GTM202 | 4 紧致性

GTM202 (Introduction to Topological Manifolds) Chapter 4 的笔记.

13 Compactness

紧性是一种 "有限性".

13.1 Compactness

紧致性: \(X\) 的任意开覆盖都有有限子覆盖.

Claim 13.1 (子空间紧性判断) 子空间 \(A\subset X\) 紧, 当且仅当任意 \(A\) 的开覆盖有有限子覆盖.

• 其中, 子空间的开覆盖 \(\{U_\alpha\}\) 满足 \(A\subset\bigcup U_\alpha\), 其中 \(U_\alpha\) 是 \(X\) 的开子集.

Claim 13.2 (收敛序列) 若 \((x_i)_{i=1}^\infty\) 收敛到 \(x\), 则 \(A=\{x_i\mid i\in\N\}\cup\{x\}\) 是紧子集.

Pf 设 \({\cal U}\) 是 \(A\) 的开覆盖, 则存在 \(U\in{\cal U}\), \(x\in U\). 由收敛性, 只有有限项 \(x_i\) 不在 \(U\) 中. 为这有限项 \(x_i\) 每一个选择一个覆盖其的开子集, 这有限个开子集同 \(U\) 构成了 \(A\) 的有限子覆盖.

Claim 13.3 (紧性的连续不变性) \(f:X\to Y\) 连续, 若 \(X\) 紧, 则 \(f(X)\) 紧.

Pf 设 \({\cal U}\) 是 \(f(X)\subset Y\) 的开覆盖, 则 \(\{f^{-1}(U)\mid U\in{\cal U}\}\) 是 \(X\) 的开覆盖. 根据紧性, 它有有限子覆盖 \(\{f^{-1}(U_1),\dots,f^{-1}(U_k)\}\). 于是 \(\{U_1,\dots,U_k\}\) 是 \(f(X)\) 的优先覆盖.

Claim 13.4 (紧性的拓扑不变性) 同胚于紧空间的空间是紧的.

Claim 13.5 (分离性引理) \(X\) Hausdorff, 不交的紧子集 \(A,B\), 则存在不交的开子集 \(U,V\), 使 \(A\subset U,B\subset V\).

• Hausdorff 空间中, 不交的紧集能被开集分离.

Pf 首先考虑 \(B\) 是独点集 \(\{q\}\) 的情况. 任给 \(p\in A\), 由 Hausdorff 性, 存在 \(p,q\) 的不交邻域 \(U_p,V_p\). 则 \(\{U_p\mid p\in A\}\) 是 \(A\) 的开覆盖. 由紧性, 它有有限子覆盖 \(\{U_{p_1},\dots,U_{p+k}\}\). 记 \(\mathbb{U}=\bigcup_{i=1}^k U_{p_i}\), \(\mathbb{V}=\bigcap_{i=1}^kV_{p_i}\), 则 \(\mathbb{U},\mathbb{V}\) 分别是 \(A,\{q\}\) 的不交邻域, 即证.

接着考虑一般的情况. 根据上面独点集的结论, 对任意 \(q\in B\), 存在 \(A,\{q\}\) 的不交邻域 \(\mathbb{U}_q,\mathbb{V}_q\). 根据 \(B\) 的紧性, \(B\) 有有限覆盖 \(\mathbb{V}_{q_1},\dots,\mathbb{V}_{q_l}\). 令 \(U=\bigcap_{j=1}^l\mathbb{U}_{q_j}\), \(V=\bigcup_{j=1}^l\mathbb{V}_j\) 即可.

Claim 13.6 (管状邻域引理) 设 \(X\) 是空间, \(Y\) 是紧空间, \(x\in X\). 若 \(U\subset X\times Y\) 是包含 \(\{x\}\times Y\) 的开集, 则存在 \(x\) 的邻域 \(V\), 使得 \(V\times Y\subset U\).

