GTM275 | 8 向量丛与示性类

GTM275 (Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes) 第 22-23 节的笔记.

20 Connections and Curvature Again

20.1 Connection and curvature matrices

我们知道, 向量丛 \(E\to M\) 上的联络 \(\nabla\) 可以限制到标架开集 \(U,e=[e_1,\dots,e_r]\) 上: \[ \nabla:\Gamma(U,TM)\times\Gamma(U,E)\to\Gamma(U,E). \] 联络矩阵 \(\omega\in\Omega^1(U,{\frak gl}(r,\R))\) 和曲率矩阵 \(\Omega\in\Omega^2(U,{\frak gl}(r,\R))\) 分别定义为 \[ \Align{ \nabla e &= e\omega, & R(e) &= e\Omega, \\ \nabla e_j &= e_i\omega^i_j, & R(e_j) &= e_i\Omega^i_j. \\ } \] 下面考虑 \(U\) 上的标架变换 \[ \bar{e}_l(p)=\sum e_k(p)a^k_l(p), \] 其中 \(a^k_l\in\Omega^0(U,\R)\), 于是矩阵 \(a=[a^k_l]\in\Omega^0(U,{\rm GL}(r,\R))\). 上式用矩阵乘法写作 \[ \bar{e} = ea. \] 为了和上式适配, 我们将 Leibniz 律中的函数 \(f\) 写作右乘: \[ \nabla(sf) = s\dd{f} + (\nabla s)f. \]

Claim 20.1 (联络与曲率矩阵的变换律) 设开集 \(U\) 上的两个标架满足 \(\bar{e}=ea\), \(a\in\Omega^0(U,{\rm GL}(r,\R))\), 则联络 \(\nabla\) 在这两个标架下的联络与曲率矩阵满足 \[ \Align{ \bar\omega &= a^{-1}\omega a + a^{-1}\dd{a}, \\ \bar\Omega &= a^{-1}\Omega a. } \]

Pf 由定义, \[ \Align{ \nabla\bar{e} &= \nabla(ea) \\ &= e\dd{a}{} + (\nabla e)a \\ &= e(\dd{a}{} + \omega a) \\ &= \bar{e}a^{-1}(\dd{a}{} + \omega a). } \] 即 \(\bar\omega=a^{-1}\dd{a}+a^{-1}\omega a\). 对于曲率矩阵的变换, 可以将第二结构方程带入上式得到, 也可以直接从曲率的定义看出: \[ \Align{ R(\bar{e}) &= R(ea) \\ &= R(e)a \\ &= e\Omega a \\ &= \bar{e}a^{-1}\Omega a, } \] 即 \(\bar\Omega=a^{-1}\Omega a\).

在标架开集 \((U,e)\) 上, 我们能用联络矩阵 \(\omega_e\) 来定义局部联络 \(\nabla^U\). 取定 \(E\) 的一个平凡化开覆盖 \(\{(U,e)\}\), 如果我们将每个 \((U,e)\) 上的联络 \(\omega_e\) "拼接" 起来, 就能定义出了一个整体的联络. 这些局部联络能够 "拼合" 的充要条件就是满足变换律 \[ \omega_{\bar{e}} = a^{-1}\omega_ea+a^{-1}\dd{a} \] 对任意 \((U,e)\) 和 \((U',\bar{e})\), 其中在 \(U\cap U'\neq\emptyset\) 上有 \(\bar{e}=ea\).

下面我们用这种方法定义拉回丛上的联络.

Claim 20.2 (拉回丛上的联络) 设 \(E\to M\) 上的联络 \(\nabla\), 光滑映射 \(f:N\to M\). 设 \(E\) 的平凡化开覆盖 \(\{(U,e)\}\), 对应的联络矩阵为 \(\omega_e\), 则存在唯一 \(f^*E\) 上的联络, 其在标架开集 \((f^{-1}(U),f^*e)\) 上的联络矩阵是 \(f^*(\omega_e)\).

Pf 只需验证任意两个联络矩阵是相容的: 取 \(f^*(\omega_e)\) 和 \(f^*(\omega_{\bar{e}})\) (\(\bar{e}=ea\)), 因为拉回和乘积, 外微分都可交换, \[ f^*(\omega_{\bar{e}})=(f^*a)^{-1}f^*(\omega_e)f^*a +(f^*a)^{-1}\dd(f^*a), \] 由于 \(f^*\bar{e}=(f^*e)(f^*a)\), 上式说明 \(f^*(\omega_e)\) 和 \(f^*(\omega_{\bar{e}})\) 在标架变换 \(f^*a\) 下是相容的.

20.2 Covariant derivative of tensor fields

协变导数.

