 Euler 示性数是 \(0\), 因此它同胚于 \(\tilde\Sigma_{1,1}\).

Möbius 带的一个有趣特性是, 它只有一个面, 不存在 "正反面" 一说. 受此启发, 我们称面表示 \({\cal P}\) 是定向的 (oriented), 若 \(\cal P\) 中不存在扭曲的边. 称紧曲面 \(M\) 是可定向的 (orientable), 若它存在一个定向的表示.

Claim 23.9 (可定向性) 紧连通曲面 \(M\) 可定向, 当且仅当 \(M\) 同胚于 \(\mathbb{S}^2\) 或 \(\Sigma_k\).

Pf 注意 \(\mathbb{S}^2\) 与 \(\Sigma_k\) 的标准表示是定向的, 因此这两种曲面可定向, 同胚于这两种曲面的曲面 \(M\) 也可定向 (\(\mathbb{S}^2\) 或 \(\Sigma_k\) 的标准表示也是 \(M\) 的表示).

反之, 设 \(M\) 可定向, 取它的一个定向表示 \({\cal P}\), 经过分类定理证明过程中的 7 个步骤, 注意只有反射会引入一对扭曲边, 而只有步骤 1, 3, 4, 7 用到了反射. 容易验证, 如果 \({\cal P}\) 没有扭曲边, 则相应步骤过后的 \({\cal P}\) 也没有扭曲边. 因此 \({\cal P}\) 的化简结果没有扭曲边, 即 \(M\) 同胚于 \(\mathbb{S}^2\) 或 \(\Sigma_k\).

对于紧连通带边曲面 \(M\), 它同胚于某个无边曲面 \(M'\) (具有充分细分的多边形表示) 挖去若干 \(2\) 维单形的内部得到的曲面. 细分, 剪切与删去三角形的操作都不改变扭曲边, 因此, 我们定义 \(M\) 是可定向的, 当且仅当 \(M'\) 是可定向的. 这样的定义与无边的版本是相容的.

• 同胚于 \(\mathbb{S}^2_m\) 与 \(\Sigma_{k,m}\) 的曲面可定向, 同胚于 \(\tilde{\Sigma}_{k,m}\) 的曲面不可定向.
• 实际上, "可定向性" 可以推广到任意可三角剖分的流形上. 我们给出的定义是一个 \(2\) 维的等价版本.
• 有的书也将如下刻画作为不可定向的定义.

Claim 23.10 (不可定向性的 Möbius 带刻画) 紧连通带边曲面 \(M\) 不可定向, 当且仅当存在 Möbius 带到 \(M\) 的嵌入.

Pf 先考虑无边曲面. 设 \(M\) 不可定向. 我们已经知道 Möbius 带是 \(\mathbb{RP}^2\) 挖掉一个开胞腔得到的, 而后者嵌入到 \(\tilde\Sigma_k\cong M\). 因此, Möbius 带嵌入到 \(M\).

反之, 设 Möbius 带嵌入到 \(M\) 的子空间 \(B\). 我们的想法是找到一个紧子曲面 \(M'\subset M\), 使得 \(M\cong M'\mathbin{\#}\mathbb{RP}^2\), 进而 \(M\) 的一个多边形表示中有扭曲边, 是不可定向的.

取 Möbius 带 \(B\) 的 "中间部分" 开集 \(B_0\) (如图), 则 \(\overline{B_0}\) 也是 Möbius 带的嵌入, 且 \(M\setminus B_0\) 是一个 \(2\) 维紧带边流形 (对于 \(M\setminus\overline{B_0}\) 中的点, 其欧氏邻域就是原本 \(M\) 中的欧氏邻域; 对于 \(\partial\overline{B}_0\) 中的点, 其欧氏邻域可以取图中的小矩形), 其边界只有一个连通分量, 故同胚于 \(\mathbb{S}^1\).

令 \(M'\) 是 \(M\setminus B_0\) 与单位圆盘 \(\overline{\mathbb{B}^2}\) 沿边界贴合所得紧曲面. 则 \(M'\) 挖去正则坐标球后与 \(M\setminus B_0\) 同胚, 而 \(\mathbb{RP}^2\) 挖去正则坐标球后与 Möbius 带 \(\overline{B_0}\) 同胚, 两者的连通和 \(M'\mathbin{\#}\mathbb{RP}^2\) 同胚于 \(M\).

对于带边曲面 \(M\), 若 Möbius 带嵌入 \(M\), 将 \(M\) 的 "洞" 补上 (详见带边分类定理证明) 得到无边曲面 \(M'\), 则 Möbius 带也嵌入到 \(M'\), 于是 \(M'\) 不可定向. 根据定义, \(M\) 也不可定向.

反之, 若带边曲面 \(M\) 不可定向, 它对应的无边曲面 \(M'\) 也不可定向, 存在嵌入到 \(M'\) 的 Möbius 带 \(B\). 我们的想法是将 \(B\) "还原到 \(M\)" 上. 假设 \(M'\) 挖去若干开圆盘 \(D_1,\dots,D_m\) 得到 \(M\), 适当缩小这些圆盘, 可以使得它们与 Möbius 带 \(B\) 的 "中线" (上图点线) 不交, 进而存在 "带状区域" (如上图黄色部分) \(\overline{B_0}\) 与 \(D_1,\dots,D_m\) 不交. \(\overline{B_0}\) 是一个嵌入 \(M'\) 的 Möbius 带, 也是一个嵌入 \(M\) 的 Möbius 带.

实际上, Claim 23.10 保证了, 可定向性是 (带边/无边) 紧连通曲面的拓扑不变性. (注意我们并未借助分类定理中的唯一性.)

根据 Claim 23.4, Klein 瓶同胚于两个 \(\mathbb{RP}^2\) 的连通和, 即将两个 \(\mathbb{RP}^2\) 分别去掉 \(2\) 维开胞腔后, 沿着边界粘合. 而 \(\mathbb{RP}^2\) 去掉 \(2\) 维开胞腔, 得到的恰好是 Möbius 带. 因此, Klein 瓶同胚于两个 Möbius 带沿着边界粘合! 实际上, Klein 瓶作为不可定向曲面, 也没有 "正反" 或 "内外" 之分.

利用 Euler 示性数与可定向性, 我们能给出分类定理的另一种表述:

Claim 23.11 (紧连通带边曲面分类定理, 另一种表述) 在同胚意义下, 紧连通带边曲面 \(M\) 由以下三个量唯一确定:

1. Euler 示性数.
2. 可定向性.
3. \(\partial{M}\) 连通分量的个数.

Pf 如果 \(M\) 可定向, 则它同胚于 \(\mathbb{S}^2_m\) 或 \(\Sigma_{k,m}\); 否则同胚于 \(\tilde\Sigma_{k,m}\). Euler 示性数和 \(\partial{M}\) 连通分量的个数可以进一步确定 \(k,m\) 的值.

至此, 我们利用组合拓扑的方法, (几乎) 完成了一维流形以及二维紧流形的分类. 实际上, 三维流形也是可三角剖分的 (Claim 20.5), 所以一个自然的想法是将组合学的方法应用于三维流形的分类. 不幸的是, 三维三角剖分的组合化简问题至今没有得到解决. 而对于 \(n\geq4\) 维, 甚至并非所有流形都是可三角剖分的. 因此, 为了理解更高维流形 (以及区分三种标准曲面), 我们需要更强大的代数工具和拓扑不变量. 这也是本书后半部分的主题.