GTM275 | 8 向量丛与示性类

GTM275 (Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes) 第 22-23 节的笔记.

20 Connections and Curvature Again

20.1 Connection and curvature matrices

我们知道, 向量丛 $E\to M$ 上的联络 $\mathrm{\nabla }$ 可以限制到标架开集 $U,e=[e_1,\dots ,e_r]$ 上: $$\mathrm{\nabla }:\mathrm{\Gamma }(U,TM)\times \mathrm{\Gamma }(U,E)\to \mathrm{\Gamma }(U,E).$$ 联络矩阵 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(U,\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R}))$ 和曲率矩阵 $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{\Omega }}^2(U,\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R}))$ 分别定义为 $$\begin{array}{rlrl}\mathrm{\nabla }e& =e\omega ,& R(e)& =e\mathrm{\Omega },\\ \mathrm{\nabla }{e}_j& =e_i{\omega }_j^i,& R(e_j)& =e_i{\mathrm{\Omega }}_j^i.\end{array}$$ 下面考虑 $U$ 上的标架变换 $${\overline{e}}_l(p)=\sum e_k(p)a_l^k(p),$$ 其中 $a_l^k\in {\mathrm{\Omega }}^0(U,\mathbb{R})$, 于是矩阵 $a=[a_l^k]\in {\mathrm{\Omega }}^0(U,\mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R}))$. 上式用矩阵乘法写作 $$\overline{e}=ea.$$ 为了和上式适配, 我们将 Leibniz 律中的函数 $f$ 写作右乘: $$\mathrm{\nabla }(sf)=s\mathrm{d}f+(\mathrm{\nabla }s)f.$$

Claim 20.1 (联络与曲率矩阵的变换律) 设开集 $U$ 上的两个标架满足 $\overline{e}=ea$, $a\in {\mathrm{\Omega }}^0(U,\mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R}))$, 则联络 $\mathrm{\nabla }$ 在这两个标架下的联络与曲率矩阵满足 $$\begin{array}{rl}\overline{\omega }& =a^{-1}\omega a+a^{-1}\mathrm{d}a,\\ \overline{\mathrm{\Omega }}& =a^{-1}\mathrm{\Omega }a.\end{array}$$

Pf 由定义, $$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\overline{e}& =\mathrm{\nabla }(ea)\\ & =e\mathrm{d}a+(\mathrm{\nabla }e)a\\ & =e(\mathrm{d}a+\omega a)\\ & =\overline{e}{a}^{-1}(\mathrm{d}a+\omega a).\end{array}$$ 即 $\overline{\omega }=a^{-1}\mathrm{d}a+a^{-1}\omega a$. 对于曲率矩阵的变换, 可以将第二结构方程带入上式得到, 也可以直接从曲率的定义看出: $$\begin{array}{rl}R(\overline{e})& =R(ea)\\ & =R(e)a\\ & =e\mathrm{\Omega }a\\ & =\overline{e}{a}^{-1}\mathrm{\Omega }a,\end{array}$$ 即 $\overline{\mathrm{\Omega }}=a^{-1}\mathrm{\Omega }a$.

在标架开集 $(U,e)$ 上, 我们能用联络矩阵 ${\omega }_e$ 来定义局部联络 ${\mathrm{\nabla }}^U$. 取定 $E$ 的一个平凡化开覆盖 $\{(U,e)\}$, 如果我们将每个 $(U,e)$ 上的联络 ${\omega }_e$ "拼接" 起来, 就能定义出了一个整体的联络. 这些局部联络能够 "拼合" 的充要条件就是满足变换律 $${\omega }_{\overline{e}}=a^{-1}{\omega }_{e}a+a^{-1}\mathrm{d}a$$ 对任意 $(U,e)$ 和 $(U^{\prime },\overline{e})$, 其中在 $U\cap U^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }$ 上有 $\overline{e}=ea$.

下面我们用这种方法定义拉回丛上的联络.

Claim 20.2 (拉回丛上的联络) 设 $E\to M$ 上的联络 $\mathrm{\nabla }$, 光滑映射 $f:N\to M$. 设 $E$ 的平凡化开覆盖 $\{(U,e)\}$, 对应的联络矩阵为 ${\omega }_e$, 则存在唯一 $f^{\ast }E$ 上的联络, 其在标架开集 $(f^{-1}(U),f^{\ast }e)$ 上的联络矩阵是 $f^{\ast }({\omega }_e)$.

