GTM202 | 2 构造新的拓扑空间

GTM202 (Introduction to Topological Manifolds) Chapter 3 的笔记.

6 Subspaces

6.1 The subspace topology

子空间拓扑 / 相对拓扑: ${\mathcal{T}}_S=\{V\cap S\mid V\in \mathcal{T}\}$.

• 开集 $U\subset S$ 为 $X$ 中开集与 $S$ 的交. 闭集同理.

• (度量空间) 子空间拓扑 = 限制度量得到的拓扑.

• 注意: $S$ 中的相对开子集, 相对闭子集.

  • $S_1=[0,1]\cup (2,3)$, 闭子集 $[0,1]$ 是相对开子集. $S_2=\{1/n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, 单点子集是相对开子集.

Claim 6.1 (相对开/闭子集) $X$ 的子空间 $S$, $U\subset X$.

• (继承) $U$ 在 $S$ 中开, $S$ 在 $X$ 中开, 则 $U$ 在 $X$ 中开. (对闭同理.)
• $U$ 在 $X$ 中开/闭, 则 $U$ 在 $S$ 中开/闭.

Claim 6.2 (子空间拓扑的特征性质) 子空间 $S\subset X$. 任给 $f:Y\to S$, $f$ 连续当且仅当 $i\circ f:Y\to X$ 连续. (特别地, 包含映射 $i:S\to X$ 是连续的.) $$XYfi\circ fSi$$

子空间拓扑是满足特征性质的唯一拓扑.

• 我们想要子空间拓扑满足: (1) 包含映射连续 (要有足够开集); (2) 若连续映射 $f:Y\to X$ 的像集包含在 $S$ 内, 则 $f:Y\to S$ 也连续 (不能有太多开集). 子空间拓扑是平衡两者的唯一选择.
• 子空间拓扑是使得包含映射 $S\hookrightarrow X$ 连续的最弱拓扑.

Pf 设 $f$ 连续. 任给开集 $U\subset X$, 因为 $(i\circ f{)}^{-1}(U)=f^{-1}(U\cap S)$, 子空间拓扑意味 $U\cap S$ 开, 所以 $f^{-1}(U\cap S)$ 开.

设 $i\circ f$ 连续. 任给开集 $U\subset S$, 存在开集 $V\subset X$ 使得 $U=V\cap S$, 有 $f^{-1}(U)=(i\circ f{)}^{-1}(V)$ 是开集.

Claim 6.3 (连续映射的限制) $f:X\to Y$ 连续.

• (限制定义域) $f{|}_S:S\to Y$ 连续 ($S\subset X$ 子空间).
• (限制陪域) $f:X\to T$ 连续 ($T\subset Y$ 子空间).
• (扩张陪域) $f:X\to Z$ 连续 ($Y\subset Z$ 子空间).

Claim 6.4 (子空间拓扑的性质) $X$ 的子空间 $S$.

• $R$ 是 $S$ 的子空间, 则 $R$ 也是 $X$ 的子空间.
• (子空间的基) ${\mathcal{B}}_S=\{B\cap S\mid B\in \mathcal{B}\}$.
• $S$ 中序列在 $S$ 下收敛到 $p\in S$ 当且仅当在 $X$ 下收敛到 $p$.
• (继承) Hausdorff, 第一可数, 第二可数.

Claim 6.5 (稠密性夹逼) 设 $A\subset B\subset X$, 则 $A$ 在 $X$ 中稠密, 当且仅当 $A$ 在 $B$ 中稠密, 且 $B$ 在 $X$ 中稠密.

Pf 设 $\bar{A}=X$, 则 $\bar{B}\supset \bar{A}=X$, 于是 $\bar{A}=\bar{B}=X$.

设 $A$ 在 $B$ 中稠密, $B$ 在 $X$ 中稠密. 记 $A$ 在 $B$ 中的闭包为 ${\bar{A}}^B$, 则 $$B={\bar{A}}^B=\bigcap \{(\mathsf{\text{包含 }}A\mathsf{\text{ 的闭集}})\cap B\}=\bar{A}\cap B.$$ 因此 $B\subset \bar{A}$, 进而 $X=\bar{B}\subset \overline{\stackrel{―}{A}}=\bar{A}$, 有 $\bar{A}=X$.

Claim 6.6 (边界是流形) 带边 $n$-流形 $M$ 的非空边界 $\partial M$ (子空间拓扑) 是 $(n-1)$ 维无边流形.

Pf 子空间 $\partial M$ 继承 Hausdorff 性与第二可数性. 下面证明局部欧氏. $M$ 的坐标开覆盖 $(U_{\alpha },{\psi }_{\alpha })$ 给出了 $\partial M$ 的一个开覆盖 $\{U_{\alpha }\cap \partial M\}$. 根据边界的定义, ${\psi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap \partial M)=\psi (U_{\alpha })\cap \partial {\mathbb{H}}^n$, 其中右边是 $\partial {\mathbb{H}}^n={\mathbb{R}}^{n-1}$ 的开子集. 因此 $U_{\alpha }\cap \partial M$ 同胚于 ${\mathbb{R}}^{n-1}$ 的开子集, 是欧氏邻域.

6.2 Embeddings

拓扑嵌入: $f:A\to X$ 单射, 且 $A\to f(A)$ 是同胚.

• 子空间的包含映射 $i:S\hookrightarrow X$ 是嵌入.

• (刻画) 开/闭的连续单射是嵌入.

  • 拓扑嵌入 $f$ 是开/闭映射, 当且仅当 $f(A)$ 是 $X$ 的开/bi

• (与同胚) 满射嵌入是同胚.

Claim 6.7 (粘合引理, gluing lemma) 设 $X$ 的开覆盖/有限闭覆盖 $\{A_i\}$. 连续映射 $f_i:A_i\to Y$ 满足 $f_i{|}_{A_{ij}}=f_j{|}_{A_{ij}}$, 则存在唯一连续映射 $f:X\to Y$ 满足 $f{|}_{A_i}=f_i$.

Pf 显然 $f:X\to Y$ 是唯一存在的.

若 $\{A_i\}$ 是开覆盖, 则根据连续性的局部 criterion, $f$ 连续.