切丛 \(TM\) 上的联络 \(\nabla\) 诱导出了任意张量丛 \(T^{r,s}(M)\) 上的协变导数. 设 \(X\in\Gamma(TM)\).

对 \((0,0)\) 型张量场 (即光滑函数) \(f\in C^\infty(M)\), 有 \(\nabla_Xf=Xf=\dd{f}(X)\).

对 \((0,1)\) 型张量场 (即 \(1\)-形式) \(\omega\in\Omega^1(M,\R)\), 定义 \[ (\nabla_X\omega)(Y) := X(\omega(Y)) - \omega(\nabla_XY). \] 一般地, 对 \((r,s)\) 型张量场 \(T\in\Gamma(T^{r,s}(M))\), 定义 \[ \Align{ (\nabla_XT)(\omega_1,\dots,\omega_r;Y_1,\dots,Y_s) :={} & X(T(\omega_1,\dots,\omega_r;Y_1,\dots,Y_s)) \\ & -\sum_{i=1}^r T(\omega_1,\dots,\nabla_X\omega_i,\dots,\omega_r;Y_1,\dots,Y_s) \\ & -\sum_{j=1}^s T(\omega_1,\dots,\omega_r;Y_1,\dots,\nabla_XY_j,\dots,Y_s). } \] 容易看出, \(\nabla_XT\) 关于 \(X\) 是 \({\cal F}\)-线性的, 所以仍旧可以逐点定义. 还需要证明如此定义的 \(\nabla_X\omega\) 和 \(\nabla_XT\) 确实是 \(M\) 上的张量场, 即验证它们的 \({\cal F}\)-线性性, 此处略去. 记 \[ T^{*,*}(M) = \bigoplus_{r,s=0}^\infty T^{r,s}(M) \] 为 \(M\) 上的张量代数, 则依据关于 \(T\) 的可加性, 协变导数可以推广到 \[ \nabla_X:\Gamma(T^{*,*}(M))\to\Gamma(T^{*,*}(M)). \] 协变导数定义看上去很突然, 但这实际上保证了 Leibniz 律, 而且是 Leibniz 律的必然结果.

Claim 20.3 (协变导数是导子) 任给张量场 \(T_1,T_2\in\Gamma(T^{*,*}(M))\) 和向量场 \(X\in\Gamma(TM)\), \[ \nabla_X(T_1\otimes T_2) = (\nabla_XT_1)\otimes T_2 + T_1\otimes(\nabla_XT_2). \]

曲率, 二阶协变导数, Laplace 算子.

曲率可以直接推广到张量场上: 对 \(X,Y\in\Gamma(TM)\), 曲率 \(R(X,Y):\Gamma(T^{*,*}(M))\to\Gamma(T^{*,*}(M))\), \[ R(X,Y)T := \nabla_X\nabla_YT-\nabla_Y\nabla_XT-\nabla_{[X,Y]}T. \] 挠率则没有什么新的东西: \(T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]\).

还可以定义张量场的二阶协变导数: 对 \(T\in\Gamma(T^{r,s}(M))\), \[ \nabla^2_{X,Y}T := \nabla_X\nabla_YT-\nabla_{\nabla_XY}T. \]

• 应当区分 \(\nabla^2_{X,Y}\) 和 \(\nabla_X\nabla_Y\), 它们一般不相等. 利用抽象指标, 这两者分别写作 \[ X^aX^b\nabla_a\nabla_b \quad\textsf{和}\quad X^a\nabla_aY^b\nabla_b. \]

• 对于函数 \(f\in C^\infty(M)\), \(\nabla^2_{X,Y}f=XYf-(\nabla_XY)f\). 若 \(\nabla\) 无挠, 则 \[ \Align{ \nabla^2_{X,Y}f-\nabla^2_{Y,X}f &= XYf-YXf+(\nabla_YX)f-(\nabla_XY)f \\ &= -T(X,Y)f = 0, } \] 即 \(\nabla^2f\) 是一个对称的 \((0,2)\) 型张量场, 称为 \(f\) 的 Hessian. 这是欧氏空间中 Hessian 的推广: 在欧氏空间中, \[ \nabla^2_{X,Y}f = \sum X^iY^j \pdv{^2f}{x^ix^j}. \]

对于一般的张量场, 黎曼联络的二阶协变导数不是对称的, 其非对称性由曲率刻画.

