GTM202 | 13 一些群论

GTM202 (Introduction to Topological Manifolds) Chapter 9 的笔记.

31 Some Group Theory

31.1 Free products

自由积是群范畴的余积构造.

设群族 \((G_\alpha)_{\alpha\in A}\), 该群族的一个字 (word) 指的是有限长序列 \((g_1,\dots,g_m)\), 其中 \(g_i\in\coprod_\alpha G_\alpha\). 长度为零的字称为空字 (empty word), 记作 \(()\).

记 \({\cal W}\) 为 \((G_\alpha)\) 的所有字的集合, \(e_\alpha\) 为 \(G_\alpha\) 的恒等元. 我们在 \({\cal W}\) 上定义乘法: \[ (g_1,\dots,g_m)(h_1,\dots,h_k)=(g_1,\dots,g_m,h_1,\dots,h_k). \] 显然这个乘法满足结合律, 且空字 \(()\) 是乘法的双侧恒等元. 然而, 字只会越乘越长, 导致非空字没有逆元. 为了解决这个问题, 我们利用 \(G_\alpha\) 的群结构将字化简.

字的初等约化 (elementary reduction) 指的是下列两种操作: \[ \Align{ (g_1,\dots,g_i,g_{i+1},\dots,g_m) &\mapsto (g_1,\dots,g_i\cdot g_{i+1},\dots,g_m) \quad\textsf{若 } g_i,g_{i+1}\in G_\alpha, \\ (g_1,\dots,g_{i-1},1_\alpha,g_{i+1},\dots,g_m) &\mapsto (g_1,\dots,g_{i-1},g_{i+1},\dots,g_m). } \] 第一种操作将相邻的群元合并, 第二种操作将恒等元略去. 记 \(\sim\) 是初等约化生成的等价关系. 具体来说, 字 \(W\sim W'\) 当且仅当存在有限字序列 \(W=W_0,W_1,\dots,W_n=W\), 满足任意相邻的两个字 \(W_{i-1},W_i\) (\(i=1,\dots,n\)), 其中一个是另一个的初等约化. 等价类的集合 \({\cal W}/{\sim}\) 称为 \((G_\alpha)\) 的自由积 (free product), 记作 \(\mathop{\LARGE*}_{\alpha\in A}G_\alpha\). 有限个群的自由积也可记作 \(G_1*\dots*G_n\).

Claim 31.1 \(\mathop{\LARGE*}_{\alpha\in A}G_\alpha\) 上的乘法是良定义的, 且构成群乘法.

Pf 若 \(V\sim V'\), \(W\sim W'\), 分别对两侧进行初等约化操作, 得到 \[ VW\sim V'W\sim V'W'. \] 因此乘法是良定义的.

空字所在等价类 \(e=[()]\) 构成乘法的恒等元. 因为字的乘法是结合的, 所以等价类的乘法也是结合的. 最后, \[ (g_1,\dots,g_m)(g_m^{-1},\dots,g_1^{-1})\sim()\sim (g_m^{-1},\dots,g_1^{-1})(g_1,\dots,g_m), \] 即 \([(g_m^{-1},\dots,g_1^{-1})]\) 是 \([(g_1,\dots,g_m)]\) 的逆元.

一个字 \((g_1,\dots,g_m)\) 称为既约的 (reduced), 若它不能再被初等约化. 换言之, 它不含恒等元, 且任意相邻项不在同一个群中. 显然任何一个字都等价于某既约字, 但要证明这个既约字是唯一的却不容易.

Claim 31.2 (唯一既约代表元) \(\mathop{\LARGE*}_{\alpha\in A}G_\alpha\) 的任一群元有唯一的既约代表元.

群 \(G_\alpha\) 可以视作 \(\mathop{\LARGE*}_{\alpha\in A}G_\alpha\) 的子群. 实际上, 有自然包含 \(\iota_\alpha:G_\alpha\to\mathop{\LARGE*}_{\alpha\in A}G_\alpha\), \(g\mapsto(g)\) 自然包含是群同态, 因为 \((g_1g_2)\sim(g_1)(g_2)\). 自然包含还是单射: 若 \(g\neq e_\alpha\), 则 \((g)\) 是 \(\iota_\alpha(g)\) 的唯一既约代表元; 而 \(()\) 是 \(\iota_\alpha\) 的唯一既约代表元, 所以 \(\iota_\alpha(g)\neq\iota_\alpha(e_\alpha)\).