若 $\{A_i\}$ 是有限闭覆盖. 设 $K\subset Y$ 闭, 注意到 $f^{-1}(K)\cap A_i=f_i^{-1}(K)$, 且这是闭集 (因为 $f_i$ 连续, $f_i^{-1}(K)$ 是 $A_i$ 的闭子集, 而 $A_i$ 是 $X$ 的闭子集, 所有 $f^{-1}(K)$ 是 $X$ 的闭子集).

又因为 $f^{-1}(K)$ 是所有 $f^{-1}(K)\cap A_i$ 的并, 作为闭集的有限并, 也是闭集. 因此闭集的 $f$ 原象是闭集, 故连续.

流形的例子.

• 图像: 连续映射 $f:{\mathbb{R}}^n\supset U\to {\mathbb{R}}^k$ 的图像 $\mathrm{\Gamma }(f)=\{(x,y)\mid x\in U,y=f(x)\}\subset {\mathbb{R}}^{n+k}$, 赋予子空间拓扑. 实际上, $\mathrm{\Gamma }(f)$ 同胚于 $U$. 考虑 $\psi :U\to {\mathbb{R}}^{n+k}$, $\psi (x)=(x,f(x))$, 这是一个连续单射. 连续的投射 ${\pi }_1:\mathrm{\Gamma }(f)\to U$ 是 $\psi$ 的逆映射 (即 $\psi$ 是开映射) 所以 $\psi$ 是嵌入, $\mathrm{\Gamma }(f)$ 同胚于 $U$.

• 单位球面: 考虑 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中的单位球面 ${\mathbb{S}}^n$.

  • 作为函数图像. 可以将 ${\mathbb{S}}^n$ 分成若干个函数的函数图像. 设 $U_i^{+}$ 表示 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中满足 $x_i>0$ 的子集. $U_i^{-}$ 表示 $x_i<0$ 的子集. 因为 ${\mathbb{S}}^n$ 不包含原点, 所以 $U_1^{\pm },\dots ,U_n^{\pm }$ 覆盖住 ${\mathbb{S}}^n$. 在 $U_i^{\pm }$ 上解方程 $\Vert x\Vert =1$ 得到 $x\in {\mathbb{S}}^n\cap U_i^{\pm }$ 当且仅当 $$x_i=\pm \sqrt{1-(x_1{)}^2-\cdots -(x_{i-1}{)}^2-(x_{i+1}{)}^2-\cdots -(x_n{)}^2}.$$ 因此 ${\mathbb{S}}^n\cap U_i^{\pm }$ 是连续函数的图像, 同胚于 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集. 因此 ${\mathbb{S}}^n$ 是 $n$ 维流形.

  • 球极投影 (stereographic projection). 设北极点 $N=(0,\dots ,0,1)$, 映射 $\sigma :{\mathbb{S}}^n\setminus \{N\}\to {\mathbb{R}}^n$ 将 $x\in {\mathbb{S}}^n\setminus \{N\}$ 映到点 $u\in {\mathbb{R}}^n$, 满足 $N,x,U=(u,0)$ 三点共线. 可得 $$\sigma (x_1,\dots ,x_{n+1})=\frac{(x_1,\dots ,x_n)}{1-x_{n+1}}.$$ 容易算出其逆映射为 $${\sigma }^{-1}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{(2u_1,\dots ,2u_n,\Vert u{\Vert }^2-1)}{\Vert u{\Vert }^2+1}.$$ 因为 $\sigma ,{\sigma }^{-1}$ 都是连续的, 所以 ${\mathbb{S}}^n\setminus \{N\}$ 同胚于 ${\mathbb{R}}^n$, 给出了 $N$ 以外的点的欧氏邻域. 南极点的球极投影给出了 $N$ 的欧氏邻域.

• 甜甜圈面: $xz$-平面中的圆周 $C:(x-2{)}^2+z^2=1$ 绕 $z$ 轴旋转一周所得曲面 $D$. 令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$, 则环面由方程 $(r-2{)}^2+z^2=1$ 给出. 引入参数 $\theta$ 表示以 $z$ 为轴的经度角, $\varphi$ 表示圆 $C$ 的圆心角, 则环面 $D$ 的一个参数化是 $F:{\mathbb{R}}^2\to D$, $$F(u,v)=((2+\cos 2\pi u)\cos 2\pi v,(2+\cos 2\pi u)\sin 2\pi v,\sin 2\pi u).$$ $F$ 是局部同胚, 所以 $D$ 是 $2$-流形.

7 Product spaces

7.1 Finite products

积拓扑: 拓扑空间 $X_1,\dots ,X_n$ 的乘积拓扑由 $\mathcal{B}=\{U_1\times \cdots \times U_n\mid U_i\in {\mathcal{T}}_i\}$ 生成.

• 欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n=\mathbb{R}\times \cdots \times \mathbb{R}$ 的乘积拓扑与度量拓扑相同.

Claim 7.1 (乘积拓扑的特征性质) 映射 $f:Y\to \prod X_i$ 连续, 当且仅当任何分量 $f_i={\pi }_i\circ f$ 连续. $$\prod X_i{\pi }_{i}Y{f}_{i}f{X}_i$$

特别地, 自然投射 ${\pi }_i:\prod X_i\to X_i$ 连续. 此外, 乘积拓扑是满足特征性质的唯一拓扑.

Claim 7.2 (乘积拓扑的性质)

• (结合性) $X_1\times X_2\times X_3$, $(X_1\times X_2)\times X_3$, $X_1\times (X_2\times X_3)$ 上的拓扑相同.

• (嵌入) 下面映射是拓扑嵌入 $$\begin{array}{rl}f:X_i& \to X_1\times \cdots \times X_n,\\ x& \mapsto (x_1,\dots ,x_{i-1},x,x_{i+1},\dots ,x_n).\end{array}$$

  • 可以证明, 这是一个闭的连续单射.

• (自然投射) 自然投射 ${\pi }_i:\prod X_i\to X_i$ 是开映射.

• (基的乘积) $X_i$ 的基 ${\mathcal{B}}_i$, 则积拓扑的基 $\{B_1\times \cdots \times B_n\mid B_i\in {\mathcal{B}}_i\}$.

• (积与子空间拓扑) $S_i$ 为 $X_i$ 子空间, 则 $\prod S_i$ 的积拓扑与作为 $\prod X_i$ 的子空间拓扑相同.