Claim 20.3 (Ricci 恒等式) 设 \(M\) 上的黎曼联络 \(\nabla\). 对 \(X,Y\in\Gamma(TM)\), \(T\in\Gamma(T^{r,s}(M))\), \[ \nabla^2_{X,Y}T-\nabla^2_{Y,X}T = R(X,Y)T \]

Laplace-Beltrami 算子 (简称 Laplace 算子) 是欧氏空间的 Laplace 算子的推广. 由黎曼度量 \(\lr{\cdot,\cdot}\) 的非退化性, 存在唯一的线性映射 \(\eta:T_pM\to T_pM\), 满足 \(\nabla^2_{X,Y}f=\lr{\eta(X),Y}\). Laplace 算子定义为 \(\eta\) 的迹: \[ \Delta{f} := \tr{\eta} = \sum_{i=1}^n\lr{\eta(e_i),e_i} = \sum_{i=1}^n\nabla^2_{e_i,e_i}f \] 对于局部标架 \(\{e_i\}\). 因为迹在标架变换下不变, 所以 \(\Delta\) 可以定义在整个 \(M\) 上: \(\Delta:C^\infty(M)\to C^\infty(M)\).

20.3 Bianchi identities

联络 \(\nabla\) 的黎曼曲率张量(Riemann curvature tensor)定义为 \[ \operatorname{Rm}(X,Y,Z,W) := \lr{R(X,Y)Z,W},\quad X,Y,Z,W\in\Gamma(TM), \] 黎曼联络的曲率张量有一些对称性, 它们由 Bianchi 恒等式描述.

Claim 20.4 (Bianchi 恒等式, 微分形式版本) 设 \(M\) 上的联络 \(\nabla\), 标架 \(e=[e_1,\dots,e_n]\) 下的联络矩阵 \(\omega\), 曲率矩阵 \(\Omega\), 对偶标架 \(\theta=[\theta^1,\dots,\theta^n]\T\), 挠率矩阵 \(\tau=[\tau^1,\dots,\tau^n]\T\), 则

1. (第一 Bianchi 恒等式) \(\dd\tau=\Omega\wedge\theta-\omega\wedge\tau\).
2. (第二 Bianchi 恒等式) \(\dd\Omega=\Omega\wedge\omega-\omega\wedge\Omega\).
3. (推广的第二 Bianchi 恒等式) \(\dd(\Omega^k)=\Omega^k\wedge\omega-\omega\wedge\Omega^k\), 其中 \(\Omega^k:=\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega\) 共 \(k\) 个.

• 推广的第二 Bianchi 恒等式也适用于向量丛 \(E\to M\) 上的联络. 根据 Claim 19.5, 推广的第二 Bianchi 恒等式还可以写作 \[ \dd(\Omega^k) = [\Omega^k,\omega]. \]

Pf 回顾 Cartan 结构方程 \(\tau=\dd\theta+\omega\wedge\theta\) 和 \(\Omega=\dd\omega+\omega\wedge\omega\). 第一结构方程两边外微分 \[ \Align{ \dd\tau &= \dd\omega\wedge\theta - \omega\wedge\dd\theta \\ &= (\Omega-\omega\wedge\omega)\wedge\theta - \omega\wedge(\tau-\omega\wedge\theta) \\ &= \Omega\wedge\theta-\omega\wedge\tau. } \] 第二结构方程两边外微分 \[ \Align{ \dd\Omega &= \dd\omega\wedge\omega - \omega\wedge\dd\omega \\ &= (\Omega-\omega\wedge\omega)\wedge\omega - \omega\wedge(\Omega-\omega\wedge\omega) \\ &= \Omega\wedge\omega-\omega\wedge\Omega. } \] 假设 3 对 \(k\geq1\) 为真, 下面证明它对 \(k+1\) 为真: \[ \Align{ \dd(\Omega^{k+1}) = \dd(\Omega\wedge\Omega^k) &= \dd\Omega\wedge\Omega^k+\Omega\wedge\dd(\Omega^k) \\ &= (\Omega\wedge\omega-\omega\wedge\Omega)\wedge\Omega + \Omega\wedge(\Omega^k\wedge\omega-\omega\wedge\Omega^k) \\ &= \Omega^{k+1}\wedge\omega-\omega\wedge\Omega^{k+1}. } \]

Claim 20.5 (Bianchi 恒等式, 向量场版本) 设 \(M\) 上的黎曼联络 \(\nabla\), 向量场 \(X,Y,Z\in\Gamma(TM)\),

1. (第一 Bianchi 恒等式) \(R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0\).
2. (第二 Bianchi 恒等式) \((\nabla_X\operatorname{Rm})(Y,Z,-)+(\nabla_Y\operatorname{Rm})(Z,X,-)+(\nabla_Z\operatorname{Rm})(X,Y,-)=0\).

