GTM275 | 6 代数与拓扑工具

GTM275 (Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes) 第 18-19 节的笔记.

接下来四节会补充一些代数和拓扑的工具, 包括张量, 向量丛和向量值微分形式. 这两节是关于模的张量积和楔积的, 是纯粹的线性代数.

16 The Tensor Product and the Dual Module

16.1 The tensor product

设 \(R\) 是含幺交换环. 左 \(R\)-模 \(M\) 的一个子集 \(B\) 称为基底(basis), 若 \(M\) 中每个元素可以唯一地写作 \(B\) 中元素的有限线性组合 \(\sum r_ib_i\), \(r_i\in R\), \(b_i\in B\). 若模 \(M\) 存在基底, 则称 \(M\) 为自由的(free). 交换环上的自由模 \(M\) 的任意两个基底具有相同基数, 称为 \(M\) 的秩(rank). 本章中我们只考虑含幺交换环上的左模.

下面开始定义模的张量积. 设 \(V,W\) 为左 \(R\)-模, 记 \(\operatorname{Free}(V\times W)\) 是 \(V\times W\) 生成的自由模, 即 \(\operatorname{Free}(V\times W)\) 中的元素可写成 \(V\times W\) 中元素的有限线性组合: \[ \sum r_i(v_i,w_i),\quad r_i\in R,\quad (v_i,w_i)\in V\times W. \] 考虑由 \(\operatorname{Free}(V\times W)\) 中所有下列元素生成的子模 \(S\): \[ \Align{ (v_1+v_2,w)&-(v_1,w)-(v_2,w), \\ (v,w_1+w_2)&-(v,w_1)-(v,w_2), \\ (rv,w)&-r(v,w), \\ (v,rw)&-r(v,w), } \] 其中 \(v,v_1,v_2\in V\), \(w,w_1,w_2\in W\), \(r\in R\). 定义 \(V\) 和 \(W\) 的张量积(tensor product)为商 \(R\)-模 \(\operatorname{Free}(V\times W)/S\), 记作 \(V\otimes_R W\), 底环明确时可以省略下标 \(R\). 记 \((v,w)\) 所在等价类为 \(v\otimes w\), 称为向量 \(v,w\) 的张量积. 因为 \(S\) 中的元素在 \(V\otimes W\) 中等同于 \(0\), 所以张量积是双线性的: \[ \begin{gather} (v_1+v_2)\otimes w=v_1\otimes w+v_2\otimes w, \\ v\otimes (w_1+w_2)=v\otimes w_1+v\otimes w_2, \\ (rv)\otimes w=r(v\otimes w)=v\otimes(rw). \end{gather} \] 换言之, 有双线性映射 \(\otimes:V\times W\to V\otimes W\), \((v,w)\mapsto v\otimes w\).

张量积模 \(V\otimes W\) 中形如 \(v\otimes w\) 的元素称为可分解的(decomposable). 根据张量积的构造过程, \(V\otimes W\) 中的任意元素是可分解元素的有限和: \[ \sum r_i(v_i\otimes w_i) = \sum (r_iv_i)\otimes w_i = \sum v_i\otimes(r_iw_i), \] 注意到这种分解方式不唯一.

Claim 16.1 (张量积的泛性质) 设 \(V,W\) 是含幺交换环 \(R\) 上的左模.

1. 任给 \(R\)-双线性映射 \(f:V\times W\to Z\), 存在唯一的 \(R\)-线性映射 \(\tilde{f}:V\otimes W\to Z\), 使得下图交换: \[ \xymatrix{ V\times W \ar[rd]_{f} \ar[r]^{\otimes} & V\otimes W \ar@{.>}[d]^{\tilde{f}} \\ & Z. } \] 此性质称为张量积 \(\otimes\) 的泛性质(universal mapping property).

2. 若 \(R\)-双线性映射 \(\phi:V\times W\to T\) 满足张量积的泛性质, 则有同构 \(\tilde\otimes:T\to V\otimes W\).

Pf 第一条. 上图交换意味着 \(\tilde{f}(v\otimes w)=f(v,w)\) 对任意 \(v\in V,w\in W\).

定义 \(F:\operatorname{Free}(V\times W)\to Z\), 满足 \(F(v,w)=f(v,w)\). 根据 \(R\)-线性性将 \(F\) 延拓到整个 \(\operatorname{Free}\): \[ F\pqty{\sum r_i(v_i,w_i)} = \sum r_i F(v_i,w_i). \] 由 \(F\) 的双线性性, \(F(S)=0\), 于是 (根据典范投影 \(\pi:\operatorname{Free}(V\times W)\twoheadrightarrow\operatorname{Free}(V\times W)/S\) 的泛性质) 存在唯一 \(R\)-线性映射 \[ \tilde{f}: V\otimes W = \frac{\operatorname{Free}(V\times W)}{S}\to Z, \] 使得 \(\tilde{f}(v\otimes w)=F(v,w)=f(v,w)\), 证明了存在性. 对于唯一性, 设 \(\tilde{g}\) 也使得上图交换, 则 \[ \tilde{g}(v\otimes w)=f(v,w)=\tilde{f}(v\otimes w) \] 对任意 \(v\in V,w\in W\) 成立, 即 \(\tilde{f},\tilde{g}\) 在可分解元素上取值相同. 因为可分解元素生成了 \(V\otimes W\), 根据线性性, \(\tilde{f},\tilde{g}\) 恒同.