• (继承) $X_i$ Hausdorff/第一可数/第二可数, 则 $\prod X_i$ 也具有相同性质.

Claim 7.3 (Hausdorff 的对角线刻画) $X$ Hausdorff 当且仅当对角线 $\mathrm{\Delta }=\{(x,x)\mid x\in X\}$ 在 $X\times X$ 中闭.

Pf 设 Hausdorff. 任给 $(x,y)\in {\mathrm{\Delta }}^C$, 则 $x\ne y$, 存在邻域 $U_x\cap U_y=\mathrm{\varnothing }$, 进而 $U_x\times U_y\subset {\mathrm{\Delta }}^C$, 说明 ${\mathrm{\Delta }}^C$ 开, 即 $\mathrm{\Delta }$ 闭.

反之, 设 $\mathrm{\Delta }$ 闭, 则任给 $(x,y)\in {\mathrm{\Delta }}^C$, 则存在邻域 $U_{(x,y)}\subset {\mathrm{\Delta }}^C$, 自然投射 $U_x={\pi }_1(U_{(x,y)})$ 和 $U_y={\pi }_2(U_{x,y})$ 给出了 $x,y$ 的不交邻域.

积映射: $(\prod f_i)(x_1,\dots ,x_k)=(f_1(x_1),\dots ,f_k(x_k))$.

Claim 7.4 连续映射的乘积是连续映射, 同胚的乘积是同胚.

Pf 设 $f_i:X_i\to Y_i$ 连续, (连续的基 criterion) 取 $\prod Y_i$ 的开集 $\prod U_i$ ($U_i$ 是 $Y_i$ 的开集), 则 $${(\prod f_i)}^{-1}(\prod U_i)=\prod f_i^{-1}(U_i),$$ 因为每一个 $f_i^{-1}(U_i)$ 开, 所以其乘积开, $\prod f_i$ 连续. 双射的乘积是双射; 同上可证开映射的乘积是开映射, 所以同胚的乘积是同胚.

Claim 7.5 (积流形) $M_1,\dots ,M_k$ 分别为 $n_1,\dots ,n_k$ 维流形, 则 $\prod M_i$ 是 $\sum n_i$ 维流形.

Pf 积空间 $\prod M_i$ 继承第二可数和 Hausdorff 性. 设 $(x_1,\dots ,x_k)\in \prod M_i$, 取 $x_i$ 的欧氏邻域 $U_i\in M_i$, 则 $\prod U_i$ 也是开集, 又因为同胚的乘积还是同胚, 所以 $\prod U_i$ 同胚于 $\prod {\mathbb{R}}^{n_i}={\mathbb{R}}^{\sum n_i}$ 的开集. 因此 $\prod M_i$ 是 $\sum n_i$ 维流形.

• 环面 (torus): ${\mathbb{T}}^n={\mathbb{S}}^1\times \cdots \times {\mathbb{S}}^1$.

7.2 Infinite products

无穷乘积: $\prod X_{\alpha }$, 默认为积拓扑.

• 箱拓扑: ${\mathcal{B}}_0=\{\prod U_{\alpha }\mid U_{\alpha }\in {\mathcal{T}}_{\alpha }\}$ 生成.

• 积拓扑: $\mathcal{B}=\{\prod U_{\alpha }\mid U_{\alpha }\in {\mathcal{T}}_{\alpha },\mathsf{\text{ 只有有限个 }}{U}_{\alpha }\ne X_{\alpha }\}$ 生成.

  • 当只有有限个 $X_{\alpha }$ 具有非平凡拓扑时, 积拓扑与箱拓扑相同.
  • 若有无穷多个非平凡 $X_{\alpha }$, 考虑 $U=\prod U_{\alpha }$, 其中无穷多个 $U_{\alpha }\ne X_{\alpha }$. 则 $U$ 在箱拓扑下开, 在积拓扑下不是开集.

Claim 7.6 (无穷积拓扑特征性质) 映射 $f:Y\to \prod X_{\alpha }$ 连续, 当且仅当所有 $f_{\alpha }={\pi }_{\alpha }\circ f$ 连续. 积拓扑是满足特征性质的唯一拓扑.

Pf $f$ 连续推出 $f_i$ 连续是平凡的. 设 $f_i$ 连续, 开集 $\prod U_{\alpha }\subset \prod X_{\alpha }$. 因为 $$f^{-1}(\prod U_{\alpha })=\bigcap f^{-1}(U_{\alpha }),$$ 注意, 只有有限个 $U_{\alpha }\ne X_{\alpha }$, 所以右边实际上是有限交, 因此仍是开集.

8 Disjoint union spaces

不交并拓扑: 设不交并 $\coprod X_{\alpha }$. 子集 $U\subset \coprod X_{\alpha }$ 是开集, 当且仅当所有 $U\cap X_{\alpha }$ 是开集.

Claim 8.1 (不交并拓扑的特征性质) 映射 $f:\coprod X_{\alpha }\to Y$ 连续, 当且仅当任意限制 $f_{\alpha }=f\circ i_{\alpha }$ 连续. 不交并拓扑是满足特征性质的唯一拓扑. $$\coprod X_{\alpha }Y{f}_{\alpha }f{X}_{\alpha }{i}_{\alpha }$$

Pf 设 $f$ 连续, 由 $f_{\alpha }^{-1}(U)=X_{\alpha }\cap f^{-1}(U)$ 即得. 设 $f_{\alpha }$ 连续, 注意到 $f^{-1}(U)=\bigcup f_{\alpha }^{-1}(U)$, 开集的任意并都是开集.

Claim 8.2 (不交并拓扑的性质)

• (闭集刻画) $U\subset \coprod X_{\alpha }$ 闭, 当且仅当每个 $U\cap X_{\alpha }$ 闭.
• (包含映射) $i_{\alpha }:X_{\alpha }\to \coprod X_{\alpha }$ 是拓扑嵌入 (连续单射, 既开又闭).
• (不交并与积拓扑) 若 $Y$ 是离散空间, 则拓扑空间 $X\times Y$ 与 $\coprod _{y\in Y}X$ 认同.
• (继承) $X_i$ Hausdorff/第一可数/第二可数(且指标集可数), 则 $\prod X_i$ 也具有相同性质.