Pf 由于开集的积构成积空间的拓扑基, 所以对任意 \(y\in Y\), 存在开集的积 \(V\times W\subset X\times Y\), 使得 \((x,y)\in V\times W\subset U\). 因为 \(\{x\}\times Y\) 紧, \(Y\) 能够由有限个 \(V\times W\) 覆盖, 记为 \((V_i\times W_i)_{i=1}^m\). 令 \(V=V_1\cap\cdots\cap V_m\), 则 "管状邻域" \(V\times Y\) 包含于 \(U\) 内.

Claim 13.7 (紧的性质)

• (继承) 紧空间的闭子集是紧的.
• Hausdorff 空间的紧子集是闭的.
• 度量空间的紧子集是有界的.
• (积) 紧空间的有限积是紧的.
  • (Tychonoff) 实际上, 无限积 (积拓扑) 也是紧的.
• (商) 紧空间的商是紧的.
  • 一个推论是, 紧带边流形的二倍 \(D(M)\) 是紧的.

Pf 1, 设 \(X\) 紧, \(A\subset X\) 闭. 任给 \(A\) 的开覆盖 \({\cal U}\), 则 \({\cal U}\cup\{X\setminus A\}\) 构成 \(X\) 的开覆盖. 因为 \(X\) 紧, 它有有限子覆盖. 这有限子覆盖也是 \(A\) 的有限子覆盖.

2, 设 \(X\) Hausdorff, \(A\subset X\) 紧. 任给 \(p\in X\setminus A\), 由分离性引理, 存在 \(A,\{p\}\) 的不交邻域 \(U,V\). 特别地, \(p\) 的邻域 \(V\subset X\setminus A\), 因此 \(A\) 是闭集.

3, 设 \(X\) 为度量空间, \(A\subset X\) 紧. 取 \(x\in X\), 因为开球族 \(\{B_n(x)\mid n\in\N\}\) 覆盖 \(A\), 因此存在有限子覆盖 \(\{B_{n_i}(x)\}\). 其中半径最大的开球 \(B_{n_{\max}}(x)\) 覆盖 \(A\), 则 \(A\) 有界.

4, 只证明两个空间的积. 设 \(X,Y\) 紧. 任给 \(X\times Y\) 的开覆盖 \({\cal U}\). 因为 \(\{x\}\times Y\) 紧, 取它的有限子覆盖 \(\{U_1,\dots,U_k\}\subset{\cal U}\). 根据管状邻域引理, 存在含 \(x\) 的邻域 \(Z_x\subset X\), 使得 \(Z_x\times Y\subset\bigcup_{i=1}^k U_i\). 注意到 \(\{Z_x\mid x\in X\}\) 是 \(X\) 的开覆盖, 它有有限子覆盖 \(Z_{x_1},\dots,Z_{x_n}\). 因为每一个 \(Z_{x_i}\times Y\) 都有有限子覆盖, 且有限个 \(Z_{x_i}\times Y\) 覆盖 \(X\times Y\), 因此 \(X\times Y\) 有有限子覆盖.

5, 商映射是连续的满射, 因此保持紧致性.

Claim 13.8 (闭集套定理) 设 \(X\) 紧, 非空闭集列 \((F_n)\) 满足 \(F_{n+1}\subset F_n\), 则 \(\bigcap_nF_n\) 非空.

Pf 反证, 若 \(\bigcap F_n\) 空, 则 \(\{F_n^C\mid n\in\N\}\) 构成 \(X\) 的开覆盖. 因为 \(X\) 紧, 则存在有限子覆盖 \[ X = F_{n_1}^C\cup\cdots\cup F_{n_k}^C. \] 注意 \(F_{n_{i+1}}\subset F_{n_i}\), 即 \(F_{n_{i}}^C\subset F_{n_{i+1}}^C\), 这意味着 \(F_{n_k}^C=X\), 与 \(F_n\) 非空矛盾.

Claim 13.9 (Heine-Borel 定理) \(\R^n\) 中的有界闭集是紧集.

• 根据上面的性质, 度量空间 (进而 Hausdorff) 的紧集 \(=\) 有界闭集.