第二条. \[ \xymatrix{ V\times W \ar[r]^{\otimes} \ar[d]_{\phi} & V\otimes W \ar[dl]_{\tilde\phi} \\ T \ar@< -1ex>[ur]_{\tilde\otimes} } \] 由 \(\otimes\) 的泛性质, 存在 \(\tilde\phi\), 使得 \(\tilde\phi\circ\otimes=\phi\). 由 \(\phi\) 的泛性质, 存在 \(\tilde\otimes\), 使得 \(\tilde\otimes\circ\phi=\otimes\). 于是 \[ \otimes = \tilde\otimes\circ\phi = \tilde\otimes\circ(\tilde\phi\circ\otimes) = (\tilde\otimes\circ\tilde\phi)\circ\otimes, \] 即下图交换: \[ \xymatrix{ V\times W \ar[r]^{\otimes} \ar[dr]_{\otimes} & V\otimes W \ar@{.>}[d]^{\tilde\otimes\circ\tilde\phi} \\ & V\otimes W } \] 但是 \({\rm id}_{V\otimes W}\) 也能使上图交换, 根据泛性质中的唯一性, \[ \tilde\otimes\circ\tilde\phi = {\rm id}_{V\otimes W}. \] 相似地, 有 \[ \tilde\phi\circ\tilde\otimes = {\rm id}_{T}, \] 所以 \(\tilde\otimes:T\to V\otimes W\) 为线性同构.

Claim 16.2 左 \(R\)-模上的数量乘法 \(f:R\times V\to V\), \((r,v)\mapsto rv\) 作为 \(R\)-双线性映射, 诱导出一个 \(R\)-线性同构 \(\tilde{f}:R\otimes_R V\to V\).

Pf 由泛性质, 双线性映射 \(f:R\times V\to V\) 导出线性映射 \(\tilde{f}:R\otimes V\to V\). 定义线性映射 \(g:V\to R\otimes V\), \(g(v)=1\otimes v\). 可以验证, \[ \Align{ g\circ\tilde{f} &= {\rm id}_{R\otimes V}, & \tilde{f}\circ g &= {\rm id}_{V}, } \] 所以 \(\tilde{f}\) 是同构.

Claim 16.3 设 \(R\)-左模 \(V,W\), 则存在唯一的 \(R\)-线性同构 \(\tilde{f}:V\otimes W\to W\otimes V\), 使得 \[ \tilde{f}(v\otimes w)=w\otimes v,\quad v\in V,w\in W. \]

Pf 定义双线性映射 \(f:V\times W\to W\otimes V\), \(f(v,w)=w\otimes v\). 根据张量积的泛性质, 存在唯一的线性映射 \(\tilde{f}:V\otimes W\to W\otimes V\), 使得 \[ \tilde{f}(v\otimes w) = w\otimes v. \] 相似地, 考虑 \(g:W\times V\to V\otimes W\), \(g(w,v)=v\otimes w\), 导出唯一的线性映射 \(\tilde{g}:W\otimes V\to V\otimes W\) 使得 \[ \tilde{g}(w\otimes v) = v\otimes w. \] 因此 \(\tilde{f},\tilde{g}\) 在可分解元素上互逆. 而 \(V\otimes W\) 由可分解元素生成, 所以 \(\tilde{f},\tilde{g}\) 在 \(V\otimes W\), \(W\otimes V\) 上互逆.

Claim 16.4 (张量积的基底) 设 \(B_V=\{v_i\}_{i\in I}\), \(B_W=\{w_j\}_{j\in J}\) 分别为有限秩自由 \(R\)-模 \(V,W\) 的基底, 则 \[ B_V\otimes B_W := \{ v_i\otimes w_j \}_{i\in I,j\in J} \] 为 \(V\otimes W\) 的基底. 进而 \(\rank(V\otimes W)=(\rank V)(\rank W)\).

Pf 可分解元素 \(v\otimes w\) 可以写作 \(v_i\otimes w_j\) 的线性组合: 设 \(v=\sum a^iv_i\), \(w=\sum b^jw_j\), 则 \[ v\otimes w=\sum a^ib^jv_i\otimes w_j, \] 因为可分解元素生成 \(V\otimes W\), 所以 \(\{v_i\otimes w_j\}_{i,j}\) 张成 \(V\otimes W\).

在证明表出的唯一性前, 给出一个引理: 对 \(k\in I,l\in J\), 存在线性函数 \(f^{kl}:V\times W\to R\), 使得 \[ f^{kl}(v_i\otimes w_j) = \delta^{k,l}_{i,j} := \delta^k_i\delta^l_j, \quad i\in I,j\in J. \] 引理的证明: 定义双线性函数 \(h^{kl}:V\times W\to R\), 使得 \(h^{kl}(v_i,w_j)=\delta^{k,l}_{i,j}\) 并由双线性性拓展到整个 \(V\times W\). 根据泛性质, 存在唯一线性函数 \(\tilde{h}^{kl}:V\otimes W\to R\), 使得 \[ \tilde{h}^{kl}(v_i\otimes w_j) = h^{kl}(v_i,w_j) = \delta^{k,l}_{i,j}. \] 令 \(f^{kl}=\tilde{h}^{kl}\) 即可.

