GTM275 | 微分几何笔记

Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes by Loring W. Tu (GTM275)

这本书写得非常清楚, 作者在每章前会介绍概念的来龙去脉和动机, 学的时候容易抓住主线. 书的内容很细致, 逻辑链很完整, 适合自学.

作者从欧氏空间中的经典微分几何讲起, 前几章的核心是证明 Gauss 绝妙定理, 并将曲率高斯曲率推广到一般的流形. 接下来一部分的核心是测地线与 Gauss-Bonnet 定理. Gauss-Bonnet 定理自然引出了向量丛上的示性类. 最终, 导向主丛上的联络和示性类. 本书的一个缺憾可能是主线之外的内容介绍较少, 习题也少有拓展/挑战性的内容.

曲率是黎曼几何最基本的不变量. 从几何直观上讲, 截面曲率的概念是 Gauss 曲率的直接推广 (在此之前有曲线曲率的概念), 第 3 篇笔记的 9.3 节进行了一些简单的介绍. 从代数上看, 联络的曲率张量反映了平行移动的某种非对称性, 可以衡量一个黎曼流形局部上与平直空间的 "差距".

黎曼流形的局部度量 (黎曼度量) 可以给出整体的距离结构 (距离函数). 局部上看, 两点间距离由测地线实现. 测地线既是 "最直" 的线, 即切向量关于自身求导为零, 又是线长取极值的曲线. Hopf-Rinow 定理表明, 黎曼流形在分析上的完备性 (测地完备) 和拓扑上的完备性 (完备距离空间) 是等价的.

另一个联系几何与拓扑的定理是 Gauss-Bonnet 定理, 即高斯曲率在流形上的积分给出欧拉数. 这引出了向量丛上的示性类理论, 即局部几何量 (曲率) 可以构造出整体的拓扑量 (示性类). 示性类在流形上的积分称为示性数, 它们也是拓扑不变量. 示性类反映了向量丛整体的 "非平凡性", 是它们 "扭曲程度" 的衡量.

向量丛的联络可以推广到主丛上, 但是由于主丛没有向量丛那样的线性结构, 所以定义会比较复杂抽象. 若将主丛看作若干竖直纤维组成的, 那么联络给出了一个 "水平" 的结构 (每一点的水平子空间). 李群传递地作用于每一根竖直的纤维; 而水平结构将不同的纤维联系起来, 因此称为联络. 联络的曲率给出主丛的示性类. 主丛的示性类将主丛与上同调类联系起来, 是一个拓扑不变量, 衡量了主丛与平凡丛的差距.

主丛部分很抽象, 逻辑链挺长, 各种符号满天飞, 我学的时候费了很大劲才搞懂 (大概).

第一部分: 向量丛上的联络与曲率, Gauss 绝妙定理.

1. 曲率与向量场: 黎曼流形, 欧氏空间的方向导数, 曲面的曲率 (法曲率, 形状算子, 基本形式).
2. 曲率与向量场: 仿射联络, 黎曼联络 (黎曼几何基本定理), 拉回联络; 向量丛 (点算子和局部算子); 高斯绝妙定理的证明和推广.
3. 曲率与微分形式: 向量丛上的联络, 联络与曲率形式, 高斯曲率与曲率形式的关系 (绝妙定理), 截面曲率和常曲率流形.

第二部分: 黎曼流形的测地线与完备性, Gauss-Bonnet 定理.

4. 测地线: 克氏符, 沿曲线的协变导数, 测地线, 指数映射.
   • 李群上的指数映射: 李群的指数映射, 双不变度量. (under construction)
5. 测地线: 黎曼流形的距离结构, 完备性 (Hopf-Rinow 定理); 体积形式, Gauss-Bonnet 定理.

第三部分: 代数与拓扑工具.

6. 代数与拓扑工具: 模的张量积和楔积.
7. 代数与拓扑工具: 向量丛的构造 (子丛, 商丛, 拉回丛, 光滑函子), 张量场和向量值微分形式.

第四部分: 向量丛上的示性类.

8. 向量丛与示性类: 张量场的协变导数, 曲率张量与 Bianchi 恒等式, 向量丛的示性类.
9. 向量丛与示性类: Pontrjagin, Euler 和 Chern 类简介, 一点应用.

第五部分: 主丛上的联络与示性类.

10. 主丛与示性类: 李群作用和基本向量场, 主丛, 标架丛, 竖直子丛, 水平分布.
11. 主丛与示性类: 主丛上的联络 (两种定义的等价性), 标架丛上的诱导联络, 联络的曲率.
12. 主丛与示性类: 配丛, 张量性形式的协变导数, 主丛上的示性类.