Pf 首先对闭区间 \([a,b]\subset\R\) 证明. 设 \({\cal U}\) 是 \([a,b]\) 的开覆盖. 定义 \((a,b]\) 的子集 \[ X=\{x\in(a,b]\mid[a,x]\textsf{ 由 }{\cal U}\textsf{ 中有限个元素覆盖}\}. \] 因为某 \(U_1\in{\cal U}\) 包含 \(a\), 而 \(U_1\) 是开集, 所以某小区间 \([a,x]\subset U_1\), 因此 \(X\) 非空.取 \(c=\sup{X}\).

因为某 \(U_0\in{\cal U}\) 包含 \(c\), 而 \(U_0\) 开, 所以某小区间 \((c-\varepsilon,c]\subset U_0\). 由 \(c\) 的取法, 存在 \(x\in X\), \(c-\varepsilon<x<c\). 这意味着 \([a,x]\) 由有限个 \({\cal U}\) 中元素 \(U_1,\dots,U_k\) 覆盖. 进而 \(U_1,\dots,U_k,U_0\) 覆盖 \([a,c]\). 只需证明 \(c=b\). 假设 \(c<b\), 因为 \(U_0\) 开, 所以对于小 \(\delta\), \([a,c+\delta]\) 也可以由 \(U_1,\dots,U_k,U_0\) 覆盖, 与 \(c\) 的取法矛盾.

一般地, 若 \(K\subset\R^n\) 是有界闭集, 则存在 \(R>0\) 使得 \(K\subset[-R,R]^n\). 因为 \([-R,R]\) 紧, 有限积 \([-R,R]^n\) 紧. 所以 \(K\) 作为紧集的闭子集, 也是紧的.

Claim 13.10 (最值定理) \(X\) 紧, \(f:X\to\R\) 连续. 则 \(f\) 有界且取到其最大最小值.

Pf 连续保持紧性, \(f(X)\subset\R\) 紧. 由 Heine-Borel, \(f(X)\) 是有界闭集, 因此 \(f\) 有界且取到最值.

13.2 Sequential and limit point compactness

两种更直观的紧致性.

对于第二可数的 Hausdorff 空间/度量空间来说, 这三个紧性等价. 由此还可以得到一些关于度量空间完备性的结论.

极限点紧: \(X\) 的任意无限子集在 \(X\) 中有极限点.

列紧: \(X\) 的任意序列存在收敛子序列.

Claim 13.11 (蕴含关系)

• 紧 \(\Rightarrow\) 极限点紧.
• (若第一可数且 Hausdorff) 极限点紧 \(\Rightarrow\) 列紧.
• (若度量空间/第二可数) 列紧 \(\Rightarrow\) 紧.

• 因此, 对于第二可数的 Hausdorff 空间/度量空间来说, 三种紧致性是等价的.

Pf 1, 设 \(X\) 紧, 无限子集 \(S\subset X\). 若 \(S\) 无极限点, 则任意 \(x\in X\) 存在邻域 \(U\), 满足 \(U\cap X\) 为空或者 \(\{x\}\). 有限多个这样的邻域覆盖 \(X\), 这导致 \(S\) 是有限的, 矛盾.

2, 设 \(X\) 第一可数, Hausdorff, 极限点紧. 设序列 \((p_n)_{n\in\N}\). 若该序列只有有限个不同的值, 则它有常值子序列, 是一个收敛子列. 因此设 \((p_n)_{n\in\N}\) 有无穷个不同的值. 根据极限点紧性, \(\{p_n\}\) 有极限点 \(p\). 若 \(p=p_n\) 对无穷多个 \(n\) 成立, 则有常值子序列收敛. 因此假设 \(p=p_n\) 只对有限个 \(n\) 成立. 将序列前有限项抛弃, 我们假设 \(p\neq p_n\) 对任意 \(n\) 成立.

因为 \(X\) 第一可数, 则 \(p\) 存在嵌套邻域基 \((B_n)_{n\in\N}\), 一个想法是构造子序列 \((p_{n_i})\) 满足 \(p_{n_i}\in B_i\). 这样的子序列显然收敛到 \(p\). 归纳法. 因为 \(p\) 是极限点, 存在 \(p_{n_1}\in B_1\). 假设已经有 \(p_{n_i}\in B_i\) 对 \(n=1,\dots,k\) 成立. 由 Hausdorff 性, 存在邻域 \(B_{n_{k+1}}\) (\(n_{k+1}>n_k\)) 与 \(p_{n_1},\dots,p_{n_k}\) 都不交, 然而因为 \(p\) 是极限点, \(B_{n_{k+1}}\) 必定包含 \(\{p_n\}\) 的某个点 \(p_{n_{k+1}}\). 因此我们找到了 \(p_{n_{k+1}}\in B_{n_{k+1}}\), 完成了归纳.