回到原命题. 表出的唯一性等价于 \(\{v_i\otimes w_j\}_{i,j}\) 线性无关. 设 \[ \sum c^{ij}v_i\otimes w_j = 0,\quad c^{ij}\in R, \] 让引理中的 \(f^{kl}\) 作用于上式得到 \[ \Align{ 0 = f^{kl}\pqty{ \sum c^{ij}v_i\otimes w_j } &= \sum c^{ij}f^{kl}(v_i\otimes w_j) \\ &= \sum c^{ij}\delta^{k,l}_{i,j} \\ &= c^{kl}. } \]

16.2 The dual module

记 \(\operatorname{Hom}_R(V,W)\) 是所有 \(V\to W\) 的 \(R\)-线性映射的集合. 在线性映射的加法和数乘之下, \(\operatorname{Hom}_R(V,W)\) 构成了一个左 \(R\)-模. 若底环明确, \(\operatorname{Hom}_R(V,W)\) 中的 \(R\) 可以省略. 模 \(V\) 的对偶模(dual module)定义为 \(\operatorname{Hom}_R(V,R)\), 记作 \(V^\vee\).

Claim 16.5 设 \(\{e_i\}_{i\in I}\) 是有限秩自由模 \(V\) 的基底, 定义 \(\alpha^i:V\to R\), \[ \alpha^i(e_j) = \delta^i_j, \] 则 \(\{\alpha^i\}_{i\in I}\) 是 \(V^\vee\) 的基底. 于是 \(\rank{V}=\rank{V^\vee}\).

Pf 任给 \(\beta\in V^\vee\), 设 \(c_i=\beta(e_i)\), 则断言 \(\beta = \sum c_i\alpha^i\), 两边作用于 \(v=\sum v^ie_i\) 即可验证.

线性无关性, 设 \(\sum c_i\alpha^i = 0\), 两边作用于 \(e_j\), 得到 \(c_j=0\).

Claim 16.6 设 \(V,W\) 是有限秩的左 \(R\)-模, 则存在唯一的 \(R\)-线性同构 \[ \Align{ \tilde{f}:V^\vee\otimes W &\to \operatorname{Hom}_R(V,W), \\ \alpha\otimes w &\mapsto \alpha(\cdot)w. } \] 于是, \(\operatorname{Hom}_R(V,W)\) 是秩为 \((\rank{V})(\rank{W})\) 的自由模.

Pf 定义双线性映射 \(f:V^\vee\times W\to\operatorname{Hom}(V,W)\), \(f(\alpha,w)=\alpha(\cdot)w\). 存在唯一线性映射 \(\tilde{f}:V^\vee\otimes W\to\operatorname{Hom}(V,W)\), 使得 \[ \tilde{f}(\alpha\otimes w)=\alpha(\cdot)w. \] 设 \(V^\vee,W\) 的基底 \(\{\alpha^i\},\{w_j\}\). 则 \(V^\vee\otimes W\) 的基底 \(\{\alpha^i\otimes w_j\}\), \(\operatorname{Hom}(V,W)\) 的基底 \(\{\alpha^i(\cdot)w_j\}\), 因此 \(\tilde{f}\) 将基底映成基底, 是一个同构.

Claim 16.7 设 \(V,W\) 是有限秩的左 \(R\)-模, 则存在唯一的 \(R\)-线性同构 \[ \Align{ \tilde{f}:V^\vee\otimes W^\vee &\to(V\otimes W)^\vee, \\ \alpha\otimes\beta &\mapsto((v\otimes w)\mapsto\alpha(v)\beta(w)). } \]

Pf 定义双线性映射 \(f:V^\vee\times W^\vee\to(V\otimes W)^\vee\), \(f(\alpha,\beta)=((v\otimes w)\mapsto\alpha(v)\beta(w))\). 存在唯一的线性映射 \(\tilde{f}:V^\vee\otimes W^\vee\to(V\otimes W)^\vee\), 使得 \[ \tilde f(\alpha\otimes\beta)=((v\otimes w)\mapsto\alpha(v)\beta(w)). \] 设 \(V^\vee,W^\vee\) 的基底 \(\{\alpha^i\},\{\beta^j\}\), 则 \(V^\vee\otimes W^\vee\) 的基底 \(\{\alpha^i\otimes\beta^j\}\), \((V\otimes W)^\vee\) 的基底 \(\{\alpha^i(\cdot)\beta^j(\cdot)\}\), \(\tilde{f}\) 将基底映成基底, 是一个同构.

16.3 Functoriality and associativity

Claim 16.8 设 \(R\)-线性映射 \(f:V\to V'\), \(g:W\to W'\), 则存在唯一 \(R\)-线性映射 \[ f\otimes g:V\otimes W\to V'\otimes W', \] 使得 \((f\otimes g)(v\otimes w)=f(v)\otimes g(w)\).