Pf 只需验证任意两个联络矩阵是相容的: 取 $f^{\ast }({\omega }_e)$ 和 $f^{\ast }({\omega }_{\overline{e}})$ ($\overline{e}=ea$), 因为拉回和乘积, 外微分都可交换, $$f^{\ast }({\omega }_{\overline{e}})=(f^{\ast }a{)}^{-1}{f}^{\ast }({\omega }_e)f^{\ast }a+(f^{\ast }a{)}^{-1}\mathrm{d}\left(f^{\ast }a\right),$$ 由于 $f^{\ast }\overline{e}=(f^{\ast }e)(f^{\ast }a)$, 上式说明 $f^{\ast }({\omega }_e)$ 和 $f^{\ast }({\omega }_{\overline{e}})$ 在标架变换 $f^{\ast }a$ 下是相容的.

20.2 Covariant derivative of tensor fields

协变导数.

切丛 $TM$ 上的联络 $\mathrm{\nabla }$ 诱导出了任意张量丛 $T^{r,s}(M)$ 上的协变导数. 设 $X\in \mathrm{\Gamma }(TM)$.

对 $(0,0)$ 型张量场 (即光滑函数) $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$, 有 ${\mathrm{\nabla }}_{X}f=Xf=\mathrm{d}f(X)$.

对 $(0,1)$ 型张量场 (即 $1$-形式) $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(M,\mathbb{R})$, 定义 $$({\mathrm{\nabla }}_X\omega )(Y):=X(\omega (Y))-\omega ({\mathrm{\nabla }}_{X}Y).$$ 一般地, 对 $(r,s)$ 型张量场 $T\in \mathrm{\Gamma }(T^{r,s}(M))$, 定义 $$\begin{array}{rl}({\mathrm{\nabla }}_{X}T)({\omega }_1,\dots ,{\omega }_r;Y_1,\dots ,Y_s):=& X(T({\omega }_1,\dots ,{\omega }_r;Y_1,\dots ,Y_s))\\ & -\sum _{i=1}^{r}T({\omega }_1,\dots ,{\mathrm{\nabla }}_X{\omega }_i,\dots ,{\omega }_r;Y_1,\dots ,Y_s)\\ & -\sum _{j=1}^{s}T({\omega }_1,\dots ,{\omega }_r;Y_1,\dots ,{\mathrm{\nabla }}_X{Y}_j,\dots ,Y_s).\end{array}$$ 容易看出, ${\mathrm{\nabla }}_{X}T$ 关于 $X$ 是 $\mathcal{F}$-线性的, 所以仍旧可以逐点定义. 还需要证明如此定义的 ${\mathrm{\nabla }}_X\omega$ 和 ${\mathrm{\nabla }}_{X}T$ 确实是 $M$ 上的张量场, 即验证它们的 $\mathcal{F}$-线性性, 此处略去. 记 $$T^{\ast ,\ast }(M)=\underset{r,s=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{T}^{r,s}(M)$$ 为 $M$ 上的张量代数, 则依据关于 $T$ 的可加性, 协变导数可以推广到 $${\mathrm{\nabla }}_X:\mathrm{\Gamma }(T^{\ast ,\ast }(M))\to \mathrm{\Gamma }(T^{\ast ,\ast }(M)).$$ 协变导数定义看上去很突然, 但这实际上保证了 Leibniz 律, 而且是 Leibniz 律的必然结果.

Claim 20.3 (协变导数是导子) 任给张量场 $T_1,T_2\in \mathrm{\Gamma }(T^{\ast ,\ast }(M))$ 和向量场 $X\in \mathrm{\Gamma }(TM)$, $${\mathrm{\nabla }}_X(T_1\otimes T_2)=({\mathrm{\nabla }}_X{T}_1)\otimes T_2+T_1\otimes ({\mathrm{\nabla }}_X{T}_2).$$

曲率, 二阶协变导数, Laplace 算子.