因此, \(G_\alpha\) 可以与 \(\iota_\alpha(G_\alpha)\) 认同, 字 \((g)\) 的等价类简写作 \(g\). 进而, \((g_1,\dots,g_m)\) 的等价类可写作 \(g_1\cdots g_m\), 我们也将它称为一个字. \(\mathop{\LARGE*}_{\alpha\in A}G_\alpha\) 的乘法就是将字并排写在一起.

• 二阶循环群自由积 \(\Z/2*\Z/2\). 设 \(\beta,\gamma\) 分别为这两个 \(\Z/2\) 中的非恒等元, 则 \(\Z/2*\Z/2\) 中的每一个字都能唯一地写成 \(\beta,\gamma\) 的交替有限序列. 乘法就是将序列拼接, 再删去相邻的两个 \(\beta\) 或两个 \(\gamma\), 例如 \[ \Align{ (\beta\gamma\beta\gamma\beta)(\gamma\beta\gamma\beta) &= \beta\gamma\beta\gamma\beta\gamma\beta\gamma\beta, \\ (\gamma\beta\gamma\beta)(\beta\gamma\beta\gamma\beta) &= \beta. } \] 注意这两个乘积不相等, 所以 \(\Z/2*\Z/2\) 不是 Abel 群.

• 无穷循环群的自由积 \(\pi_1(\mathbb{S}^1,1)*\pi_1(\mathbb{S}^1,1)\). 设 \(\beta,\gamma\) 分别为这两个 \(\pi_1(\mathbb{S}^1,1)\) 中的标准道路类 \([\omega]\), 则自由积群中的 (非恒等) 元素形如 \[ \beta^{i_1}\gamma^{j_1}\cdots\beta^{i_m}\gamma^{j_m}, \] 其中 \(i_1,j_m\) 可以为零, 其他的指数不为零.

Claim 31.3 (自由积的泛性质) 设群族 \((G_\alpha)_{\alpha\in A}\). 任给群 \(H\) 和群同态族 \(\varphi_\alpha:G_\alpha\to H\), 存在唯一的同态 \(\Phi:\mathop{\LARGE*}_{\alpha\in A}G_\alpha\to H\) 满足交换图: \[ \xymatrix@R=3.5em{ \mathop{\LARGE*}_{\alpha\in A} G_\alpha \ar@{.>}[rd]^\Phi \\ G_\alpha \ar[r]_{\varphi_\alpha} \ar[u]^{\iota_\alpha} & H. } \]

• 自由积是群范畴的余积构造.
• 在同构意义下, 自由积是唯一的满足泛性质的构造.

Pf 交换图要求 \(\Phi\circ\iota_\alpha=\varphi_\alpha\), 即 \[ \Phi(g) = \varphi_\alpha(g). \] \(\Phi\) 还是群同态, 即 \[ \Phi(g_1\cdots g_m)=\Phi(g_1)\cdots\Phi(g_m). \] 上面的第一个式子唯一确定了 \(\Phi\) 在 \(G_\alpha\) 上的取值, 第二个式子唯一确定了 \(\Phi\) 在任意字上的取值, 因此 \(\Phi\) (如果存在) 是唯一确定的.

我们用以上两个式子作为 \(\Phi\) 的定义, 我们要说明它是良定义的, 即在等价的字上取值相同. 只需对初等约化在 \(\Phi\) 下不变:

1. 若 \(g_i,g_{i+1}\in G_\alpha\), 则 \(\Phi(g_ig_{i+1})=\varphi_\alpha(g_ig_{i+1})=\varphi_\alpha(g_i)\varphi_\alpha(g_{i+1})=\Phi(g_i)\Phi(g_{i+1})\), 所以将相邻两项合并不改变 \(\Phi\) 的值.
2. 因为 \(\Phi(e_\alpha)=\varphi_\alpha(e_\alpha)=e_H\), 所以删去 \(e_\alpha\) 不改变 \(\Phi\) 的值.

所以 \(\Phi\) 是良定义的. 根据定义的第二个式子, \(\Phi\) 是同态.