Pf 定义双线性映射 \(h:V\times W\to V'\otimes W'\), \(h(v,w)=f(v)\otimes g(w)\), 存在唯一线性映射 \(\tilde{h}:V\otimes W\to V'\otimes W'\), 使得 \[ \tilde{h}(v\otimes w)=f(v)\otimes g(w), \] 于是 \(\tilde{h}\) 就是我们想要的 \(f\otimes g\).

任给一对左 \(R\)-模 \((V,W)\) 和一对 \(R\)-线性映射 \((f:V\to V',g:W\to W')\), 张量积 \(\otimes\) 给出了 \(V\otimes W\) 和 \(f\otimes g:V\otimes W\to V'\otimes W'\). 容易验证, 这个构造满足下面的性质:

1. 保持恒等映射. \({\rm id}_{V}\otimes{\rm id}_W={\rm id}_{V\otimes W}\).

2. 保持映射的复合. 若 \((f:V\to V',g:W\to W')\), \((f':V'\to V'',g:W'\to W'')\), 则 \[ (f'\otimes g')\circ(f\otimes g)=(f'\circ f)\otimes(g'\circ g). \]

所以张量积是从左 \(R\)-模对范畴到左 \(R\)-模范畴的函子.

张量积可以推广到任意多个左 \(R\)-模上. 设 \(m\) 个左 \(R\)-模 \(\{V_i\}_{i\in I}\), \(I=\{1,\dots,m\}\), 定义 \(\operatorname{Free}(\prod_{i\in I}V_i)\) 是基底 \(\prod_{i\in I}V_i\) 生成的自由 \(R\)-模. 设 \(S\) 是所有形如下列元素生成的子模: \[ \begin{gather} (\cdots,v_1+v_2,\dots) - (\cdots,v_1,\dots) - (\cdots,v_2,\dots), \\ (\cdots,rv,\dots) - r(\cdots,v,\cdots), \end{gather} \] 则 \(\{V_i\}_{i\in I}\) 的张量积定义为 \(\operatorname{Free}(\prod V_i)/S\), 记作 \(\bigotimes_{i\in I}V_i\). 典范投射 \[ \Align{ \otimes:\prod_{i\in I} V_i &\to \bigotimes_{i\in I}V, \\ (v_1,\dots,v_m) &\mapsto v_1\otimes\cdots\otimes v_m } \] 是一个 \(m\) 重线性映射, 满足 \(m\) 重线性映射的泛性质: 任意 \(m\) 重线性映射 \(f:\prod V_i\to Z\) 唯一地诱导出一个线性映射 \(\tilde{f}:\bigotimes V_i\to Z\), 满足 \(\tilde{f}\circ\otimes=f\). 此外, 满足 \(m\) 重线性映射泛性质的映射在同构意义下唯一.

Claim 16.9 设左 \(R\)-模 \(\{V_i\}_{i=1}^m\), 则存在唯一的线性同构 \[ V_1\otimes\cdots\otimes(V_{i}\otimes V_{i+1})\otimes\cdots\otimes V_m \to \bigotimes_{i=1}^m V_i \] 将 \(v_1\otimes\cdots\otimes(v_{i}\otimes v_{i+1})\otimes\cdots\otimes v_m\) 映到 \(v_1\otimes\cdots\otimes v_m\) (\(v_k\in V_k\)).

Pf 因为满足泛性质的线性映射有唯一同构, 我们只需要证明 \[ \Align{ \phi:\prod V_i&\to V_1\otimes\cdots\otimes(V_{i}\otimes V_{i+1})\otimes\cdots\otimes V_m,\\ (v_1,\dots,v_m) &\mapsto v_1\otimes\cdots\otimes(v_{i}\otimes v_{i+1})\otimes\cdots\otimes v_m } \] 也满足 \(m\) 重线性映射的泛性质.

任给 \(m\) 重线性映射 \(f:\prod V_i\to Z\), 只考虑 \(f\) 的第 \(i\) 和 \(i+1\) 个输入, 固定其他输入不变, 则得到一个双线性映射 \[ \Align{ f(v_1,\dots,-,-,\dots,v_m): V_i\times V_{i+1} &\to Z, \\ (v_i,v_{i+1}) &\mapsto f(v_1,\dots,v_i,v_{i+1},\dots,v_m), } \] 根据双线性映射的泛性质, 存在唯一线性映射 \[ \tilde{f}(v_1,\dots,-,\dots,v_m):V_i\otimes V_{i+1}\to Z \] 使得 \[ \tilde{f}(v_1,\dots,v_i\otimes v_{i+1},\dots,v_n) = f(v_1,\dots,v_m). \] 注意到 \(\tilde{f}\) 是一个 \(m-1\) 重线性映射, 于是存在唯一的线性映射 \[ \tilde{\tilde{f}}: V_1\otimes\cdots\otimes(V_i\otimes V_{i+1})\otimes\cdots\otimes V_m \to Z, \] 使得 \[ \Align{ \tilde{\tilde{f}}( v_1\otimes\cdots\otimes(v_i\otimes v_{i+1})\otimes\cdots\otimes v_m ) &= \tilde{f}(v_1,\dots,v_i\otimes v_{i+1},\dots,v_n) \\ &= f(v_1,\dots,v_m). } \] 综上所述, 有交换图 \[ \xymatrix@C=6em@R=5em{ \prod V_i \ar[r] \ar[d]_{f} & V_1\times\cdots\times(V_i\otimes V_{i+1})\times\cdots\times V_m \ar[d] \ar@{.>}[dl]_(.5){\tilde{f}} \\ Z & V_1\otimes\cdots\otimes(V_i\otimes V_{i+1})\otimes\cdots\otimes V_m \ar@{.>}[l]^(.68){\tilde{\tilde{f}}} } \] 交换图外圈的矩形路径说明 \(\phi\) 满足泛性质.