3, ① 设 \(X\) 第二可数, 列紧. 任给开覆盖 \({\cal U}\). 由第二可数, \({\cal U}\) 有可数子覆盖 \(\{U_i\mid i\in\N\}\) (Lindelöf). 反证, 假设不存在有限个 \(U_i\) 覆盖 \(X\). 因此, 对任意 \(i\in\N\), 存在 \(q_i\notin U_1\cup\cdots\cup U_i\). 根据列紧性, \((q_i)\) 有收敛子列 \(q_{i_k}\to q\). 因为 \(U_i\) 覆盖 \(X\), 有 \(q\in U_m\) 对某 \(m\in\N\). 然而, 根据假设, 只要 \(i_k\geq m\), 就有 \(q_{i_k}\notin U_m\), 这与 \((q_{i_k})\) 收敛到 \(q\) 矛盾. 因此 \(X\) 紧.

② 设 \(X\) 是度量空间, 列紧. 我们只需证明 \(M\) 第二可数, 再由 (1), 它是紧的. 对于度量空间来说, 第二可数与可分离等价. 我们下面证明 \(X\) 可分离.

一个关键步骤是说明列紧的度量空间满足一种较弱的紧致性:

• 对任意 \(\varepsilon\), 由 \(\varepsilon\)-开球组成的开覆盖有有限子覆盖.

反证, 设某 \(\varepsilon\) 不满足条件. 如下构造序列: 任取 \(q_1\in M\); 因为 \(B_\varepsilon(q_1)\neq M\), 取 \(q_2\notin B_\varepsilon(q_1)\); 因为 \(B_\varepsilon(q_1)\cup B_\varepsilon(q_2)\neq M\), 取 \(q_3\) 不在前两个开球中. 如此下去, 我们构造了序列 \((q_n)\) 满足 \[ q_{n+1}\notin B_\varepsilon(q_1)\cup\cdots\cup B_\varepsilon(q_n). \] 由列紧性, 它有收敛子列 \(q_{n_k}\to q\in M\). 收敛子列是 Cauchy 的, 对充分大的 \(k\), \[ d(q_{n_{k+1}},q_{n_k}) < \varepsilon, \textsf{ 于是 } q_{n_{k+1}} \in B_\varepsilon(q_1)\cup\cdots\cup B_\varepsilon(q_{n_k}), \] 与 \((q_n)\) 的构造矛盾.

因此, 对 \(n\in\N^+\), 存在有限集 \(F_n\), 使得以其中的点为球心的所有 \(1/n\)-球覆盖 \(M\). 集合 \(\bigcup_nF_n\) 是可数的, 并且在 \(M\) 中稠密, 因此 \(M\) 可分离, 即证.

Claim 13.12 (紧性蕴含完备性) 紧度量空间是完备的.

Pf 设度量空间 \(M\) 的 Cauchy 列 \((x_i)_{i\in\N}\). 度量空间的紧与列紧等价, 于是该序列有收敛子列 \((x_i)_{i\in A}\), 其极限 \(x\in M\). 此时 \((x_i)_{i\in\N}\) 也必然收敛到 \(x\), 下面是证明.

任给 \(\varepsilon>0\). 因为子列收敛, 存在 \(N_1\), 当 \(i\in A_{\geq N_1}\) 时, 有 \(\|x_i-x\|<\varepsilon/2\). 由 Cauchy 性, 存在 \(N_2\), 当 \(i\in A_{\geq N_2}\), \(j\in\N_{\geq N_2}\) 时, 有 \(\|x_i-x_j\|<\varepsilon/2\). 因此, 当 \(i,j>\max(N_1,N_2)\) 时, \[ \|x_j-x\|\leq\|x_i-x\|+\|x_i-x_j\|<\varepsilon. \]

Claim 13.13 (Bolzano-Weierstrass 定理) \(\R^n\) 的有界序列有收敛子列.