31.2 Free groups

设群 \(G\) 的子集 \(S\). \(S\) 生成的子群指的是 \(G\) 的所有包含 \(S\) 的子群的交, 也就是包含 \(S\) 的最小子群, 记作 \(\lr{S}\). 若 \(S\) 是有限集 \(\{g_1,\dots,g_m\}\), 也可将 \(\lr{S}\) 记作 \(\lr{g_1,\dots,g_m}\).

如果 \(\lr{S}=G\), 则称 \(S\) 生成 \(G\), \(S\) 中的元素称为 \(G\) 的生成元 (generators). 此时, \(G\) 中的群元可以写作 \(S\) 中元素的整数幂的有限积 \(g_1^{n_1}\cdots g_m^{n_m}\) (\(g_i\in S\), \(n_i\in\Z\)). 例如, 循环群是一个元素生成的群.

设符号 \(\sigma\), 我们定义 \(\sigma\) 生成的自由群 \(F(\sigma)\) 为集合 \(\{\sigma\}\times\Z\) 配以乘法 \((\sigma,m)(\sigma,n)=(\sigma,m+n)\). 我们将 \((\sigma,m)\) 简写作 \(\sigma^m\), 将 \((\sigma,1)\) 认同于 \(\sigma\).

任给集合 \(S\), 定义 \(S\) 生成的自由群 \(F(S)\) 为 \(S\) 中所有元素生成的自由群的自由积: \[ F(S):=\mathop{\LARGE*}_{\sigma\in S} F(\sigma) \] 集合 \(S\) 通过自然包含 \(\iota:S\to F(S)\) 认同于 \(F(S)\) 的子集. \(F(S)\) 的群元可唯一地写作既约字 \(\sigma_1^{n_1}\cdots\sigma_k^{n_k}\), 其中 \(\sigma_i\neq\sigma_{i+1}\), 指数 \(n_i\neq0\). 群乘法就是将群元并排写在一起, 利用约化关系 \(\sigma_i^n\sigma_i^k=\sigma_i^{n+k}\) 化简并删去 \(\sigma_i^0\).

• \(S\) 生成的自由群也可以记作 \(\lr{S}\).
• 空集生成的自由群是平凡群 \(\{e\}\). 单个元素生成的自由群是无穷循环群 \(F(\sigma)\). 两个元素 \(\{\beta,\gamma\}\) 生成的循环群是 \(F(\beta,\gamma)=F(\beta)*F(\gamma)\), 和之前提到的 \(\Z/2*\Z/2\) 认同.

Claim 31.4 (自由群的泛性质) 设集合 \(S\). 任给群 \(H\) 和映射 \(\varphi:S\to H\), 存在唯一群同态 \(\Phi:\lr{S}\to H\) 满足交换图: \[ \xymatrix{ F(S) \ar@{.>}[rd]^\Phi \\ S \ar[r]_\varphi \ar@{^{(}->}[u]^{\iota} & H. } \]

• 自由群是群范畴中的自由对象.
• 在同构意义下, \(S\hookrightarrow F(S)\) 是满足泛性质的唯一构造.

作为推论, 对任意群 \(G\) 和生成 \(G\) 的子集 \(S\), 包含映射 \(S\to G\) 唯一地诱导出满同态 \(\Phi:F(S)\to G\), 进而有同构 \[ F(S)/\ker\Phi \cong G. \] 即任意群都是自由群的商群. 如果存在 \(G\) 的子集 \(S\), 使得 \(\Phi\) 是同构, 则 \(F(S)\cong G\). 此时也称 \(G\) 是自由群.

Claim 31.5 群 \(G\) 是自由群, 当且仅当存在子集 \(S\subset G\) 使得任意 \(G\) 的非恒等元 \(g\) 可以唯一地写作 \[ g=\sigma_1^{n_1}\cdots\sigma_k^{n_k}, \] 其中 \(\sigma_i\in S\), \(\sigma_i\neq\sigma_{i+1}\), \(n_i\) 是非零整数.

31.3 Presentation of groups

任意群 \(G\) 都同构于自由群的商 \(G\cong\lr{S}/\ker\Phi\), 也就是将 \(\ker\Phi\) 中的元素视作恒等元而得到的商群.

一般地, 群 \(G\) 的表现 (group presentation) 指的是二元组 \(\lr{S|R}\), 其中 \(S\) 是任意集合, 其元素称为生成元 (generators); \(R\subset\lr{S}\), 其元素称为关系元 (relators). 它们满足 \[ G \cong \lr{S|R} := \lr{S}/\overline{R}, \] 其中 \(\overline{R}\) 是 \(R\) 在 \(\lr{S}\) 中的正规闭包 (normal closure), 即包含 \(R\) 的所有正规子群之交 (包含 \(R\) 的最小正规子群).