立刻有推论:

Claim 16.10 (张量积的结合性) 设左 \(R\)-模 \(\{V_i\}_{i=1}^m\), 则存在唯一的线性同构 \[ \cdots\otimes(V_i\otimes V_{i+1})\otimes\cdots \to \cdots\otimes(V_j\otimes V_{j+1})\otimes\cdots \] 将 \(\cdots\otimes(v_i\otimes v_{i+1})\otimes\cdots\) 映到 \(\cdots\otimes(v_j\otimes v_{j+1})\otimes\cdots\) (\(v_k\in V_k\)).

16.4 The tensor algebra

对于左 \(R\)-模 \(V\), 定义 \(T^0(V)=R\), \(T^k(V)=V\otimes\cdots\otimes V\) (\(k\) 个 \(V\) 张量积), 记 \[ T(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V), \] 其中直和的含义是: 任意 \(v\in T(V)\) 可唯一地写成有限线和 \(\sum_iv_{k_i}\), \(v_{k_i}\in T^{k_i}(V)\). 元素 \(v\in T^k(V)\) 称为 \(k\) 次齐次的(homogeneous of degree \(k\)), 记 \(\deg{v}=k\). 左 \(R\)-模 \(T(V)\) 上有乘法结构

\[ \Align{ \mu:T^k(V)\times T^l(V) &\to T^{k+l}(V) \\ (x,y) &\mapsto x\otimes y, } \] 并根据双线性性拓展到 \(T(V)\times T(V)\to T(V)\). 于是 \(T(V)\) 成为了一个 \(R\)-分次代数, 叫做 \(V\) 的张量代数(tensor algebra), 是一个结合代数.

17 The Exterior Power

17.1 The exterior algebra

设左 \(R\)-模 \(V\), 记 \(I(V)\) 是张量代数 \(T(V)\) 中所有形如 \(v\otimes v\) 的元素生成的双边理想. 于是 \(I(V)\) 包含了形如 \[ \cdots\otimes v\otimes v\otimes \cdots \] 的元素.

模 \(V\) 的外代数(exterior algebra)定义为商代数 \(T(V)/I(V)\), 记 \(v_1\otimes\cdots\otimes v_k\) 在典范投射下的像 \[ v_1\wedge\cdots\wedge v_k, \] 这种元素称为可分解的, 算符 \(\wedge\) 称为楔积(wedge product). 根据张量积的结合性, 楔积也是结合的.

模 \(V\) 的 \(k\)次外幂(\(k\)th exterior power)为 \(T^k(V)\) 在典范投射下的像, 记作 \(\bigwedge^k(V)\). 于是有典范模同构 \[ \bigwedge\nolimits^k(V) \cong \frac{T^k(V)}{T^k(V)\cap I(V)} = \frac{T^k(V)}{I^k(V)}, \] 其中 \(I^k(V):=I(V)\cap T^k(V)\) 包含了 \(I(V)\) 中所有 \(k\) 次齐次元素. 于是 \(\bigwedge(V)\) 继承了 \(T(V)\) 的分次结构, 成为一个分次代数. 一般记 \(\bigwedge^k(V)\) 为 \(\bigwedge^kV\).

Claim 17.1 (楔积的分次反对称性)

1. 设 \(u\in\bigwedge^kV\), \(v\in\bigwedge^lV\), 则 \[ u\wedge v=(-1)^{kl}v\wedge u. \]

2. 设 \(v_i\in V\), 置换 \(\pi\in S_k\), 则 \[ v_{\pi(1)}\wedge\cdots\wedge v_{\pi(k)} = (\sgn\pi) v_1\wedge\cdots\wedge v_k. \]

Pf 第一条. 先证明最简单的情形: \(u,v\in\bigwedge^1V=V\). 因为 \(w\otimes w\in I(V)\) (\(w\in V\)), 所以 \(w\wedge w=0\), 因此 \[ \Align{ 0 &= (u+v)\wedge(u+v) \\ &= u\wedge u+u\wedge v+v\wedge u+v\wedge v \\ &= u\wedge v+v\wedge u, } \] 即 \(u\wedge v=-v\wedge u\).