Pf 有界序列包含于某闭球内, 闭球 (有界闭) 是紧的, 进而列紧.

Claim 13.14 (\(\R^n\) 子集的完备性) \(\R^n\) 的子空间是完备的度量空间, 当且仅当它是闭子集. 特别地, \(\R^n\) 是完备的.

Pf 设子集 \(A\subset\R^n\).

若 \(A\) 闭, 设 Cauchy 列 \((x_i)_{i\in\N}\). 因为 Cauchy 列有界, 所以该序列包含于某闭球 \(B_r(0)\) 内, 进而它包含于 \(A\cap B_r(0)\), 是有界闭集, 所以紧, 进而完备. \((x_i)_{i\in\N}\) 在 \(A\cap B_r(0)\) 内有极限, 所以在 \(A\) 内有极限. \(A\) 完备.

若 \(A\) 不闭, 则 (由闭集刻画) 存在 \(x\in\partial{A}\) 且 \(x\notin A\). 对 \(n\in\N^+\), 考虑邻域球 \(B_{1/n}(x)\), 有 \(B_{1/n}(x)\cap A\neq\emptyset\). 取 \(x_n\in B_{1/n}(x)\cap A\), 则序列 \((x_n)_{n\in\N}\) 是 \(A\) 中的 Cauchy 列, 然而它的极限 \(x\) 不在 \(A\) 中, 说明 \(A\) 不完备.

13.3 The closed map lemma

Claim 13.15 (闭映射引理) 设 \(f\) 是从紧空间到 Hausdorff 空间的连续映射, 则 \(f\) 闭.

• (推论) 若 \(f\) 满, 则是商映射. 若 \(f\) 单, 则是嵌入. 若 \(f\) 双, 则是同胚.

Pf 设 \(f:X\to Y\) 是这样的映射. 对闭子集 \(A\subset X\), 作为紧空间的闭子集, \(A\) 是紧的. 进而 \(f(X)\) 也是紧的. 作为 Hausdorff 空间的紧子集, \(f(X)\) 是闭的.

Claim 13.16 (紧空间商的 Hausdorff 性) \(X\) 是紧 Hausdorff 空间, \(q:X\to Y\) 是商映射. TFAE:

• \(Y\) Hausdorff.
• \(q\) 闭.
• \({\cal R}=\{(x_1,x_2)\mid q(x_1)=q(x_2)\}\) 在 \(X\times X\) 中闭.

• 正则坐标球: 坐标球 \(B\subset M\), 且存在 \(\overline{B}\) 的邻域 \(B'\) 和同胚 \(\phi:B'\to B_{r'}(x)\subset\R^n\), 满足 \(\phi(B)=B_{r}(x)\), \(\phi(\overline{B})=\overline{B_r(x)}\), 其中 \(r'>r>0\).

  • 正则坐标球是坐标球的改进版本. 一般来说, 坐标球的闭包不一定同胚于 \(\R^n\) 的闭球.

Claim 13.17 (正则坐标球) 流形 \(M\). 若 \(B'\subset M\) 为坐标球, \(\phi:B'\to B_{r'}(x)\subset\R^n\) 为同胚, 则对任意 \(0<r<r'\), \(\phi^{-1}(B_r(x))\) 是正则坐标球.

Pf 显然 \(\phi\) 是一个从 \(B=\phi^{-1}(B_r(x))\) 到 \(B_r(x)\) 的同胚. 只需要证明 \(\phi\) 将 \(\overline{B}\) 映到 \(\overline{B_r(x)}\), 也即 \[ \phi^{-1}(\overline{B_r(x)})=\overline{B}. \] 将 \(\phi^{-1}\) 视作从 \(\overline{B_r(x)}\) 到 \(M\) 的映射, 则由闭映射引理, \(\phi^{-1}\) 是闭的, 则上式由 "闭映射的刻画" 保证.