Pf 1, 取标架开集 \(U,e_1,\dots,e_n\), 对偶标架 \(\theta^1,\dots,\theta^n\), 则 \(Z=\sum\theta^j(Z)e_j\). 由 \(R\) 的 \({\cal F}\)-线性性, \[ R(X,Y)Z = \sum_jR(X,Y)\theta^j(Z)e_j = \sum_{i,j}\Omega^i_j(X,Y)\theta^j(Z)e_i. \] 微分形式的第一 Bianchi 恒等式给出 \[ \Align{ 0 &= (\Omega\wedge\omega)(X,Y,Z) \\ &= \sum_{i,j} (\Omega^i_j\wedge\theta^j)(X,Y,Z)e_i \\ &= \sum_{i,j} \pqty{ \Omega^i_j(X,Y)\theta^j(Z)+ \Omega^i_j(Y,Z)\theta^j(X)+ \Omega^i_j(Z,X)\theta^j(Y) } e_i \\ &= R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y. } \] 2, 因为 \(R\) 是 \({\cal F}\)-线性的, 只需对标架证明, 特别地, 取坐标基底 \(\{\partial_i\}\). 这样做的好处是坐标基底满足 \[ [\partial_i,\partial_j]=0,\quad \nabla_{\partial_i}\partial_j = 0. \] 设 \(X,Y,Z,V,W\) 为坐标基底场, \[ \Align{ (\nabla_X\operatorname{Rm})(Y,Z,V,W) &= X(\operatorname{Rm}(Y,Z,V,W)) - \operatorname{Rm}(\nabla_XY,Z,V,W) - \cdots \\ &= X(\operatorname{Rm}(Y,Z,V,W)) \\ &= X\lr{R(Y,Z)V,W} \\ &= \lr{\nabla_XR(Y,Z)V,W} + \lr{R(Y,Z)V,\nabla_XW} \\ &= \lr{\nabla_X\nabla_Y\nabla_ZV,W} - \lr{\nabla_X\nabla_Z\nabla_Y,W}. } \] (其中第四个等号根据 \(\lr{\cdot,\cdot}\) 与 \(\nabla\) 相容.) 循环 \(X,Y,Z\) 并相加给出第二 Bianchi 恒等式.

Claim 20.6 黎曼曲率张量的对称性:

1. \(\operatorname{Rm}(X,Y,Z,W)=-\operatorname{Rm}(Y,X,Z,W)\).
2. \(\operatorname{Rm}(X,Y,Z,W)=-\operatorname{Rm}(X,Y,W,Z)\).
3. (Bianchi) \(\sum_{\textsf{cyclic in }X,Y,Z}\operatorname{Rm}(X,Y,Z,W)=0\).
4. (Bianchi) \(\sum_{\textsf{cyclic in }X,Y,Z}\nabla_X\operatorname{Rm}(Y,Z,V,W)=0\).
5. \(\operatorname{Rm}(X,Y,Z,W)=\operatorname{Rm}(Z,W,X,Y)\).

Pf 1 由曲率的定义得; 2 是 Claim 8.4; 3 和 4 是 Bianchi 恒等式. 5 是第一 Bianchi 恒等式的推论.

20.4 Ricci and scalar curvature

里奇张量(Ricci tensor)是线性映射 \(w\mapsto R(u,w)v\) 的迹. 设 \(U\) 上的正交归一标架 \(\{e_i\}\), \[ \operatorname{Ric}(X,Y) := \sum_{i=1}^n \operatorname{Rm}(X,e_i,e_i,Y). \] 由 Claim 20.6 的 5, \(\operatorname{Ric}\) 是一个对称的 \((0,2)\) 型张量.

根据黎曼度量 \(\lr{\cdot,\cdot}\) 的非退化性, 存在唯一的线性映射 \(\rho:T_pM\to T_pM\), 满足 \[ \operatorname{Ric}(u,v) = \lr{\rho(u),v}. \] 标量曲率(scalar curvature)是线性映射 \(\rho\) 的迹: \[ \Align{ S := \tr\rho &= \sum_{i=1}^n\lr{\rho(e_j),e_j} \\ &= \sum_{i=1}^n\operatorname{Ric}(e_j,e_j) \\ &= \sum_{i=1}^n\operatorname{Rm}(e_i,e_j,e_j,e_i). } \]

• 对于高斯曲率为 \(K\) 的二维黎曼流形 \((M,g)\), 里奇曲率 \(\operatorname{Ric}=Kg\), 标量曲率 \(S=2K\).

• 一般地, 对于黎曼流形 \(M\), \(T_pM\) 的一个正交归一基底 \(\{e_i\}\), \(P_{ij}=\operatorname{span}(e_i,e_j)\) 的截面曲率 \[ K(P_{ij}) = \operatorname{Rm}(e_i,e_j,e_j,e_i). \] 标量曲率 \[ S = \sum_{i,j}\operatorname{Rm}(e_i,e_j,e_j,e_i) = \sum_{i,j}K(P_{ij}) = 2\sum_{i<j}K(P_{ij}) \] 是基底生成的所有截面曲率和的二倍. 特别地, 对于常截面曲率流形, \(S=n(n-1)K\).