• \(\lr{S|R}\) 是满足 "\(R\) 中元素认同于 \(e\)" 的最大的 \(\lr{S}\) 的子群.

• 若存在 \(G\) 的表现 \(\lr{S|R}\), 其中 \(S,R\) 都是有限集, 则称 \(G\) 是有限表现的 (finitely presented). 此时, 可以将表现记作 \(\lr{s_1,\dots,s_n\mid r_1,\dots,r_m}\). 关系元 \(r_i\) 也可以用一个方程 \(r_i=e\) (称为关系) 来替代: \[ \lr{s_1,\dots,s_n\mid r_1=e,\dots,r_m=e}. \] 更进一步, 还可以写成 \[ \lr{s_1,\dots,s_n\mid r_1=q_1,\dots,r_m=q_m}, \] 其中的关系元是 \(r_1q_1^{-1},\dots,r_mq_m^{-1}\).

Claim 31.6 (一些群的表现)

1. 自由群 \(F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\equiv\lr{\alpha_1,\dots,\alpha_n} \cong\lr{\alpha_1,\dots,\alpha_n\mid\emptyset}\). 特别地, \(\Z\cong\lr{\alpha\mid\emptyset}\).
2. \(\Z\times\Z\) 的一个表现是 \(\lr{\beta,\gamma\mid\beta\gamma=\gamma\beta}\).
3. \(\Z/n\) 的一个表现是 \(\lr{\alpha\mid\alpha^n=e}\).
4. \(\Z/m\times\Z/n\) 的一个表现是 \(\lr{\beta,\gamma\mid\beta^m=1,\gamma^n=1,\beta\gamma=\gamma\beta}\).

顾名思义, 群表现直观地展现出一个群的结构. 然而, 即使给定了 \(G\) 的一个有限表示 \(\lr{S|R}\), 一些基本的问题仍然是十分困难的, 比如:

1. 同构问题: 给定两个群的有限表示, 如何判断这两个群是否同构?
2. 字问题: 给定一个群的有限表示 \(\lr{S|R}\), 如何判断 \(S\) 的两个字在 \(\lr{S|R}\) 中是相等的?

在 1950 年代, 人们证明了: 不存在解决这两个问题的算法! (不能保证在有限步内给出答案.) 基于群表现对群进行研究的学科称为组合群论 (combinatorial group theory).

最后引入融合自由积. 设群 \(G_1,G_2,H\), 群同态 \(f_1:H\to G_1\), \(f_2:H\to G_2\), 则 \(G_1,G_2\) 的沿着 \(H\) 的融合自由积 (amalgamated free product) 定义为 \((G_1*G_2)/\overline{C}\), 其中 \(C=\{f_1(g)f_2(g)^{-1}\mid g\in H\}\) 通过包含映射视作 \(G_1*G_2\) 的子集. 融合自由积记作 \(G_1*_HG_2\).

Claim 31.7 (融合自由积的表现) 设群 \(G_1,G_2,H\), 同构 \(f_1:H\to G_1\), \(f_2:H\to G_2\). 若 \(G_1,G_2,H\) 分别有下列有限表示: \[ \Align{ G_1&\cong\lr{\alpha_1,\dots,\alpha_m\mid\rho_1,\dots,\rho_r}, \\ G_2&\cong\lr{\beta_1,\dots,\beta_n\mid\sigma_1,\dots,\sigma_s}, \\ H&\cong\lr{\gamma_1,\dots,\gamma_p\mid\tau_1,\dots,\tau_t}, \\ } \] 则融合自由积有如下表示: \[ \Align{ G_1*_HG_2\cong\langle \alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_n \mid {} & \rho_1,\dots,\rho_r,\sigma_1,\dots,\sigma_s, \\ & u_1=v_1,\dots,u_p=v_p \rangle, } \] 其中 \(u_a\) 是 \(f_1(\gamma_a)\in G_1\) 关于生成元 \(\{\alpha_i\}\) 的表达式, \(v_a\) 是 \(f_2(\gamma_a)\in G_2\) 关于生成元 \(\{\beta_i\}\) 的表达式.