考虑高次的元素. 因为任意元素可写成可分解元素的有限和, 注意到待证等式 \(u\wedge v=(-1)^{kl}v\wedge u\) 关于 \(u,v\) 是线性的, 所以只需要对可分解元素证明. 设 \(u=u_1\wedge\cdots\wedge u_k\), \(v=v_1\wedge\cdots\wedge v_l\), 依次将 \(v_1,v_2,\dots,v_l\) 交换到前面: \[ \Align{ u\wedge v &= (-1)^k v_1\wedge(u_1\wedge\cdots\wedge u_k)\wedge (v_2\wedge\cdots\wedge v_l) \\ &= (-1)^{2k} v_1\wedge v_2\wedge(u_1\wedge\cdots\wedge u_k)\wedge (v_3\wedge\cdots\wedge v_l) \\ &\qquad\vdots \\ &= (-1)^{kl}v_1\wedge\cdots\wedge v_l\wedge(u_1\wedge\cdots\wedge u_k) \\ &= (-1)^{kl}v\wedge u. } \] 第二条. 用类似的方法可以证明, \[ \cdots\wedge v_i\wedge\cdots\wedge v_j\wedge\cdots = - \cdots\wedge v_j\wedge\cdots\wedge v_i\wedge\cdots, \] 设 \(v_1\wedge\cdots\wedge v_k\) 通过 \(l\) 次对换达到 \(v_{\pi(1)}\wedge\cdots\wedge v_{\pi(k)}\), 则两者相差 \((-1)^l\), 即 \(\sgn\pi\).

Claim 17.2 (楔积的泛性质) 任给交错的 \(k\) 重线性映射 \(f:V^k\to Z\), 存在唯一的线性映射 \(\tilde{f}:\bigwedge^kV\to Z\), 使下图交换 \[ \xymatrix{ V^k \ar[r]^(.45)\wedge \ar[rd]_f & \bigwedge\nolimits^kV \ar@{.>}[d]^{\tilde{f}} \\ & Z } \]

Pf 因为 \(f\) 是 \(k\) 重线性的, 根据张量积的泛性质, 存在唯一线性映射 \(h:T^kV\to Z\), 满足 \[ h(v_1\otimes\cdots\otimes v_k) = f(v_1,\dots,v_k). \] 由 \(f\) 的交错性, \[ h(\cdots\otimes v\otimes v\otimes \cdots) =f(\cdots,v,v,\cdots)=0, \] 因此 \(h(I^k(V))=0\), 根据商模的泛性质, 存在唯一的线性映射 \[ \tilde{f}:\frac{T^kV}{I^k(V)}=\bigwedge\nolimits^kV\to Z, \] 使得 \[ \tilde{f}(v_1\wedge\cdots\wedge v_k) = h(v_1\otimes\cdots\otimes v_k) = f(v_1,\dots,v_k), \] 这证明了存在性. 至于唯一性, 因为 \(\tilde{f}\) 是唯一确定的, 且其在可分解元素上的取值确定, 所以 \(\tilde{f}\) 唯一地定义在了 \(\bigwedge^kV\) 上.

引入多重指标(multi-index)的记号. 设 \(I=(1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n)\) 为 \(k\) 重指标, \(|I|=k\), 记 \[ e_I := e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}, \] 补指标 \(I':=\{1,\dots,n\}-I\).

Claim 17.3 (楔积的基底) 设有限秩 \(V\) 的基底 \(\{e_i\}_{i=1}^n\), 则 \(\bigwedge^kV\) 的一个基底是 \[ S:=\{ e_I \mid I=(1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n) \}. \] 于是 \(\bigwedge^kV\) 的秩为 \(n\choose k\).

Pf 先考虑一个引理: 若 \(B=\{e_i\}_{i=1}^n\) 为 \(V\) 的基底, 则 \(e_1\wedge\cdots\wedge e_n\neq0\). 为了证明引理, 只需找到一个线性映射 \(\bigwedge^kV\to V\) 将 \(e_1\wedge\cdots\wedge e_n\) 映成非零元. 定义交错函数 \(f:B^n\to R\), \[ f(e_{\pi(1)},\dots,e_{\pi(n)}) = \sgn\pi,\quad\pi\in S_n, \] 可将 \(f\) 延拓 \(f:V^n\to R\), 使得 \(f\) 是交错的 \(n\) 重线性函数. 根据泛性质, 存在唯一的线性函数 \[ \tilde{f}:\bigwedge\nolimits^kV\to R, \] 使得 \(\tilde{f}\circ\wedge=f\). 特别地, \[ \tilde{f}(e_1\wedge\cdots\wedge e_n) = f(e_1,\dots,e_n) = 1. \] 这个引理的一个重要推论是, 若 \(1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n\), 则 \(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}\neq0\).

回到原命题. 考虑到 \[ S_0=\{ e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_k}\mid 1\leq i_1,\cdots,i_k\leq n \} \] 是 \(T^kV\) 的一个基底, 而 \(\bigwedge^kV\) 为 \(T^kV\) 的商, 所以 \(S\) 生成 \(\bigwedge^kV\).

线性无关性. 设 \[ \sum a^Ie_I = 0, \] 任给 \(n-k\) 重指标 \(J\), 因为 \(e_I\wedge e_J=\Cases{\pm e_1\wedge\cdots\wedge e_n,& I\cap J=\emptyset,\\0,&I\cap J\neq\emptyset,}\) 上式两边与 \(e_J\) 楔积得到 \[ 0 = \pqty{\sum a^Ie_I}\wedge e_J = \pm a^{J'}e_1\wedge\cdots\wedge e_n. \] 因为 \(e_1\wedge\cdots\wedge e_n\neq0\), 只能 \(a^{J'}=0\). 由 \(J\) 的任意性, 所有 \(a^I=0\).