曲率可以直接推广到张量场上: 对 $X,Y\in \mathrm{\Gamma }(TM)$, 曲率 $R(X,Y):\mathrm{\Gamma }(T^{\ast ,\ast }(M))\to \mathrm{\Gamma }(T^{\ast ,\ast }(M))$, $$R(X,Y)T:={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}T-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}T-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}T.$$ 挠率则没有什么新的东西: $T(X,Y)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X-[X,Y]$.

还可以定义张量场的二阶协变导数: 对 $T\in \mathrm{\Gamma }(T^{r,s}(M))$, $${\mathrm{\nabla }}_{X,Y}^{2}T:={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}T-{\mathrm{\nabla }}_{{\mathrm{\nabla }}_{X}Y}T.$$

• 应当区分 ${\mathrm{\nabla }}_{X,Y}^2$ 和 ${\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_Y$, 它们一般不相等. 利用抽象指标, 这两者分别写作 $$X^a{X}^b{\mathrm{\nabla }}_a{\mathrm{\nabla }}_b\mathsf{\text{和}}{X}^a{\mathrm{\nabla }}_a{Y}^b{\mathrm{\nabla }}_b.$$

• 对于函数 $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$, ${\mathrm{\nabla }}_{X,Y}^{2}f=XYf-({\mathrm{\nabla }}_{X}Y)f$. 若 $\mathrm{\nabla }$ 无挠, 则 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}_{X,Y}^{2}f-{\mathrm{\nabla }}_{Y,X}^{2}f& =XYf-YXf+({\mathrm{\nabla }}_{Y}X)f-({\mathrm{\nabla }}_{X}Y)f\\ & =-T(X,Y)f=0,\end{array}$$ 即 ${\mathrm{\nabla }}^{2}f$ 是一个对称的 $(0,2)$ 型张量场, 称为 $f$ 的 Hessian. 这是欧氏空间中 Hessian 的推广: 在欧氏空间中, $${\mathrm{\nabla }}_{X,Y}^{2}f=\sum X^i{Y}^j\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i{x}^j}.$$

对于一般的张量场, 黎曼联络的二阶协变导数不是对称的, 其非对称性由曲率刻画.

Claim 20.3 (Ricci 恒等式) 设 $M$ 上的黎曼联络 $\mathrm{\nabla }$. 对 $X,Y\in \mathrm{\Gamma }(TM)$, $T\in \mathrm{\Gamma }(T^{r,s}(M))$, $${\mathrm{\nabla }}_{X,Y}^{2}T-{\mathrm{\nabla }}_{Y,X}^{2}T=R(X,Y)T$$

Laplace-Beltrami 算子 (简称 Laplace 算子) 是欧氏空间的 Laplace 算子的推广. 由黎曼度量 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 的非退化性, 存在唯一的线性映射 $\eta :T_{p}M\to T_{p}M$, 满足 ${\mathrm{\nabla }}_{X,Y}^{2}f=⟨\eta (X),Y⟩$. Laplace 算子定义为 $\eta$ 的迹: $$\mathrm{\Delta }f:=\mathrm{tr}\eta =\sum _{i=1}^n⟨\eta (e_i),e_i⟩=\sum _{i=1}^n{\mathrm{\nabla }}_{e_i,e_i}^{2}f$$ 对于局部标架 $\{e_i\}$. 因为迹在标架变换下不变, 所以 $\mathrm{\Delta }$ 可以定义在整个 $M$ 上: $\mathrm{\Delta }:C^{\mathrm{\infty }}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M)$.

20.3 Bianchi identities

联络 $\mathrm{\nabla }$ 的黎曼曲率张量(Riemann curvature tensor)定义为 $$\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W):=⟨R(X,Y)Z,W⟩,X,Y,Z,W\in \mathrm{\Gamma }(TM),$$ 黎曼联络的曲率张量有一些对称性, 它们由 Bianchi 恒等式描述.