21 Characteristic Classes

对于向量丛 \(E\to M\) 的联络 \(\nabla\), 可以从其曲率形式 \(\Omega\) 中提取一些不变量, 这些不变量不依赖于标架, 也不依赖于联络 \(\nabla\) 的选取, 反映了 \(E\to M\) 的某些整体性质.

21.1 The Chern-Weil homomorphism

设 \(E\) 的标架 \((U,e)\), 因为曲率矩阵 \(\Omega\) 在标架变换 \(\bar{e}=ea\), \(a\in\Omega^k(U,{\rm GL}(r,\R))\) 下相差一个共轭作用 \[ \bar\Omega=a^{-1}\Omega a. \] 所以对于 \(r^2\) 个变量的多项式 \(P(X)=P(x^i_j)\in\R[x^i_j]\), 若 \(P(X)\) 在 \({\rm GL}(r,\R)\) 的共轭作用下不变: \[ P(X) = P(A^{-1}XA),\quad\forall A\in{\rm GL}(r,\R), \] 则 \(P(\Omega)\) 给出了一个不依赖于标架的整体微分形式. 我们称这样的多项式是不变多项式(invariant polynomial). 若 \(P\) 是 \(k\) 次齐次的, 则整体形式 \(P(\Omega)\in\Omega^{2k}(M,{\frak gl}(r,\R))\), 称为示性形式(characteristic form). 下面我们要证明, \(P(\Omega)\) 是闭形式. 于是其上同调类 \([P(\Omega)]\in H^{2k}(M)\) 是良定义的, 我们还证明其不依赖 \(\nabla\) 的选取, 称为示性类(characteristic class).

Claim 21.1 设秩 \(r\) 的向量丛 \(E\to M\), 联络 \(\nabla\) 给出整体曲率形式 \(\Omega\). 任给不变多项式 \(P(X)\),

1. \(P(\Omega)\) 是闭形式.
2. \([P(\Omega)]\) 不依赖 \(\nabla\) 的选取.

Pf 证明过程使用了一些结论, 包括不变多项式和单参数微分形式族 \(\{\omega_t\}_{t\in J}\) 的一些定理. 这些结论附在本节末尾.

1, 因为不变多项式由迹多项式 \(\tr{X^k}\) (\(k=1,\dots,r\)) 生成, 所以只需对 \(\tr\Omega^k\) 证明: \[ \dd(\tr\Omega^k) = \tr(\dd\Omega^k) = \tr(\Omega^k\wedge\omega-\omega\wedge\Omega^k) = 0. \] 2, 任给两个联络 \(\nabla^0,\nabla^1\), 则仿射组合 \(\nabla^t=(1-t)\nabla^0+t\nabla^1\) (\(t\in[0,1]\)) 也是 \(E\) 上的联络, 它的联络形式 \(\omega_t=(1-t)\omega_0+t\omega_1\) 光滑依赖于参数 \(t\). 根据第二结构方程, \(\Omega_t\) 也光滑依赖于 \(t\). 为了证明 \(\tr(\Omega^k_t)\) 的上同调类不依赖于 \(t\), 一个自然的想法就是关于 \(t\) 求导, 证明其导数是 \(M\) 上的恰当形式.

经过一番计算, 我们断言, \[ \dv{t}\tr(\Omega^k_t) = \dd(k\tr(\Omega_t^{k-1}\dot\omega)). \tag{$\#$} \] 要说明 \(\dd\tr(\Omega^k_t)/\dd{t}\) 可以整个 \(M\) 上定义, 只需要验证 \(\tr(\Omega^{k-1}\dot\omega)\) 在标架变换下不变. 设 \(\bar{e}=ea\), 则 \[ \bar\omega_t = a^{-1}\omega_ta+a^{-1}\dd{a}, \] 两边对 \(t\) 求导, 注意 \(a\) 为常数, 有 \(\dot{\bar\omega} = a^{-1} \dot\omega a\), 于是 \[ \tr(\bar\Omega^{k-1}\dot{\bar\omega}) = \tr( a^{-1}\Omega^{k-1}aa^{-1}\dot\omega a ) = \tr( a^{-1}\Omega^{k-1}\dot\omega a ) = \tr(\Omega^{k-1}\dot\omega) \] 完成了断言的证明.