Claim 13.18 (正则坐标球基) 流形具有可数正则坐标球基.

Pf \(M\) 有欧氏邻域组成的开覆盖. 因为 \(M\) 第二可数, 取可数子覆盖 \(\{U_i\mid i\in\N\}\). 对于 \(U_i\), 设同胚 \(\phi_i:U_i\to\hat{U}_i\subset\R^n\). 对任意 \(x\in\hat{U}_i\), 开性保证 \(B_{r(x)}(x)\subset\hat{U}_i\) 对某个小正数 \(r(x)\).

令 \({\cal B}\) 包含所有形如 \(\phi_i^{-1}(B_r(x))\) 的开集, 对任意有理点 \(x\in\hat{U}_i\) 和有理数 \(r<r(x)\). 根据以上定理, \(\phi_i^{-1}(B_r(x))\) 是正则坐标球. 并且 \({\cal B}\) 是可数的. 只需验证它构成 \(M\) 的基.

一方面, 显然 \({\cal B}\) 覆盖 \(M\). 另一方面, 任给开集 \(A\subset M\), 则 \(A\) 被可数个 \(U_i\) 覆盖. 由于 \(A\cap U_i\) 是开集, 所以 \(\phi_i(A\cap U_i)\subset\hat{U}_i\) 开, 进而是若干 \(B_r(x)\) (\(r\in\Q^+\), \(x\) 为有理点) 之并, 所以 \(A\cap U_i\) 是若干 \(\phi_i^{-1}(B_r(x))\) 之并.

流形的例子.

• 环面的另一构造. 设闭区间 \(I=[0,1]\), 将单位正方形 \(I\times I\) 的上下两条边认同 (\((x,0)\sim(x,1)\)), 左右两条边认同 (\((0,y)\sim(1,y)\)), 我们断言商空间 \((I\times I)/\sim\) 同胚于环面.

  • 考虑 \(q:I\times I\to \mathbb{T}^2\), \(q(u,v)=(\e^{2\pi\i u},\e^{2\pi\i v})\), 这是连续的满射. 注意 \(I\times I\) 紧, \(\mathbb{T}^2\) Hausdorff, 根据闭映射引理, \(q\) 闭, 进而是商映射. 因为 \(q\) 和 \(\R^2\to\R^2/\Z^2\cong \mathbb{T}^2\) 给出相同的 identification, 故同胚.

• 甜甜圈面同胚于环面. 甜甜圈面由映射 \(F:\R^2\to D\) 给出. 根据闭映射引理, \(F\) 在 \(I\times I\) 上的限制是商映射. 因为 \(F|_{I\times I}\) 和环面给出相同 identification, 故同胚.

• 实射影空间的另一构造. 对径点认同的球面 \(\mathbb{S}^n\) 同胚于 \(\mathbb{RP}^n\).

  • 记商映射 \(p:\mathbb{S}^n\to \mathbb{S}^n/{\sim}\) (\(x\sim-x\)), 考虑复合映射 \[ \mathbb{S}^n \overset{i}\hookrightarrow \R^{n+1}\setminus\{0\} \overset{q}\twoheadrightarrow \mathbb{RP}^n, \] 其中 \(i\) 是自然嵌入, \(q\) 是定义 \(\mathbb{RP}^n\) 的商映射. 由闭映射引理, \(q\circ i\) 是商映射, 且和 \(p\) 给出相同的 identification. 因此 \(\mathbb{RP}^n\cong \mathbb{S}^n/{\sim}\).

  • (紧致性) \(\mathbb{RP}^n\) 作为紧 \(\mathbb{S}^n\) 的商空间, 是紧的.

  • (Hausdorff) 此前, 我们通过证明轨道关系 \({\cal O}\) 是闭子集来说明 \(\mathbb{RP}^n\) 是 Haudorff 的. 现在, 因为 \(p\) 是闭映射且 \(\mathbb{S}^n\) 是紧致的 Hausdorff 空间, 由 Claim 13.16, \(\mathbb{S}^n/{\sim}\) Hausdorff.