Claim 20.4 (Bianchi 恒等式, 微分形式版本) 设 $M$ 上的联络 $\mathrm{\nabla }$, 标架 $e=[e_1,\dots ,e_n]$ 下的联络矩阵 $\omega$, 曲率矩阵 $\mathrm{\Omega }$, 对偶标架 $\theta =[{\theta }^1,\dots ,{\theta }^n{]}^{\mathsf{T}}$, 挠率矩阵 $\tau =[{\tau }^1,\dots ,{\tau }^n{]}^{\mathsf{T}}$, 则

1. (第一 Bianchi 恒等式) $\mathrm{d}\tau =\mathrm{\Omega }\wedge \theta -\omega \wedge \tau$.
2. (第二 Bianchi 恒等式) $\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }\wedge \omega -\omega \wedge \mathrm{\Omega }$.
3. (推广的第二 Bianchi 恒等式) $\mathrm{d}\left({\mathrm{\Omega }}^k\right)={\mathrm{\Omega }}^k\wedge \omega -\omega \wedge {\mathrm{\Omega }}^k$, 其中 ${\mathrm{\Omega }}^k:=\mathrm{\Omega }\wedge \cdots \wedge \mathrm{\Omega }$ 共 $k$ 个.

• 推广的第二 Bianchi 恒等式也适用于向量丛 $E\to M$ 上的联络. 根据 Claim 19.5, 推广的第二 Bianchi 恒等式还可以写作 $$\mathrm{d}\left({\mathrm{\Omega }}^k\right)=[{\mathrm{\Omega }}^k,\omega ].$$

Pf 回顾 Cartan 结构方程 $\tau =\mathrm{d}\theta +\omega \wedge \theta$ 和 $\mathrm{\Omega }=\mathrm{d}\omega +\omega \wedge \omega$. 第一结构方程两边外微分 $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\tau & =\mathrm{d}\omega \wedge \theta -\omega \wedge \mathrm{d}\theta \\ & =(\mathrm{\Omega }-\omega \wedge \omega )\wedge \theta -\omega \wedge (\tau -\omega \wedge \theta )\\ & =\mathrm{\Omega }\wedge \theta -\omega \wedge \tau .\end{array}$$ 第二结构方程两边外微分 $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\mathrm{\Omega }& =\mathrm{d}\omega \wedge \omega -\omega \wedge \mathrm{d}\omega \\ & =(\mathrm{\Omega }-\omega \wedge \omega )\wedge \omega -\omega \wedge (\mathrm{\Omega }-\omega \wedge \omega )\\ & =\mathrm{\Omega }\wedge \omega -\omega \wedge \mathrm{\Omega }.\end{array}$$ 假设 3 对 $k\ge 1$ 为真, 下面证明它对 $k+1$ 为真: $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\left({\mathrm{\Omega }}^{k+1}\right)=\mathrm{d}(\mathrm{\Omega }\wedge {\mathrm{\Omega }}^k)& =\mathrm{d}\mathrm{\Omega }\wedge {\mathrm{\Omega }}^k+\mathrm{\Omega }\wedge \mathrm{d}\left({\mathrm{\Omega }}^k\right)\\ & =(\mathrm{\Omega }\wedge \omega -\omega \wedge \mathrm{\Omega })\wedge \mathrm{\Omega }+\mathrm{\Omega }\wedge ({\mathrm{\Omega }}^k\wedge \omega -\omega \wedge {\mathrm{\Omega }}^k)\\ & ={\mathrm{\Omega }}^{k+1}\wedge \omega -\omega \wedge {\mathrm{\Omega }}^{k+1}.\end{array}$$

Claim 20.5 (Bianchi 恒等式, 向量场版本) 设 $M$ 上的黎曼联络 $\mathrm{\nabla }$, 向量场 $X,Y,Z\in \mathrm{\Gamma }(TM)$,

1. (第一 Bianchi 恒等式) $R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$.
2. (第二 Bianchi 恒等式) $({\mathrm{\nabla }}_X\mathrm{Rm})(Y,Z,-)+({\mathrm{\nabla }}_Y\mathrm{Rm})(Z,X,-)+({\mathrm{\nabla }}_Z\mathrm{Rm})(X,Y,-)=0$.