Claim 8.3 (不交并流形) 若干 $n$ 维流形 $(M_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ 的不交并是流形, 当且仅当 $A$ 可数.

Pf 若 $A$ 可数, 则 $\coprod M_{\alpha }$ 第二可数且 Hausdorff. 任意 $M_{\alpha }$ 的某欧氏邻域 $U$ 也是 $\coprod M_{\alpha }$ 的欧氏邻域.

若 $A$ 不可数, 只需说明 $\coprod M_{\alpha }$ 不是第二可数的. 设 $M_{\alpha }$ 的开覆盖 $\{U_{\alpha }\}$, 则 $\coprod \{U_{\alpha }\}$ 构成了 $\coprod M_{\alpha }$ 的开覆盖. 这个覆盖不可数, 且没有可数子覆盖 (不满足第二可数空间的性质).

9 Quotient spaces

9.1 The quotient topology

商拓扑: 拓扑空间 $X$, 满射 $q:X\to Y$. 定义 $U\subset Y$ 为开集, 当且仅当 $q^{-1}(U)$ 是 $X$ 的开集. 此时 $q$ 称为商映射. 商映射显然是连续的.

设拓扑空间 $X$ 上的等价关系 $\sim$, $q:X\to X/\sim$, $x\mapsto [x]$. 在 $q$ 的商拓扑下, $X/\sim$ 称为商空间.

• 商空间一般不继承 Hausdorff, 可数, 局部欧氏性质.

Claim 9.1 (商的第二可数条件) 设 $P$ 第二可数, $M$ 是商空间. 若 $M$ 局部欧氏, 则它也第二可数.

• 因此, 流形的商空间, 如果局部欧氏且 Hausdorff 的话, 也是流形.

Pf 记商映射 $q:P\to M$. 对于 $M$ 的坐标球开覆盖 $\mathcal{U}$, $q^{-1}[\mathcal{U}]$ 是 $P$ 的开覆盖. 它有可数子覆盖 $q[{\mathcal{U}}^{\prime }]$, 其中 ${\mathcal{U}}^{\prime }$ 可数. 于是 ${\mathcal{U}}^{\prime }$ 是 $M$ 的坐标球可数开覆盖. 坐标球第二可数, 则 $M$ 也第二可数.

Claim 9.2 (商的 Hausdorff 条件) 设开的商映射 $q:X\to Y$, 则 $Y$ Hausdorff 当且仅当 $$\mathcal{R}=\{(x_1,x_2)\mid q(x_1)=q(x_2)\}$$ 在 $X\times X$ 中闭.

Pf 设 $Y$ Hausdorff. 对 $(x_1,x_2)\notin \mathcal{R}$, 存在 $q(x_1),q(x_2)$ 的不交邻域 $V_1,V_2\subset Y$, 则 $q^{-1}(V_1)\times q^{-1}(V_2)$ 是 $(x_1,x_2)$ 的邻域, 且与 $\mathcal{R}$ 不交, 因此 $\mathcal{R}$ 闭.

反之, 设 $\mathcal{R}$ 闭. 设不同的两点 $y_1,y_2\in Y$, 取 $x_i\in X$ 满足 $q(x_i)=y_i$. 因为 $(x_1,x_2)\notin \mathcal{R}$, 存在邻域 $U_1\times U_2\subset X\times X$ 与 $\mathcal{R}$ 不交. 因为 $q$ 开, $q(U_1),q(U_2)$ 是 $y_1,y_2$ 的不交邻域.

• 若 $q$ 是等价关系 $\sim$ 确定的, 则定理表明, $X/\sim$ 闭当且仅当 $\sim$ 在 $X\times X$ 闭.

9.2 Properties of the quotient map

设 $X,Y$ 为拓扑空间, $q:X\to Y$ 是商映射.

• 子集 $q^{-1}(y)$ 称为 $y\in Y$ 的纤维. 子集 $U\subset X$ 称为关于 $q$ 饱和, 若 $U=q^{-1}(V)$.

  • $U$ 饱和 $⟺U=q^{-1}(q(U))⟺U$ 是纤维之并.

Claim 9.3 (商映射刻画) 连续满射 $q:X\to Y$ 是商映射, 当且仅当 $q$ 将饱和开/闭集映到开/闭集.

• 一个充分条件: 连续的开/闭满射是商映射.

Pf 设 $q$ 商映射, 则是连续的, 显然将饱和开/闭集映到开/闭集.

设 $q$ 将饱和开集映到开集. 任给子集 $U\subset Y$, 注意 $q^{-1}(U)$ 是饱和子集. 若 $q^{-1}(U)$ 开, 则 $U$ 开. 若 $U$ 开, 则 $q^{-1}(U)$ 开 (因为 $q$ 连续). 因此 $q$ 是商映射.

设 $q$ 将饱和闭集映到闭集. 任给子集 $U\subset Y$. 若 $q^{-1}(U)$ 开, 即 $X\setminus q^{-1}(U)=q^{-1}(Y\setminus U)$ 闭, 则 $Y\setminus U$ 闭, 即 $U$ 开. 若 $U$ 开, 则 $q^{-1}(U)$ 开 (连续性). 因此 $q$ 是商映射.

Claim 9.4 (商映射的性质)

• 商映射的复合是商映射.
• 单射的商映射是同胚.
• $K\subset Y$ 闭, 当且仅当 $q^{-1}(K)$ 闭.
• (限制) 商映射在饱和开/闭集上的限制是商映射.
• 一族商映射 $q_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y_{\alpha }$, 若 $q:\coprod X_{\alpha }\to \coprod Y_{\alpha }$ 满足 $q{|}_{X_{\alpha }}=q_{\alpha }$, 则 $q$ 也是商映射.

Claim 9.5 (连续的开/闭映射的性质总结) 设开/闭的连续映射 $f:X\to Y$.

• 若单射, 则是拓扑嵌入.
• 若满射, 则是商映射.
• 若双射, 则是同胚.

商的特征性质.