17.2 Nondegenerate pairings

两个 \(R\)-模 \(V,W\) 的配对(pairing)指的是双线性映射 \(\lr{\cdot,\cdot}:V\times W\to R\). 固定 \(v\), 可以得到一个线性映射 \[ \lr{v,\cdot}:W\to R,\quad w\mapsto\lr{v,w}, \] 这诱导出一个线性映射 \(V\to W^\vee\), \(v\mapsto\lr{v,\cdot}\). 相似地, 还有线性映射 \(W\to V^\vee\), \(w\mapsto\lr{\cdot,w}\). 配对 \(\lr{\cdot,\cdot}\) 称为非退化的(nondegenerate), 若 \(V\to W^\vee\) 和 \(W\to V^\vee\) 都是单射.

Claim 17.4 若 \(V,W\) 秩有限, \(\lr{\cdot,\cdot}:V\times W\to R\) 为非退化配对, 则导出映射 \(V\to W^\vee\) 和 \(W\to V^\vee\) 为同构.

一个 \(V\) 上的非退化配对 \(V\times V\to R\) 导出了 \(V\to V^\vee\) 的一个标准同构.

Claim 17.5 配对 \[ \Align{ f:(V^\vee)^k\times V^k &\to R, \\ ((\beta^1,\dots,\beta^n),(v_1,\dots,v_k)) &\mapsto \det[\beta^i(v_j)]. } \] 诱导出了外幂的配对 \(\bigwedge^k(V^\vee)\times\bigwedge^kV\to R\).

Pf 应用两次泛性质可以诱导出一个双线性的配对. 固定 \((\beta^1,\dots,\beta^n)\), 函数 \[ (v_1,\dots,v_k)\mapsto\det[\beta^i(v_j)] \] 是交错的 \(k\) 重线性映射, 唯一地诱导出线性映射 \(\bigwedge^kV\to R\), 使得 \[ v_1\wedge\cdots\wedge v_k \mapsto\det[\beta^i(v_j)]. \] 综合以上过程, 我们得到了一个映射 \(h:(V^\vee)^k\to(\bigwedge^kV)^\vee\), \[ h(\beta_1,\dots,\beta^k)(v_1\wedge\cdots\wedge v_k)=\det[\beta^i(v_j)]. \] 显然 \(h\) 是交错的 \(k\) 重线性映射, 唯一诱导出 \(\tilde{h}:\bigwedge^k(V^\vee)\to(\bigwedge^kV)^\vee\), 使得 \[ \tilde{h}(\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^k) (v_1\wedge\cdots\wedge v_k)=\det[\beta^i(v_j)]. \] 这可以看作一个双线性映射 \(\bigwedge^k(V^\vee)\times\bigwedge^kV\to R\), \[ ((\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^k), (v_1\wedge\cdots\wedge v_k))\mapsto\det[\beta^i(v_j)]. \]

Claim 17.6 设秩 \(n\) 的自由 \(R\)-模 \(V\). 对 \(k\leq n\), Claim 17.5 证明过程中的 \[ \Align{ \tilde{h}:\bigwedge\nolimits^k(V^\vee) &\to \pqty{\bigwedge\nolimits^kV}^\vee, \\ (\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^k) &\mapsto (v_1\wedge\cdots\wedge v_k\mapsto\det[\beta^i(v_j)]). } \] 是同构映射.

Pf 记 \(f=\tilde{h}\), 只需证明 \(f\) 将基底映成基底. 设 \(V\) 的基底 \(\{e_i\}\), 对偶基底 \(\{\alpha^i\}\), 则 \(\bigwedge^k(V^\vee)\) 的基底 \[ \{ \alpha^I \mid I=(1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n) \}, \] \(\bigwedge^kV\) 的基底 \(\{e_I\}\), 记其对偶基底 \(\{e^*_I\}\), 满足 \[ e^*_I(e_J)=\delta_{IJ}. \] 我们断言 \(f(\alpha^I)=e^*_I\), 即 \(f(\alpha^I)(e_J)=\delta_{IJ}\). \[ \Align{ f(\alpha^I)(e_J) &= f(\alpha^{i_1}\wedge\cdots\wedge\alpha^{i_k}) (e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_k}) \\ &= \det[\alpha^{i_r}(e_{j_s})], } \] 对于 \(I=J\), 则 \(i_r=j_r\), \(\det[\alpha^{i_r}(e_{j_s})]=\det(\delta^r_s)=1\).

对于 \(I\neq J\), 则某 \(i_0\) 不等于 \(j_1,\dots,j_n\), 行列式的第 \(i_0\) 行为零, 行列式为零.