31.4 Free abelian groups

设一个 Abel 群 \(G\), 我们记其群乘法为 \(+\), 恒等元为 \(0\), 逆元为 \(-x\). 对于 \(n\in\Z\), \(ng=g+\dots+g\). \(G\) 中元素的线性组合指的是有限和 \(\sum_{i=1}^k n_ig_i\), \(n_i\in\Z\), \(g_i\in G\).

设集合 \(S\), \(S\) 中元素的形式线性组合指的是映射 \(f:S\to\Z\), 其只在有限个 \(\sigma\in S\) 上非零. 在映射的逐点加法下, 所有形式线性组合构成一个 Abel 群, 称作 \(S\) 生成的自由 Abel 群, 记作 \(\Z S\). \(S\) 中的元素 \(\sigma\) 可以与映射 \(f(\sigma)=1\), \(f(\tau)=0\) (\(\forall\tau\neq\sigma\)) 认同, 因而 \(S\) 视作 \(\Z S\) 的子集. 进而 \(\Z S\) 中的元素唯一地写作 \[ \sum_{i=1}^kn_i\sigma_i,\quad n_i\in\Z,\sigma_i\in S. \]

• 单个元素生成的自由 Abel 群 \(\Z\{\sigma\}\) 同构于 \(F(\sigma)\). 空集生成的自由 Abel 群是平凡群 \(\{0\}\).

Claim 31.8 (自由 Abel 群的性质) 设非空集合 \(S\).

1. (泛性质) 任给 Abel 群 \(H\) 和映射 \(\varphi:S\to H\), 存在唯一群同态 \(\Phi:\Z S\to H\) 满足 \(\Phi\circ\iota_S=\varphi\).

2. 有限集生成的自由 Abel 群 \(\Z\{\sigma_1,\dots,\sigma_n\}\) 同构于 \(\Z^n\), \[ \Align{ \Z^n&\overset\sim\to\Z\{\sigma_1,\dots,\sigma_n\}, \\ (k_1,\dots,k_n)&\mapsto k_1\sigma_1+\dots+k_n\sigma_n. } \]

3. \(S\) 生成的自由 Abel 群 \(\Z S\) 同构于 \(\bigoplus_{\sigma\in S}\Z\{\sigma\}\), \[ \Align{ \Z S&\overset\sim\to \bigoplus_{\sigma\in S}\Z\{\sigma\}, \\ f &\mapsto \sum_{\sigma\in S} f(\sigma)\sigma. } \]

设 Abel 群 \(G\), 非空子集 \(S\) 称为线性无关的, 若 \(S\) 的任意非零系数线性组合给出非零元. 规定空集线性无关. \(G\) 的一个基底指的是生成 \(G\) 的线性无关集. \(\Z^n\) 上有标准基底 \(\{e_i=(0,\dots,1,\dots,0)\}\).

对于 Abel 群 \(G\), 若存在其子集 \(S\), 使得包含映射 \(S\to G\) 诱导的群同态 \(\Phi:\Z S\to G\) 是同构, 则称 \(G\) 为自由 Abel 群.

• 自由 Abel 群不等于交换的自由群. 实际上, 交换的自由群只有两种: 平凡群和无穷循环群.

Claim 31.9 (自由 Abel 群)

1. Abel 群 \(G\) 是自由 Abel 群, 当且仅当它有一个基底.
2. 若 Abel 群 \(G\) 有一个有限基底, 则它的任意有限基底有相同基数.

若 Abel 群 \(G\) 有一个有限基底, 则基底的基数称为 \(G\) 的秩, 记作 \(\rank{G}\), 称 \(G\) 是有限秩的. 如果 \(G\) 没有有限基底, 则称它是无限秩的.

Claim 31.10 (有限秩自由 Abel 群的子群) 有限秩自由 Abel 群 \(G\) 的子群 \(H\) 也是有限秩自由 Abel 群, 且 \(\rank{H}\leq\rank{G}\).

• (推论) 有限生成的 Abel 群的子群是有限生成的.

对于一个一般的 Abel 群 \(G\), 称群元 \(g\) 为挠元, 若存在 \(n\in\Z^*\) 使得 \(ng=0\). 所有挠元组成了 \(G\) 的一个子群, 称为挠子群, 记作 \(G_{\rm tor}\). 称 \(G\) 是无挠的, 若 \(G_{\rm tor}=\{0\}\). 容易证明 \(G/G_{\rm tor}\) 是无挠的.