Claim 9.6 (商映射的特征性质) 商映射 $q:X\to Y$. 映射 $f:Y\to Z$ 连续当且仅当 $f\circ q$ 连续. $$Xqf\circ qYfZ$$

Pf 对开集 $U$, 因为 $q^{-1}(f^{-1}(U))=(f\circ q{)}^{-1}(U)$, 所以 $f^{-1}(U)$ 开当且仅当 $(f\circ q{)}^{-1}(U)$ 开.

Claim 9.7 (商拓扑的唯一性) 设拓扑空间 $X$, 集合 $Y$, 满射 $q:X\to Y$. 商拓扑是满足特征性质的唯一拓扑.

Claim 9.8 (唯一下降/泛性质) 设商映射 $q:X\to Y$. 任给连续映射 $f:X\to Z$ 满足在纤维上常值, 则存在唯一连续映射 (称为 $f$ 在商空间的下降) $\tilde{f}:Y\to Z$ 使得 $f=\tilde{f}\circ q$. $$XqfY\tilde{f}Z$$

Pf 存在唯一性由商集合的泛性质保证. 连续性由商拓扑特征性质保证.

Claim 9.9 (商空间唯一性) 设商映射 $q_1:X\to Y_1$ 和 $q_2:X\to Y_2$ 满足 $q_1(x)=q_1(x^{\prime })$ 当且仅当 $q_2(x)=q_2(x^{\prime })$, 则存在唯一的同胚 $\varphi :Y_1\to Y_2$, 使得 $\varphi \circ q_1=q_2$.

商空间的例子.

• 单位圆. $\mathbb{R}$ 上的等价关系 $x\sim y⟺x-y\in \mathbb{Z}$. 商空间 $\mathbb{R}/\sim$ 同胚于 ${\mathbb{S}}^1$.

  Pf 设 $q:\mathbb{R}\to {\mathbb{S}}^1$, $q(t)={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}t}$. 要证明 $q$ 开, 只需考虑 $\mathbb{R}$ 的拓扑基, 即所有的开区间即可. 对于长度 $\ge 1$ 的开区间, 它映到整个 ${\mathbb{S}}^1$, 当然是开的. 对于长度 $<1$ 的开区间, 它映到 ${\mathbb{S}}^1$ 上的一段弧 (不含端点), 显然是某 ${\mathbb{R}}^2$ 开球与 ${\mathbb{S}}^1$ 的交, 所以是开集. 因此 $q$ 是开的满射, 进而是商映射.

  注意到 $q:\mathbb{R}\to {\mathbb{S}}^1$ 和 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}/\sim$ 给出相同的 identification, 根据商映射的唯一性 ${\mathbb{S}}^1$ 同胚于 $\mathbb{R}/\sim$.

  • 连续的 $\mathbb{Z}$ 周期函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 可以唯一地下降到 $\tilde{f}:\mathbb{R}/\sim \to \mathbb{R}$.

• 球面. ${\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{0\}$, 定义映射 $q:{\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{0\}\to {\mathbb{S}}^n$, $q(x)=x/\Vert x\Vert$. 这是一个连续的满射. $q$ 的饱和开子集是开射线之并, 显然 $q$ 将饱和开子集映到饱和开子集, 进而是商映射.

• 实射影空间. ${\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{0\}$ 上的等价关系 $x\sim y⟺x=\lambda y$ ($\lambda \in {\mathbb{R}}^{\ast }$). 商空间称为实射影空间 ${\mathbb{RP}}^n$.

• 将子集坍缩为一点. 设子集 $A\subset X$. 等价关系 $a_1\sim a_2$ 对任意 $a_1,a_2\in A$, 而 $x\sim x$ 对任意 $x\notin A$. 记 $X/A:=X/\sim$, 即将 $A$ 坍缩到一点.

• 锥(cone). $I=[0,1]$. 商空间 $(X\times I)/(X\times \{0\})$ 称为 $X$ 上的锥, 记作 $CX$.

  • 考虑 $X\times I$ 的饱和子集 $X\times \{1\}$, 商映射 $q:X\times I\to CX$ 限制到 $X\times \{1\}$ 仍是商映射. 记 $X^{\ast }=q(X\times \{1\})$, 则商映射 $X\cong X\times \{1\}\to X^{\ast }$ 是单射, 进而是同胚. 一般认同 $X$ 和 $X^{\ast }$, 将 $X$ 视作 $CX$ 的子空间.

• 楔和/一点并. 设拓扑空间 $X_{\alpha }$, 给定 $p_{\alpha }\in X_{\alpha }$ 称为基点. 楔和 $\bigvee X_{\alpha }$ 定义为 $\coprod X_{\alpha }$ 将 $\{p_{\alpha }{\}}_{\alpha }$ 认同为一点的商空间. 例如, $\mathbb{R}\vee \mathbb{R}$ 同胚于平面上的 $xy$ 轴之并; ${\mathbb{S}}^1\vee {\mathbb{S}}^1$ 同胚于一个 8 字.

• 两个原点的直线. 令 $X=(\mathbb{R}\times \{0\})\cup (\mathbb{R}\times \{1\})\subset {\mathbb{R}}^2$, 等价关系 $(x,0)\sim (x,1)$ 对 $x\ne 0$. 商空间 $X/\sim$ 称为两个原点的直线. 它是局部欧氏且第二可数的, 但不 Hausdorff.

10 Adjunction spaces

黏着空间: 设拓扑空间 $X,Y$, 闭子集 $A\subset X$, 连续映射 $f:A\to Y$. 设 $X⨿Y$ 上的等价关系 $a\sim f(a)$ 对任意 $a\in A$, 则黏着空间 $X{\cup }_{f}Y:=(X⨿Y)/\sim$. 称 $Y$ 沿着 $f$ 黏合到 $X$, 映射 $f$ 称为贴映射(attaching map). 特别地, 若 $A$ 空, 则黏着空间是不交并.

Claim 10.1 (黏着空间的性质) 设商映射 $q:X⨿Y\to X{\cup }_{f}Y$.

• $q{|}_X$ 是拓扑嵌入, $q(X)$ 是 $X{\cup }_{f}Y$ 的闭子空间.
• $q{|}_{Y\setminus A}$ 是拓扑嵌入, $q(Y\setminus A)$ 是 $X{\cup }_{f}Y$ 的开子空间.
• $X{\cup }_{f}Y$ 是 $q(X)$ 和 $q(Y\setminus A)$ 的不交并.