\((\#)\) 式两边在 \([0,1]\) 上积分, 左边给出 \[ \int_0^1 \dv{t}\tr(\Omega^k_t) \dd{t} = \tr(\Omega^k_1)-\tr(\Omega^k_0), \] 右边给出 \[ \int_0^1 \dd(k\tr(\Omega_t^{k-1}\dot\omega))\dd{t} = \dd \int_0^1 k\tr(\Omega_t^{k-1}\dot\omega) \dd{t}. \] 结合左右两边, \[ \tr(\Omega^k_1)-\tr(\Omega^k_0) = \dd \int_0^1 k\tr(\Omega_t^{k-1}\dot\omega) \dd{t} \] 即 \(\tr(\Omega^k_1),\tr(\Omega^k_0)\) 相差一个恰当的整体形式, 两者给出同一个上同调类.

记 \({\rm Inv}({\frak gl}(r,\R))\) 是 \({\frak gl}(r,\R)\) 上所以不变多项式组成的 \(\R\)-代数, \(H^*(M)\) 是 \(M\) 上的 de Rham 上同调代数, 则映射 \[ \Align{ c_E: {\rm Inv}({\frak gl}(r,\R)) &\to H^*(M) \\ P(X) &\mapsto [P(\Omega)] } \] 给出了一个代数同态, 称为 Chern-Weil 同态(Chern-Weil homomorphism).

要找到 \(E\) 的所有示性类, 也就是找到 \(c_E\) 的像集. 根据不变多项式理论, 示性类有两套生成元: \[ [f_1(\Omega)],\dots,[f_r(\Omega)] \] 或者 \[ [\tr(\Omega)],\dots,[\tr(\Omega^r)]. \]

• 对于平凡丛 \(E\cong M\times\R^r\) 来说, 其上的诱导联络曲率为零, 于是 \(P(\Omega)\in\Omega^0(M)\) 为 \(M\) 上常值函数.

21.2 Functorial definition

设流形 \(M\), 映射 \[ \Align{ c_M:\{ M \textsf{ 上向量丛的同构类} \} &\to H^*(M) \\ E &\mapsto [P(\Omega)] } \] 满足对任意光滑映射 \(f:N\to M\) 和光滑向量丛 \(E\to M\), \[ c_N( f^*E ) = f^* c_M(E). \]

Pf 设 \(E\to M\) 的联络 \(\nabla\) 在局部标架 \(e\) 下有联络形式 \(\omega_e\). 则拉回丛 \(f^*E\) 上有唯一的联络 \(\nabla'\), 其在标架 \(f^*e\) 下的联络形式为 \(f^*\omega_e\), 曲率形式为 \[ f^*\omega_e + \frac12[f^*\omega_e,f^*\omega_e] = f^*\Omega_e \] 因为 \(f^*\) 是代数同态 (保持 \(\R\)-线性运算和楔积), 有 \[ P(f^*\Omega_e) = f^*P(\Omega_e). \] 这证明了 \(c_N(f^*E)=f^*c_M(E)\), 也说明 \([P(\Omega)]\) 是一个微分同胚不变量(diffeomorphism invariance), 即同一个流形上同构的向量丛具有相同的示性类.

记 \({\rm Vect}_k(M)\) 为 \(M\) 上的秩 \(k\) 向量丛的同构类的全体, 则 \({\rm Vect}_k(\cdot)\) 和 \(H^*(\cdot)\) 都是光滑流形范畴上的函子. 示性类指的是自然变换 \(c:{\rm Vect}_k(\cdot)\to H^*(\cdot)\), 其自然性由 \(c_N( f^*E ) = f^* c_M(E)\) 保证, 即交换图 \[ \xymatrix{ M & {{\rm Vect}_k(M)} \ar[r]^(.53){c_M} \ar[d]_{f^*} & H^*(M) \ar[d]^{f^*} \\ N \ar[u]^{f} & {{\rm Vect}_k(N)} \ar[r]_(.53){c_N} & H^*(N). } \]

21.3 *Invariant polynomials

设 \(R\) 是含幺交换环, \(R\) 上的 \(n\) 元多项式是 \(R\)-代数 \(R[x_1,\dots,x_n]\) 的元素. 多项式函数指的是一个 \(R^n\to R\) 的函数 \(\hat{P}:(x_1,\dots,x_n)\mapsto P(x_1,\dots,x_n)\). 记 \({\rm Fun}(R^n,R)\) 是 \(R^n\to R\) 的函数组成的 \(R\)-代数, 则有代数同态 \[ \Align{ \varepsilon:R[x_1,\dots,x_n] &\to {\rm Fun}(R^n,R) \\ P &\mapsto \hat{P}. } \]

Claim 若 \(R=F\) 是无限域, 则 \(\varepsilon:R[x_i]\to{\rm Fun}(R^n,R)\) 是单射.

因此, 多项式 \(P\in F[x_i]\) 可以与多项式函数认同.

Claim 若整系数多项式 \(P\in\Z[x_i]\) 在某特征为零的域上取值恒为零, 则 \(P\) 在任意含幺交换环上取值恒为零.