Claim 31.11 任意有限生成且无挠的 Abel 群 \(G\) 都是自由 Abel 群, 且有限秩.

于是, 可以定义有限生成 Abel 群 \(G\) 的秩为 \(\rank(G/G_{\rm tor})\) (根据推论, 它是有限生成 Abel 群; 根据上面的定理, 它是有限秩的自由 Abel 群).

• \(\Z^n\) 是无挠的有限生成自由 Abel 群, 秩为 \(n\).
• 任意有限 Abel 群的秩为 \(0\) (每个群元都是挠元).
• 直积群 \(G=\Z^n\times\Z/k_1\times\dots\times\Z/k_n\) 的秩为 \(n\), 因为 \(G_{\rm tor}=\Z/k_1\times\dots\times\Z/k_n\).

Claim 31.12 (秩-零化度定理) 设 Abel 群 \(G,H\) 的群同态 \(f:G\to H\). 则 \(G\) 有限生成, 当且仅当 \(\im{f},\ker{f}\) 都有限生成. 此时 \(\rank{G}=\rank\im{f}+\rank\ker{f}\).

31.5 The abelianization of a group

在证明标准曲面不同胚时, 我们会用到这个概念.

群 \(G\) 的换位子群 (commutator subgroup) 是所有形如 \(\alpha\beta\alpha^{-1}\beta^{-1}\) (\(\alpha,\beta\in G\)) 的元素生成的子群, 记作 \([G,G]\). 容易验证:

• \([G,G]\) 是 \(G\) 的正规子群.
• \([G,G]\) 平凡当且仅当 \(G\) 是 Abel 群.
• 商群 \(G/[G,G]\) 是 Abel 群.

商群 \(G/[G,G]\) 称为 \(G\) 的交换化或 Abel 化 (abelianization), 记作 \({\rm Ab}(G)\). 交换化是 \(G\) 中 "最大的" 可交换商群. 任意 \(G\) 到 Abel 群的群同态通过 \({\rm Ab}(G)\) 有唯一分解.

Claim 31.13 (交换化的泛性质) 设群 \(G\). 任给 Abel 群 \(H\) 和同态 \(\varphi:G\to H\), 存在唯一同态 \(\tilde\varphi:{\rm Ab}(G)\to H\) 满足交换图 \[ \xymatrix{ G \ar[r]^\varphi \ar[d]_\pi & H \\ {{\rm Ab}(G).} \ar@{.>}[ru]_{\tilde\varphi} } \] 在同构意义下, \({\rm Ab}(G)\) 是满足泛性质的唯一构造.

显然, 交换群的交换化是其自身. 作为后续证明的准备工作, 我们计算几个群的交换化.

Claim 31.14 (几个群的交换化)

• \({\rm Ab}(\Z*\dots*\Z)=\Z\times\dots\times\Z\).
• \({\rm Ab}(\lr{\beta_1,\gamma_1,\dots,\beta_n,\gamma_n\mid\beta_1\gamma_1\beta_1^{-1}\gamma_1^{-1}\cdots\beta_n\gamma_n\beta_n^{-1}\gamma_n^{-1}=e})=\Z^{2n}\).
• \({\rm Ab}(\lr{\beta_1,\dots,\beta_n\mid\beta_1^2\cdots\beta_n^2=e})=\Z^{n-1}\times\Z/2\).

Pf 1, 因为 \(\Z^{*n}\cong\lr{\alpha_1,\dots,\alpha_n}\), 定义群同态 \(\varphi:\Z^{*n}\to\Z^n\), \[ \varphi(\alpha_i)=(\underbrace{0,\dots,1}_i,\dots,0)\equiv e_i\in\Z^n. \] 因为 \(\Z^n\) 是 Abel 群, 根据交换化的泛性质, \(\varphi\) 下降到同态 \(\varphi:{\rm Ab}(\Z^{*n})\to\Z^n\) (仍记作 \(\varphi\)). 为了证明 \(\varphi\) 可逆, 定义同态 \(\psi:\Z^n\to{\rm Ab}(\Z^{*n})\), \[ \psi(e_i) = [\alpha_i], \] 其中 \([\cdot]\) 表示 \({\rm Ab}(\Z^{*n})\) 中的等价类. 将 \(\psi\) 拓展到整个 \(\Z^n\) 上. 容易证明 \(\psi,\varphi\) 互为逆映射.