• 因此, $X,Y\setminus A$ 分别认同于 $q(X),q(Y\setminus A)$, 视作 $X{\cup }_{f}Y$ 的子空间.

Pf 先证明 $q$ 是闭映射. 任取闭集 $B\subset X$, 要证明 $q(B)$ 在 $X{\cup }_{f}Y$ 中闭, 等价于 $q^{-1}(q(B))$ 在 $X⨿Y$ 中闭, 即 $$q^{-1}(q(B))\cap X,q^{-1}(q(B))\cap Y$$ 分别闭. 前者等于 $B$, 根据假设是闭的. 后者等于 $f^{-1}(B)$, 由 $f$ 的连续性, 是闭的. 这样, $q$ 是闭映射, 所以 $q(X)$ 是闭集. 又 $q{|}_X$ 是单的闭映射, 进而是嵌入.

注意 $X\setminus A\subset X⨿Y$ 是饱和子集, 所以 $q{|}_{Y\setminus A}$ 是商映射, 故单射 $q{|}_{X\setminus A}:X\setminus A\to q(X\setminus A)$ 是同胚. 特别地, $q(X\setminus A)$ 开.

黏着空间的例子.

• 选定基点 $x,y$ 的拓扑空间 $X,Y$, 令 $A=\{y\}$, $f:A\to X$ 定义为 $f(y)=x$, 则 $X{\cup }_{f}Y$ 是楔和 $X\vee Y$.
• 令 $A={\mathbb{S}}^2\subset \overline{{\mathbb{B}}^2}$, 包含映射 $f:A\hookrightarrow \overline{{\mathbb{B}}^2}$, 则 $\overline{{\mathbb{B}}^2}{\cup }_f\overline{{\mathbb{B}}^2}$ 同胚于 ${\mathbb{S}}^2$.

流形沿着边界贴合. 设 $n$ 维带边流形 $M,N$, 边界非空且 $h:\partial N\to \partial M$ 同胚. 注意 $\partial N$ 是 $N$ 的闭子集, 则有黏着空间 $M{\cup }_{h}N$.

Claim 10.2 (流形沿着边界贴合) $M{\cup }_{h}N$ 是 $n$ 维无边流形. 有嵌入 $e:M\to M{\cup }_{h}N$, $f:N\to M{\cup }_{h}N$, 其像都是闭子集, 且 $$\begin{array}{rl}e(M)\cup f(N)& =M{\cup }_{h}N\\ e(M)\cap f(N)& =e(\partial M)=f(\partial N).\end{array}$$

Pf 因为 $h$ 是同胚, 有 $M{\cup }_{h}N=N{\cup }_{h^{-1}}M$. 根据黏着空间的性质, 取 $e=q{|}_M$, $f=q{|}_N$ 即可满足上面的条件. 下面证明 $M{\cup }_{h}N$ 是 $n$ 维无边流形. 根据 Claim 9.1, 只用证明局部欧氏与 Hausdorff.

局部欧氏. 对于 $M,N$ 的内部点, 因为内部是开子集, 故其充分小坐标球仍在内部, 可以作为 $M{\cup }_{h}N$ 的坐标球. 对于 $M,N$ 的一对边界点 $x,y$ (有 $h(x)=y$), 记 $s=q(x)=q(y)$, 我们的想法是将两者的边界坐标系 "拼和" 成 $s$ 的一个内部坐系.

取 $x,y$ 的坐标系 $U,V$, 设 $\phi$ 将 $U$ 映到 ${\mathbb{H}}^n$ (作为上半平面) 的矩形, $\psi$ 将 $V$ 映到 ${\mathbb{H}}^n$ (作为下半平面) 的矩形 (如图). 适当缩小 $U,V$, 我们设 $U\cap \partial M$ 与 $V\cap \partial N$ 中的点通过 $h$ 一一对应.

此时 $U_0=\phi (U)\cap \partial {\mathbb{H}}^n$ 和 $V_0=\psi (V)\cap \partial {\mathbb{H}}^n$ 的对应点可能不在对应位置上. 因此 $\phi (U)$ 和 $\psi (V)$ 不能直接拼合, 需要对 $\psi (V)$ 进行一个变换 $F$. 这 $F$ 应当满足 $$(F\circ \psi )(p)=(\phi \circ h)(p),\mathrm{\forall }p\in V\cap \partial N.$$ 即 $F{|}_{V_0}$ 的取值是确定的, 将其延拓到 $\psi (V)$ (取 $F{|}_{V_0}$ 与恒等映射的积即可). 定义 $\mathrm{\Phi }:U⨿V\to {\mathbb{R}}^n$, $$\mathrm{\Phi }{|}_U:=\phi ,\mathrm{\Phi }{|}_V:=F\circ \psi .$$ 因为 $U⨿V$ 是饱和开子集, $q$ 在其上的限制是商映射, 且 $q(U⨿V)$ 是 $M{\cup }_{h}N$ 的开集. 根据 $F$ 的取法, $\mathrm{\Phi }$ 可以下降到商空间 $\tilde{\mathrm{\Phi }}:q(U⨿V)\to {\mathbb{R}}^n$, 它的一个逆映射是 $${\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{-1}(p)=\{\begin{array}{ll}(q\circ {\phi }^{-1})(p),& p^n\ge 0,\\ (q\circ {\psi }^{-1}\circ F^{-1})(p),& p^n\le 0,\end{array}$$ 根据 gluing lemma, ${\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{-1}$ 连续, 故 $\tilde{\mathrm{\Phi }}$ 是同胚, 即 $s$ 的一个坐标映射.

Hausdorff. 即证明 $q$ 的纤维可被饱和开集分离.

流形的双倍: 设带边流形 $M$, 恒等映射 $h={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\partial M}$, 则 $D(M):=M{\cup }_{h}M$ 称为 $M$ 的双倍. 若 $\partial M$ 为空, 则 $D(M)=M⨿M$.

Claim 10.3 (带边流形 $\cong$ 闭子集) 任意带边 $n$ 维流形都与 $n$ 维流形 (比如 $D(M)$) 的闭子集同胚.