• 球面的锥. 球面 \(\mathbb{S}^n\) 的锥 \(C\mathbb{S}^n\) 同胚于闭球 \(\overline{\mathbb{B}^{n+1}}\). 由闭映射引理, 连续满射 \(F:\mathbb{S}^n\times I\to\overline{\mathbb{B}^{n+1}}\), \(F(x,s)=sx\) 是一个商映射. \(F\) 将 \(\mathbb{S}^n\times\{0\}\) 映到 \(0\in\overline{\mathbb{B}^{n+1}}\), 且在其他地方都是单射的, 因此和商映射 \(\mathbb{S}^n\times I\to C\mathbb{S}^n\) 给出相同 identification. 故 \(C\mathbb{S}^n\cong\overline{\mathbb{B}^{n+1}}\). 并且, \(F\) 在 \(\mathbb{S}^n\times\{1\}\) 上的限制是恒等映射, 即 \(\mathbb{S}^n\cong \mathbb{S}^n\times\{1\}\) 视作 \(\overline{\mathbb{B}^{n+1}}\) 的子空间.

14 Local Compactness

14.1 Local compactness

局部紧的 Hausdorff 空间有一些好性质, 和度量空间有相似之处.

局部紧: 任给 \(p\in X\), 存在紧集 \(A\subset X\) 包含住 \(p\) 的某邻域.

预紧/相对紧: 子集 \(A\subset X\) 满足 \(\overline{A}\) 紧, 则称 \(A\) 预紧.

Claim 14.1 (局部紧的 Hausdorff 空间) \(X\) Hausdorff, TFAE:

• \(X\) 局部紧.
• 任意一点存在预紧邻域.
• 存在预紧开集组成的拓扑基.

Pf 显然 3 \(\Rightarrow\) 2 \(\Rightarrow\) 1, 我们证明 1 \(\Rightarrow\) 3.

设 \(X\) 局部紧, 只需证明 \(X\) 的每一点有预紧开集组成的邻域基. 任给 \(p\in X\), 设紧集 \(K\) 包含 \(p\) 的邻域 \(U\). \(p\) 的所有包含于 \(U\) 的邻域全体 \({\cal V}\) 显然构成邻域基.

因为 \(X\) Hausdorff, 紧子集 \(K\) 是闭的. 设 \(V\in{\cal V}\), 则 \(V\subset K\), 进而 \(\overline{V}\subset\overline{K}=K\). 因为 \(\overline{V}\) 是紧集 \(K\) 的闭子集, 故紧. 因此 \(V\in{\cal V}\) 是预紧的.

Claim 14.2 (流形) 无边/带边流形是局部紧的.

Pf 因为任意流形存在正则坐标(半)球组成的拓扑基, 正则坐标(半)球是预紧的, 因为其闭包同胚于 \(\R^n\) 的闭球 \(\overline{B_r(x)}\) (或 \(\H^n\) 的闭半球).

Claim 14.3 (预紧子邻域引理) \(X\) Hausdorff 且局部紧. 任给 \(x\in X\) 及其邻域 \(U\), 存在预紧邻域 \(V\) 满足 \(\overline{V}\subset U\).

Pf 设 \(W\) 是 \(x\) 的预紧邻域, 则 \(\overline{W}\setminus U\) 是 \(\overline{W}\) 的闭子集, 故紧. Hausdorff 空间中, 不交的紧集可被开集分离, 所以存在不交的开集 \(Y,Y'\) 满足 \(\{x\}\subset Y\), \(\overline{W}\setminus U\subset Y'\). 令 \(V=Y\cap W\), 则 \(\overline{V}\subset\overline{W}\). 作为紧集的闭子集, \(\overline{V}\) 紧.

因为 \(V\subset Y\subset X\setminus Y'\), 所以 \(\overline V\subset\overline Y\subset\overline{X\setminus Y'}=X\setminus Y'\), (注意 \(\overline{V}\subset\overline{W}\)) 所以 \(\overline{V}\subset\overline{W}\setminus Y'\). 注意 \(Y'\) 的取法有 \(\overline{W}\setminus U\subset Y'\), 所以 \(\overline{W}\setminus Y'\subset U\), 因此 $$

Claim 14.4 (继承) 局部紧 Hausdorff 空间的开/闭子集是局部紧的 Hausdorff 空间.