设域 \(F\). 矩阵代数 \({\rm gl}(r,F)\) 上的多项式指的是 \(r^2\) 个变量的多项式 \(P\in F[x^i_j]\). 矩阵群 \({\rm GL}(r,F)\) 可以作用在多项式上: \[ (AP)(X) = P(A^{-1}XA),\quad A\in{\rm GL}(r,F). \] 多项式 \(P\in F[x^i_j]\) 称为 \({\rm Ad}_{{\rm GL}(r,F)}\)-不变多项式, 简称不变多项式, 若 \(AP=A\) 对任意 \(A\in{\rm GL}(r,F)\). 所有 \({\frak gl}(r,F)\) 上的不变多项式组成的 \(F\)-代数记作 \({\rm Inv}({\frak gl}(r,F))\).

Claim 若 \(P\) 是 \({\frak gl}(r,F)\) 上的不变多项式, 则对任意 \(F\)-含幺代数 \(R\) 和矩阵 \(X\in R^{r\times r}\), \[ P(A^{-1}XA)=P(X),\quad A\in{\rm GL}(r,F). \]

Claim 设特征为零的域 \(F\), 则特征多项式 \[ \det(\lambda I+X) = \lambda^r+f_1(X)\lambda^{r-1}+\dots+f_{r-1}(X)\lambda+f_r(X) \] 的系数 \(f_k(X)\in\Z[x^i_j]\) 是 \({\frak gl}(r,F)\) 上的不变多项式.

• 推论: 迹多项式 \(\Sigma_k(X):=\tr(X^k)\in\Z[x^i_j]\) 也是 \({\frak gl}(r,F)\) 上的不变多项式.

特别地, 对角矩阵 \(X=\diag(t_1,\dots,t_r)\) 的 \(f_k(X)\) 和 \(\Sigma_k(X)\) 是关于 \(t_i\) 的对称多项式. 关于 \(t_1,\dots,t_r\) 的所有对称多项式组成的 \(F\)-代数记作 \(F[t_1,\dots,t_r]^{S_r}\). 下面的定理表明, 不变多项式与对称多项式一一对应.

Claim 设 \(F=\R\) 或 \(\C\). 下列映射是一个 \(F\)-代数同构: \[ \Align{ \varphi:{\rm Inv}({\frak gl}(r,F)) &\to F[t_1,\dots,t_r]^{S_r} \\ P(X) &\mapsto \tilde{P}(t_1,\dots,t_r) := P(\diag(t_1,\dots,t_r)). } \]

Pf 复数情形. 证明用到两个事实: 1. 可对角化矩阵在 \({\frak gl}(r,\C)\) 中稠密; 2. (对称多项式基本定理) 对称多项式由初等对称多项式 \(\sigma_1,\dots,\sigma_r\) 生成, 其中: \[ \sigma_k(t_1,\dots,t_k) := \sum_{1\leq i_1<\dots<i_k\leq r}t_{i_1}\cdots t_{i_k}. \] 单射性. 假设 \(P(X)\) 在对角阵上取值为零, 根据不变性, \(P(X)\) 在可对角化的矩阵上取值为零. 因为可对角化的矩阵是稠密的, 根据 \(P(X)\) 的连续性, \(P(X)\) 是零函数, 进而也是零多项式.

满射性. 容易看出, \(f_k(X)\) 在 \(\varphi\) 下的像恰好是 \(\sigma_k\). 根据对称多项式基本定理, \(\C[t_i]^{S_r}\) 中的任何多项式都是 \(\sigma_i\) 的多项式 \(Q(\sigma_1,\dots,\sigma_r)\). 于是 \[ \Align{ Q(\sigma_1,\dots,\sigma_r) &= Q(\varphi(f_1(X)),\dots,\varphi(f_r(X))) \\ &= \varphi(Q(f_1(X),\dots,f_r(X))) \\ &= \varphi(P(X)) } \] 对于 \(P(X)=Q(f_1(X),\dots,f_k(X))\in{\rm Inv}({\frak gl}(r,\C))\).

实数情形. 注意到一个事实: 若 \({\frak gl}(r,\R)\) 上的实多项式 \(P(X)\) 在 \({\rm GL}(r,\R)\) 下不变, 则 \(P(X)\) 在 \({\rm GL}(r,\C)\) 下也不变. 换言之, \({\rm Inv}({\frak gl}(r,\R))={\rm Inv}({\frak gl}(r,\C))\cap\R[x^i_j]\). 于是有交换图 \[ \xymatrix{ {{\rm Inv}({\frak gl}(r,\C))} \ar[r]^(.6){\varphi} & \C[t_i]^{S_r} \\ {{\rm Inv}({\frak gl}(r,\R))} \ar[r]_(.6){\varphi_\R} \ar@{}[u]|{\bigcup} & \R[t_i]^{S_r}. \ar@{}[u]|{\bigcup} } \] \(\varphi_\R\) 的单射性从 \(\varphi\) 的单射性立刻得出. 满射性和复数情形的证明一样的.