17.3 Tensors as multilinear maps

设 \(L_k(V)\) 是 \(V^k\) 上的所有 \(k\) 重线性映射 \(V^k\to R\) 组成的左 \(R\)-模. 根据张量积的泛性质, \(L_k(V)\) 可以与 \(T^kV\) 上的线性映射认同: \[ \Align{ L_k(V) &\cong (T^kV)^\vee, \\ f &\mapsto \tilde{f}. } \] 相似地, 根据楔积的泛性质, \(V^k\) 上的所有交错的 \(k\) 重线性映射 \(A_k(V)\) 可以与 \(\bigwedge^kV\) 上的线性映射认同: \[ \Align{ A_k(V) &\cong \pqty{\bigwedge\nolimits^kV}^\vee, \\ f &\mapsto \tilde{f}. } \] 根据 Claim 16.7 和 Claim 17.6, 还有同构 \[ \Align{ L_k(V) &\cong(T^kV)^\vee\cong T^k(V^\vee), \\ A_k(V) &\cong\pqty{\bigwedge\nolimits^kV}^\vee \cong \bigwedge\nolimits^k(V^\vee). } \]

现在我们将 \(T^k(V^\vee)\) 中的元素 \(\alpha^1\otimes\cdots\otimes\alpha^k\) 看作一个 \(k\) 重线性映射 \(V^k\to R\). 对于 \(\alpha\in T^k(V^\vee)\), \(\beta\in T^l(V^\vee)\), \[ \alpha\otimes\beta\in T^{k+l}(V^\vee)\cong L_{k+l}(V), \] 并且由如下公式给出 \[ (\alpha\otimes\beta)(v_1,\dots,v_{k+l}) = \alpha(v_1,\dots,v_k) \beta(v_{k+1},\dots,v_{k+l}). \] 同样地, 将 \(\bigwedge^k(V^\vee)\) 中的元素 \(\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^k\) 可以看作一个交错的 \(k\) 重线性映射 \(V^k\to R\). 对于 \(\alpha\in\bigwedge^k(V^\vee)\), \(\beta\in\bigwedge^l(V^\vee)\), \[ \alpha\wedge\beta\in\bigwedge\nolimits^{k+l}(V^\vee)\cong A_{k+l}(V) \] 是一个 \(k+l\) 重交错线性映射 \(V^{k+l}\to R\).

Claim 17.7 设 \(\alpha\in\bigwedge^k(V^\vee)\), \(\beta\in\bigwedge^l(V^\vee)\), \(v_i\in V\), \[ (\alpha\wedge\beta)(v_1,\dots,v_{k+l}) = \sum_\pi (\sgn\pi) \alpha(v_{\pi(1)},\dots,v_{\pi(k)}) \beta(v_{\pi(k+1)},\dots,v_{\pi(k+l)}). \] 右边对满足如下条件的置换 \(\pi\in S_{k+l}\) 求和: \[ \pi(1)<\cdots<\pi(k),\quad \pi(k+1)<\cdots<\pi(k+l). \] 称这样的置换是一个 \((k,l)\)-洗牌(shuffle).

Pf 因为线性性, 只需要对可分解的元素证明. 设 \(\alpha=\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^k\), \(\beta=\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^k\).

任给置换 \(\rho\in S_{k+l}\), 对前面的 \(\rho(1),\dots,\rho(k)\) 使用某 \(\sigma\in S_k\) 重排后可以使得 \[ \rho(\sigma(1))<\cdots<\rho(\sigma(k)). \] 同样, 对后面的 \(\rho(k+1),\dots,\rho(k+l)\) 使用某 \(\tau\in S_l\) (令 \(S_l\) 表示 \(\{k+1,\dots,k+l\}\) 的置换群) 重拍后可以使得 \[ \rho(\tau(k+1))<\cdots<\rho(\tau(k+l)). \] 如此 \(\pi:=\rho\circ\sigma\circ\tau\) 成为了一个 \((k,l)\)-洗牌. 这样的 \(\sigma,\tau\) 是唯一的.

根据 Claim 17.6, \[ \Align{ & (\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^k \wedge\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^l)(v_1,\dots,v_{k+l}) \\ &= \sum_{\rho\in S_{k+l}} (\sgn\rho) \alpha^1(v_{\rho(1)})\cdots\alpha^k(v_{\rho(k)}) \beta^1(v_{\rho(k+1)})\cdots\beta^l(v_{\rho(k+l)}) \\ &= \sum_{\pi}(\sgn\pi) \sum_{\sigma\in S_k}\sum_{\tau\in S_l}(\sgn\sigma)(\sgn\tau) \\ &\hspace{5.75em} \alpha^1(v_{\pi(\sigma(1))})\cdots\alpha^k(v_{\pi(\sigma(k))}) \beta^1(v_{\pi(\tau(k+1))})\cdots\beta^l(v_{\pi(\tau(k+l))}) \\ &= \sum_{\pi}(\sgn\pi) (\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^k)(v_{\pi(1)},\dots,v_{\pi(k)}) \\ &\hspace{5.75em} (\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^l)(v_{\pi(k+1)},\dots,v_{\pi(k+l)}) \\ &= \sum_{\pi} (\sgn\pi) \alpha(v_{\pi(1)},\dots,v_{\pi(k)}) \beta(v_{\pi(k+1)},\dots,v_{\pi(k+l)}). \\ } \]