Pf 因为 Hausdorff 空间 \(X\) 的子空间也 Hausdorff, 所以只要证明局部紧.

若 \(Y\subset X\) 开, 则预紧子邻域引理保证, \(Y\) 中任意一点存在预邻域, 其闭包含于 \(Y\). 故 \(Y\) 局部紧.

若 \(Z\subset X\) 闭, 任意 \(x\in Z\) 在 \(X\) 中有预紧邻域 \(U\). 因为 \(\overline{U\cap Z}\) 是紧集 \(\overline{U}\) 的闭子集, 所以是紧的. 又注意到 \(\overline{U\cap Z}\subset\overline{Z}=Z\), 所以 \(U\cap Z\) 是 \(x\) 在 \(Z\) 中的预紧邻域. 故 \(Z\) 局部紧.

Claim 14.5 (商映射的积) 商映射 \(q:X\to Y\), \(K\) 是局部紧的 Hausdorff 空间, 则 \[ q\times{\rm id}_K:X\times K\to Y\times K \] 是商映射.

14.2 Baire's category theorem

无处稠密: \(X\) 的子集 \(F\) 称为无处稠密的, 若 \(\overline{F}\) 的补是稠密的.

第一纲集: 无处稠密子集的可数并. (十分 "稀疏" 的子集.)

第二纲集: 不是第一纲集的子集.

• Baire 空间: \(X\) 中可数个稠密开子集的交是稠密的. (较为 "稠密" 的空间)

Claim 14.6 (Baire 空间的性质) Baire 空间 \(X\) 中, 第一纲集的补集是稠密的.

Pf 设第一纲集 \(F=\bigcup_{i\in\N}F_i\), 其中 \(F_i\) 无处稠密. 补集 \(F^C=\bigcap_i F_i^C\). 注意 \(F_i^C\supset \overline{F_i^C}\), 而 \(\overline{F_i^C}\) 根据定义是稠密的, 则 \(F_i^C\) 稠密. 因为 \(X\) 是 Baire 空间, 可数交 \(F^C\) 稠密.

Claim 14.7 (Baire 纲定理) 局部紧 Haudorff 空间/完备度量空间是 Baire 空间.

Pf 设 \(X\) 是满足条件的空间, 稠密子集列 \(\{V_n\}_{n\in\N^+}\). 要证明 \(\bigcap_nV_n\) 稠密, 只需说明任意非空开集与它交集非空. 任给非空开集 \(U\subset X\).

① \(X\) 是局部紧的 Hausdorff 空间. 因为 \(V_1\) 稠密, 所以 \(U\cap V_1\) 非空. 预紧子邻域引理表明, 存在非空预紧集 \(W_1\) 使 \(\overline{W}_1\subset U\cap V_1\). 同样, 存在非空预紧集 \(W_2\) 使 \(\overline{W}_2\subset U\cap W_2\subset U\cap V_1\cap V_2\). 根据归纳法, 我们得到了非空的嵌套紧集列 \(\overline{W}_1\supset\overline{W}_2\supset\cdots\), 满足 \(\overline{W}_n\subset U\cap V_1\cap\cdots\cap V_n\). 根据紧集套定理, 存在 \(\emptyset\neq\bigcap_n\overline{W}_n\subset U\cap(\bigcap_n V_n)\).

② \(X\) 是完备度量空间. 只需对上面的过程做如下修改. 在归纳步骤中, 因为 \(V_n\cap W_{n-1}\) 是非空开集, 存在 \(x_n\in X\) 和 \(\varepsilon_n>0\) 使得 \(B_{\varepsilon_n}(x_n)\subset V_n\cap W_{n-1}\). 取 \(r_n<\min(\varepsilon_n,1/n)\), 我们得到了嵌套闭球列 \(\overline{B_{r_n}(x_n)}\subset U\cap V_1\cap\cdots\cap V_n\). 因为 \(r_n\to0\), 球心 \((x_n)\) 构成 Cauchy 列, 有极限 \(x\in U\cap(\bigcap_nV_n)\).