在这个同构下, 特征多项式的系数 \(f_k\) 映到初等对称多项式. 因为初等对称多项式能生成 \(F[t_1,\dots,t_k]^{S_r}\), 所以 \(f_k\) 能生成所以不变多项式.

迹多项式 \(\Sigma_k\) 映到幂和多项式 \[ \tilde{\Sigma}_k(t_1,\dots,t_k) = \tr(\diag(t_1^k,\dots,t_r^k)) = \sum t_i^k. \] 根据 Newton 恒等式, 幂和多项式都能也生成 \(F[t_1,\dots,t_k]^{S_r}\), 所以 \(\Sigma_k\) 也可以生成所有不变多项式.

Claim 设 \(F=\R\) 或 \(\C\). 矩阵代数 \({\frak gl}(r,F)\) 上的不变多项式由特征多项式的系数 \(f_k(X)\) 或者迹多项式 \(\Sigma_k(X)\) 生成: \[ {\rm Inv}({\frak gl}(r,F)) =F[ f_1(X),\dots,f_r(X) ] =F[ \Sigma_1(X),\dots,\Sigma_k(X) ]. \]

21.4 *Forms depending on a real parameter

设单参数微分形式族 \(\{\omega_t\}_{t\in J}\), 开区间 \(J\subset\R\). 在坐标系 \(U,x^1,\dots,x^n\) 下, \[ \omega_t=\sum_I a_I(x,t)\dd{x^I}. \] 称 \(\omega_t\) 光滑依赖于 \(t\), 若对于任意坐标系, \(a_I(x,t)\) 在 \(U\times J\) 上都是光滑的. 逐点定义 \(\omega_t\) 的导数和积分: \[ \Align{ \pqty{\dv{\omega_t}{t}}_p &:= \dv{\omega_{t,p}}{t}, \\ \pqty{\int_a^b\omega_t\dd{t}}_p &:= \int_a^b\omega_{t,p}\dd{t}. } \] 在局部坐标 \(U,x^1,\dots,x^n\) 下, \[ \Align{ \dv{t}\omega_t &= \sum_I \pdv{a_I}{t}(x,t)\dd{x^I}, \\ \int_a^b\omega_t &= \sum_I\pqty{ \int_a^b a_I(x,t)\dd{t} } \dd{x^I}. } \] 为了简便, 可以记 \(\dd\omega_t/\dd{t}=\dot{\omega}_t\).

Claim 设 \(\omega,\tau\) 是光滑地依赖于参数 \(t\in J\) 的矩阵值微分形式, 且 \(\omega\wedge\tau\) 有意义 (即 \(\omega\) 的列数等于 \(\tau\) 的行数).

1. 若 \(\omega\) 是方阵, \[ \dv{t}(\tr\omega) = \tr\pqty{ \dv{\omega}{t} }. \]

2. (Leibniz 律) \[ \dv{t}(\omega\wedge\tau) = \dot\omega\wedge\tau+\omega\wedge\dot\tau. \]

3. (求导和外微分可交换) \[ \dv{t}(\dd\omega)=\dd(\dv{\omega}{t}). \]

4. (积分和外微分可交换) \[ \int_a^b\dd{\omega}\dd{t} = \dd( \int_a^b\omega\dd{t} ). \]

Pf 1, 2, 3 都是很直接的, 下面证明 4. 在坐标系 \(U,x^1,\dots,x^n\) 下, \[ \Align{ \omega &= \sum_I a_I\dd{x^I}, & \dd\omega &= \sum_{I,j} \pdv{a_I}{x^j}\dd{x^j}\wedge\dd{x^I}, } \] 于是一方面 \[ \int_a^b(\dd\omega)\dd{t} = \sum_{I,j} \pqty{ \int_a^b \pdv{a_I}{x^j}\dd{t} } \dd{x^j}\wedge\dd{x^I}, \] 另一方面 \[ \Align{ \dd(\int_a^b\omega\dd{t}) &= \sum_I \dd( \pqty{\int_a^b a_I\dd{t}} \dd{x^I} ) \\ &= \sum_I \pdv{x^j}\pqty{\int_a^b a_I\dd{t}} \dd{x^j}\wedge\dd{x^I}. } \] 因为 \(a_I\) 和 \(\partial a_I/\partial x^j\) 都在 \(U\times[a,b]\) 上连续, 所以上面的偏导数和定积分可以交换顺序, 说明左右两边相等.