11 Group actions

11.1 Topological groups

拓扑群: 群 $G$ 有拓扑结构, 且 $\mu :G\times G\to G$, $\mu (g,h)=gh$ 和 $\iota :G\to G$, $\iota (g)=g^{-1}$ 都连续.

Claim 11.1 (群结构 & 拓扑结构相容) 对于拓扑群,

• (子群) 子群是拥有子空间拓扑的拓扑群.
• (直积群) 有限直积是拥有积拓扑的拓扑群.
• (闭包) 子群的闭包也是子群.

Pf 1, 设子群 $H$ 配以子空间拓扑, 嵌入 $i_H:H\to G$, 则 ${\mu }_H=\mu \circ (i_H,i_H)$ 以及 ${\iota }_H=\iota \circ i_H$ 作为连续映射的复合, 都是连续的.

2, 设直积群 $H=\prod G_i$ 配以积拓扑. 一方面, 逆 ${\iota }_H=\prod {\iota }_i$ 作为连续映射的积, 是连续的. 另一方面, $H\times H\cong \prod (G_i\times G_i)$, 进而乘积 $${\mu }_H:H\times H\cong \prod (G_i\times G_i)\to \prod G_i$$ 可以认同为 $\prod {\mu }_i$, 所以是连续的.

3, 设子群 $H$, 需要证明 $\bar{H}$ 对乘积 $\mu$ 和逆 $\iota$ 封闭. 对于逆, $\iota$ 连续且 $\iota (H)=H$, 利用连续的刻画,

$\iota (\bar{H})=\overline{\iota (H)}=\bar{H}$, 可得 $\bar{H}$ 对逆封闭. 同理可得 $\bar{H}$ 对 $\mu$ 封闭.

• 左平移: $l_g(g^{\prime })=g{g}^{\prime }$, 是连续的, 因为 $l_g=\mu \circ i_g$, 其中嵌入 $i_g(g^{\prime })=(g,g^{\prime })$. 又 $l_g^{-1}=l_{g^{-1}}$, 所以左平移是同胚.

• 右平移 $r_g(g^{\prime })=g^{\prime }g$ 也是同胚.

• 拓扑齐性: $X$ 的任意两点 $x,y$, 存在同胚 $\phi :X\to X$ 满足 $\phi (x)=y$. 拓扑群是拓扑齐性的.

拓扑群的例子.

• 实数加法群 $\mathbb{R}$ 和直积群 ${\mathbb{R}}^n$.
• 实数乘法群 ${\mathbb{R}}^{\ast }$ 和子群, 正实数乘法群 ${\mathbb{R}}^{+}$.
• 复数乘法群 ${\mathbb{C}}^{\ast }$ 和子群, 单位复数乘法群 ${\mathbb{S}}^1$.
• 环面 ${\mathbb{T}}^n={\mathbb{S}}^1\times \cdots \times {\mathbb{S}}^1$.
• 离散群, 拥有离散拓扑的群.
• 一般线性群 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{R})$, 由 $n\times n$ 可逆实矩阵组成, 拥有 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 的子空间拓扑.
• 复一般线性群 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{C})$.
• 正交群 $\mathrm{O}(n)$, 是 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,R)$ 的子群, 由正交阵组成.

11.2 Group actions

群作用.

• 左作用: $G\times X\to X$, 满足 $g_1\cdot (g_2\cdot x)=(g_1{g}_2)\cdot x$ 和 $e\cdot x=x$. 同理有右作用.

• 同胚作用: 若 $X$ 是拓扑空间, 且对任意 $g\in G$, $x\mapsto g\cdot x$ 是同胚.

• 连续作用: $G\times X\to X$ 是连续映射.

Claim 11.2 (连续作用 & 同胚作用)

• 连续的作用是同胚作用.
• 若 $G$ 离散, 则作用是连续的当且仅当它是同胚作用.

Pf 设作用 $G\times X\to X$ 连续, 这意味着 $x\mapsto g\cdot x$ 也连续, 因为它是复合 $x\mapsto (g,x)\mapsto g\cdot x$. 左作用的定义保证 $x\mapsto g\cdot x$ 的逆映射是 $x\mapsto g^{-1}\cdot x$, 它也是连续的. 因此 $x\mapsto g\cdot x$ 是同胚.

设 $G$ 离散, 只需证明同胚作用是连续的. 此时, 映射 $G\times X\to X$ 限制到任意 $\{g\}\times X$ 上是连续的. 因为 $\{g\}\times X$ 构成 $G\times X$ 的开覆盖, 由 gluing lemma, $G\times X\to X$ 是连续的.

• 轨道: $G\cdot x=\{g\cdot x\mid g\in G\}\subset X$.

• 传递作用: 任何点的轨道都是 $X$.

• 自由作用: $g\cdot x=x$ (存在 $x\in X$) 蕴含 $g=e$.

• 轨道空间: 等价关系 $x\sim y⟺x=g\cdot y$, 即 $x,y$ 在同一轨道中. 商空间 $X/\sim :=X/G$ 称为轨道空间. 等价关系称作轨道关系.

Claim 11.3 (轨道关系是开的) 商映射 $q:X\to X/G$ 是开映射.

Pf 任给 $U\subset X$, 要证明 $q(U)$ 开, 即证 $q^{-1}(q(U))$ 开. 根据定义, $$q^{-1}(q(U))=\{g\cdot x\in X\mid g\in G,x\in U\}=\bigcup _{g\in G}g\cdot U,$$ 因为 $x\mapsto g\cdot x$ 是同胚, $U$ 开, 所以 $g\cdot U$ 开. 作为开集之并, $q^{-1}(q(U))$ 也开.

立刻得到推论:

Claim 11.4 (轨道空间的 Hausdorff 判定) $X/G$ Hausdorff 当且仅当 $$\mathcal{O}=\{(x_1,x_2)\mid x_1=g\cdot x_2,\mathrm{\exists }g\in G\}$$ 在 $X\times X$ 中闭.

子群在群上的作用.

• 拓扑群 $G$ 的子群 $\mathrm{\Gamma }$ 右作用于 $G$. 轨道 $\{g\gamma \mid \gamma \in \mathrm{\Gamma }\}=g\mathrm{\Gamma }$ 是 $\mathrm{\Gamma }$ 的左陪集. 轨道空间 $G/\mathrm{\Gamma }$ 称为左陪集空间.