2, 记 \(G=\lr{\beta_1,\gamma_1,\dots,\beta_n,\gamma_n\mid\beta_1\gamma_1\beta_1^{-1}\gamma_1^{-1}\cdots\beta_n\gamma_n\beta_n^{-1}\gamma_n^{-1}=e}\).

首先定义 \(\varphi:\lr{\beta_1,\gamma_1,\dots,\beta_n,\gamma_n}\to\Z^{2n}\): \[ \varphi(\beta_i):=e_i,\quad \varphi(\gamma_i):=e_{n+i}. \] 于是 \(\varphi\) 将形如 \(\beta_1\gamma_1\beta_1^{-1}\gamma_1^{-1}\cdots\beta_n\gamma_n\beta_n^{-1}\gamma_n^{-1}\) 的群元映到 \((0,\dots,0)\), 因此 \(\varphi\) 下降到 \(\varphi:G\to\Z^{2n}\). 根据交换化的泛性质, \(\varphi\) 进一步下降到 \(\varphi:{\rm Ab}(G)\to\Z^{2n}\). 对于可逆性, 定义 \(\psi:\Z^{2n}\to{\rm Ab}(G)\), \[ \psi(e_i)=\Cases{ [\beta_i], & 1\leq i\leq n, \\ [\gamma_{n-i}], & n+1\leq i\leq 2n, } \] 其中 \([\cdot]\) 表示 \({\rm Ab}(G)\) 中的等价类. 将 \(\psi\) 拓展到整个 \(\Z^{2n}\) 上. 容易证明 \(\psi,\varphi\) 互为逆映射.

3, 记 \(H=\lr{\beta_1,\dots,\beta_n\mid\beta_1^2\cdots\beta_n^2=e}=\Z^{n-1}\).

记 \(f\) 是 \(\Z/2\) 中的非恒等元. 定义 \(\varphi:\lr{\beta_1,\dots,\beta_n}\to\Z^{n-1}\times\Z/2\), \[ \varphi(\beta_i)=\Cases{ e_i, & 1\leq i\leq n-1, \\ f-e_1-\dots-e_{n-1}, & i=n. } \] 和之前一样, \(\varphi(\beta_1^1\cdots\beta_n^2)=(0,\dots,0)\), 进而下降到 \(f:H\to\Z^{n-1}\times\Z/2\). 因为 \(\Z^{n-1}\times\Z/2\) 是 Abel 群, \(f\) 下降到 \(f:{\rm Ab}(H)\to\Z^{n-1}\times\Z/2\). 它的一个逆同态是 \(\psi:\Z^{n-1}\times\Z/2\to{\rm Ab}(H)\), \[ \psi(e_i)=[\beta_i],\quad \psi(f)=[\beta_1\cdots\beta_n]. \]

作为最后的补充, 交换化实际上构成群范畴 \({\sf Grp}\) 到 Abel 群范畴 \({\sf Ab}\) 的函子. 对于群 \(G\), 它的像是 \({\rm Ab}(G)\). 对于群同态 \(\varphi:G\to H\), 我们这样构造其像: \[ \xymatrix@=3.5em{ G \ar[d]_{\pi_G} \ar[r]^\varphi \ar@{.>}[rd]|{\pi_H\circ\varphi} & H \ar[d]^{\pi_H} \\ {{\rm Ab}(G)} \ar@{.>}[r]_{{\rm Ab}(\varphi)} & {{\rm Ab}(H)} } \] 设 \(G,H\) 分别有交换化 \(\pi_G:G\to{\rm Ab}(G)\) 和 \(\pi_H:H\to{\rm Ab}(H)\), 则 \(\pi_H\circ\varphi\) 是到交换群 \({\rm Ab}(H)\) 的同态. 根据泛性质, 它下降到 \({\rm Ab}(G)\to{\rm Ab}(H)\) 的同态, 记作 \({\rm Ab}(\varphi)\), 即为 \(\varphi\) 在交换化函子下的像. 容易验证函子性: \({\rm Ab}(\psi\circ\varphi)=({\rm Ab}\,\psi)\circ({\rm Ab}\,\varphi)\) 以及 \({\rm Ab}({\rm id}_G)={\rm id}_{{\rm Ab}(G)}\).