Pf 1, 取标架开集 $U,e_1,\dots ,e_n$, 对偶标架 ${\theta }^1,\dots ,{\theta }^n$, 则 $Z=\sum {\theta }^j(Z)e_j$. 由 $R$ 的 $\mathcal{F}$-线性性, $$R(X,Y)Z=\sum _{j}R(X,Y){\theta }^j(Z)e_j=\sum _{i,j}{\mathrm{\Omega }}_j^i(X,Y){\theta }^j(Z)e_i.$$ 微分形式的第一 Bianchi 恒等式给出 $$\begin{array}{rl}0& =(\mathrm{\Omega }\wedge \omega )(X,Y,Z)\\ & =\sum _{i,j}({\mathrm{\Omega }}_j^i\wedge {\theta }^j)(X,Y,Z)e_i\\ & =\sum _{i,j}({\mathrm{\Omega }}_j^i(X,Y){\theta }^j(Z)+{\mathrm{\Omega }}_j^i(Y,Z){\theta }^j(X)+{\mathrm{\Omega }}_j^i(Z,X){\theta }^j(Y))e_i\\ & =R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.\end{array}$$ 2, 因为 $R$ 是 $\mathcal{F}$-线性的, 只需对标架证明, 特别地, 取坐标基底 $\{{\partial }_i\}$. 这样做的好处是坐标基底满足 $$[{\partial }_i,{\partial }_j]=0,{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j=0.$$ 设 $X,Y,Z,V,W$ 为坐标基底场, $$\begin{array}{rl}({\mathrm{\nabla }}_X\mathrm{Rm})(Y,Z,V,W)& =X(\mathrm{Rm}(Y,Z,V,W))-\mathrm{Rm}({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z,V,W)-\cdots \\ & =X(\mathrm{Rm}(Y,Z,V,W))\\ & =X⟨R(Y,Z)V,W⟩\\ & =⟨{\mathrm{\nabla }}_{X}R(Y,Z)V,W⟩+⟨R(Y,Z)V,{\mathrm{\nabla }}_{X}W⟩\\ & =⟨{\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{Z}V,W⟩-⟨{\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_Z{\mathrm{\nabla }}_Y,W⟩.\end{array}$$ (其中第四个等号根据 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 与 $\mathrm{\nabla }$ 相容.) 循环 $X,Y,Z$ 并相加给出第二 Bianchi 恒等式.

Claim 20.6 黎曼曲率张量的对称性:

1. $\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W)=-\mathrm{Rm}(Y,X,Z,W)$.
2. $\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W)=-\mathrm{Rm}(X,Y,W,Z)$.
3. (Bianchi) $\sum _{\mathsf{\text{cyclic in }}X,Y,Z}\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W)=0$.
4. (Bianchi) $\sum _{\mathsf{\text{cyclic in }}X,Y,Z}{\mathrm{\nabla }}_X\mathrm{Rm}(Y,Z,V,W)=0$.
5. $\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W)=\mathrm{Rm}(Z,W,X,Y)$.

Pf 1 由曲率的定义得; 2 是 Claim 8.4; 3 和 4 是 Bianchi 恒等式. 5 是第一 Bianchi 恒等式的推论.

20.4 Ricci and scalar curvature

里奇张量(Ricci tensor)是线性映射 $w\mapsto R(u,w)v$ 的迹. 设 $U$ 上的正交归一标架 $\{e_i\}$, $$\mathrm{Ric}(X,Y):=\sum _{i=1}^n\mathrm{Rm}(X,e_i,e_i,Y).$$ 由 Claim 20.6 的 5, $\mathrm{Ric}$ 是一个对称的 $(0,2)$ 型张量.

根据黎曼度量 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 的非退化性, 存在唯一的线性映射 $\rho :T_{p}M\to T_{p}M$, 满足 $$\mathrm{Ric}(u,v)=⟨\rho (u),v⟩.$$ 标量曲率(scalar curvature)是线性映射 $\rho$ 的迹: $$\begin{array}{rl}S:=\mathrm{tr}\rho & =\sum _{i=1}^n⟨\rho (e_j),e_j⟩\\ & =\sum _{i=1}^n\mathrm{Ric}(e_j,e_j)\\ & =\sum _{i=1}^n\mathrm{Rm}(e_i,e_j,e_j,e_i).\end{array}$$

• 对于高斯曲率为 $K$ 的二维黎曼流形 $(M,g)$, 里奇曲率 $\mathrm{Ric}=Kg$, 标量曲率 $S=2K$.