Claim 11.5 (陪集空间的齐性) 陪集空间 $G/\mathrm{\Gamma }$ 是拓扑齐性的.

Pf 任取 $g\in G$, 同胚 $l_g:G\to G$, 考虑 ${\theta }_g:G/\mathrm{\Gamma }\to G/\mathrm{\Gamma }$, ${\theta }_g(h\mathrm{\Gamma })=gh\mathrm{\Gamma }$. 显然这是双射, 且满足交换图 $$Gq{l}_{g}GqG/\mathrm{\Gamma }{\theta }_{g}G/\mathrm{\Gamma }.$$ 任取开集 $U\subset G/\mathrm{\Gamma }$, 计算得到 ${\theta }_g^{-1}(U)=(q\circ l_g\circ q^{-1})(U)$, 其中 $q,l_g$ 都是连续的开映射, 所以右侧是开集, 故 ${\theta }_g^{-1}$ 连续. 同理得到 ${\theta }_g$ 是开映射, 进而同胚.

任意两个陪集 $g\mathrm{\Gamma },h\mathrm{\Gamma }$ 通过同胚 ${\theta }_{h{g}^{-1}}$ 联系.

Claim 11.6 (商群) 若 $\mathrm{\Gamma }$ 是正规子群, 则商群 $G/\mathrm{\Gamma }$ 是拥有商拓扑的拓扑群.

Pf 只需证明 $G/\mathrm{\Gamma }$ 上的 ${\mu }^{\prime },{\iota }^{\prime }$ 连续. 根据商群的定义, $$\begin{array}{rlrl}{\mu }^{\prime }\circ (q,q)& =(q,q)\circ \mu ,& {\iota }^{\prime }\circ q& =q\circ \iota ,\end{array}$$ 任取开集 $U\subset G/\mathrm{\Gamma }$, 有 ${\mu }^{\prime -1}(U)=(q,q)\circ {\mu }^{-1}\circ (q,q{)}^{-1}(U)$, 其中 $(q,q)$ 是连续的开映射 (是连续开映射的直积), ${\mu }^{-1}$ 连续, 所以右侧是开集, 故 ${\mu }^{\prime -1}$ 连续. 同理得到 ${\iota }^{\prime }$ 连续.

连续作用的例子.

• $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{R})$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ (列向量空间) 上的左作用. 这是连续作用, 因为 $g\cdot x$ 是关于 $g,x$ 的多项式函数. 这个作用只有两条轨道: ${\mathbb{R}}^n\setminus \{0\}$ 和 $\{0\}$.

• $\mathrm{O}(n)$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ (列向量空间) 上的左作用. 作为上一个作用的限制, 它也是连续的. 这个作用的轨道是 $\{0\}$ 和所有以球心在 $0$ 的球面.

  • 轨道空间同胚于 $[0,+\mathrm{\infty })$: 考虑 $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,+\mathrm{\infty })$, $f(x)=\Vert x\Vert$, 则 $f$ 是连续的开满射, 进而是商映射. $f$ 和轨道关系给出相同的 identification, 根据商空间的唯一性, 轨道空间同胚于 $[0,+\mathrm{\infty })$.

• $\mathrm{O}(n)$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 的单位球面 ${\mathbb{S}}^{n-1}$ 上的作用是传递的.

• 实射影空间. ${\mathbb{R}}^{\ast }$ 在 ${\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{0\}$ 上的左作用 (数量乘法). 这个作用是自由的, 轨道空间由所有过原点的直线 (去掉原点) 组成, 即 ${\mathbb{RP}}^n$. 下面将说明, ${\mathbb{RP}}^n$ 是 $n$ 维的拓扑流形.

  • Hausdorff. 考虑 $\mathcal{O}=\{(x_1,x_2)\mid x_1=\lambda x_2,\lambda \ne 0\}$, 将 $x_1,x_2$ 视作列向量, 则 $(x_1,x_2)$ 是秩为 $1$ 的 $(n+1)\times 2$ 矩阵. 秩为 $1$ 等价于所以二阶子式为零. 因为某二阶子式的零点是闭集, 所以 $\mathcal{O}$ 作为有限闭集之交, 也是闭集. 这说明 ${\mathbb{RP}}^n$ 是 Hausdorff 的.

  • 局部欧氏. 设开集 $U_i=\{(x_1,\dots ,x_{n+1})\mid x_i\ne 0\}$, 则所有 $q(U_i)$ 构成 ${\mathbb{RP}}^n$ 的开覆盖. 定义 $$\begin{array}{rl}{\psi }_i:U_i& \to {\mathbb{R}}^n\\ (x_1,\dots ,x_{n+1})& \mapsto \frac{1}{x_i}(x_1,\dots ,\widehat{x_i},\dots ,x_{n+1}),\end{array}$$ 是连续的开映射, 于是 ${\psi }_i\circ q$ 也是连续的开映射. 注意到 ${\psi }_i\circ q$ 还是双射, 进而是同胚. 因此, $\{(q(U_i),{\psi }_i\circ q)\}$ 构成了 ${\mathbb{RP}}^n$ 的图册.

• 复射影空间. ${\mathbb{C}}^{\ast }$ 在 ${\mathbb{C}}^{n+1}\setminus \{0\}$ 上的左作用. 轨道空间记作 ${\mathbb{RP}}^n$, 是一个 $2n$ 维拓扑流形.

• 环面. $\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{R}$ 上有连续的作用 $n\cdot x=n+x$. 考虑陪集空间 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. 因为 $x,y$ 在同一条轨道当且仅当 $x-y\in \mathbb{Z}$, 所以 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 和单位圆 $\mathbb{R}/\sim$ 由同样的等价关系生成, 所以同胚.

  • 同样可以说明 ${\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n$ 与 ${\mathbb{T}}^n={\mathbb{S}}^1\times \cdots \times {\mathbb{S}}^1$ 同胚.

  • 回忆 $\mathbb{R}\to {\mathbb{S}}^1$ 的一个商映射是 $q(t)={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}t}$, 则 ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{T}}^n$ 的一个商映射是 $$(t_1,\dots ,t_n)\mapsto ({\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}{t}_1},\dots ,{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}{t}_n}),$$ 称作指数商映射.