• 一般地, 对于黎曼流形 $M$, $T_{p}M$ 的一个正交归一基底 $\{e_i\}$, $P_{ij}=\mathrm{span}(e_i,e_j)$ 的截面曲率 $$K(P_{ij})=\mathrm{Rm}(e_i,e_j,e_j,e_i).$$ 标量曲率 $$S=\sum _{i,j}\mathrm{Rm}(e_i,e_j,e_j,e_i)=\sum _{i,j}K(P_{ij})=2\sum _{i<j}K(P_{ij})$$ 是基底生成的所有截面曲率和的二倍. 特别地, 对于常截面曲率流形, $S=n(n-1)K$.

21 Characteristic Classes

对于向量丛 $E\to M$ 的联络 $\mathrm{\nabla }$, 可以从其曲率形式 $\mathrm{\Omega }$ 中提取一些不变量, 这些不变量不依赖于标架, 也不依赖于联络 $\mathrm{\nabla }$ 的选取, 反映了 $E\to M$ 的某些整体性质.

21.1 The Chern-Weil homomorphism

设 $E$ 的标架 $(U,e)$, 因为曲率矩阵 $\mathrm{\Omega }$ 在标架变换 $\overline{e}=ea$, $a\in {\mathrm{\Omega }}^k(U,\mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R}))$ 下相差一个共轭作用 $$\overline{\mathrm{\Omega }}=a^{-1}\mathrm{\Omega }a.$$ 所以对于 $r^2$ 个变量的多项式 $P(X)=P(x_j^i)\in \mathbb{R}[x_j^i]$, 若 $P(X)$ 在 $\mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R})$ 的共轭作用下不变: $$P(X)=P(A^{-1}XA),\mathrm{\forall }A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R}),$$ 则 $P(\mathrm{\Omega })$ 给出了一个不依赖于标架的整体微分形式. 我们称这样的多项式是不变多项式(invariant polynomial). 若 $P$ 是 $k$ 次齐次的, 则整体形式 $P(\mathrm{\Omega })\in {\mathrm{\Omega }}^{2k}(M,\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R}))$, 称为示性形式(characteristic form). 下面我们要证明, $P(\mathrm{\Omega })$ 是闭形式. 于是其上同调类 $[P(\mathrm{\Omega })]\in H^{2k}(M)$ 是良定义的, 我们还证明其不依赖 $\mathrm{\nabla }$ 的选取, 称为示性类(characteristic class).

Claim 21.1 设秩 $r$ 的向量丛 $E\to M$, 联络 $\mathrm{\nabla }$ 给出整体曲率形式 $\mathrm{\Omega }$. 任给不变多项式 $P(X)$,

1. $P(\mathrm{\Omega })$ 是闭形式.
2. $[P(\mathrm{\Omega })]$ 不依赖 $\mathrm{\nabla }$ 的选取.

Pf 证明过程使用了一些结论, 包括不变多项式和单参数微分形式族 $\{{\omega }_t{\}}_{t\in J}$ 的一些定理. 这些结论附在本节末尾.

1, 因为不变多项式由迹多项式 $\mathrm{tr}{X}^k$ ($k=1,\dots ,r$) 生成, 所以只需对 $\mathrm{tr}{\mathrm{\Omega }}^k$ 证明: $$\mathrm{d}(\mathrm{tr}{\mathrm{\Omega }}^k)=\mathrm{tr}(\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^k)=\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}^k\wedge \omega -\omega \wedge {\mathrm{\Omega }}^k)=0.$$ 2, 任给两个联络 ${\mathrm{\nabla }}^0,{\mathrm{\nabla }}^1$, 则仿射组合 ${\mathrm{\nabla }}^t=(1-t){\mathrm{\nabla }}^0+t{\mathrm{\nabla }}^1$ ($t\in [0,1]$) 也是 $E$ 上的联络, 它的联络形式 ${\omega }_t=(1-t){\omega }_0+t{\omega }_1$ 光滑依赖于参数 $t$. 根据第二结构方程, ${\mathrm{\Omega }}_t$ 也光滑依赖于 $t$. 为了证明 $\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_t^k)$ 的上同调类不依赖于 $t$, 一个自然的想法就是关于 $t$ 求导, 证明其导数是 $M$ 上的恰当形式.

经过一番计算, 我们断言, $$\begin{array}{}\text{(}\mathrm{\#}\text{)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_t^k)=\mathrm{d}(k\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_t^{k-1}\dot{\omega })).\end{array}$$ 要说明 $\mathrm{d}\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_t^k)/\mathrm{d}t$ 可以整个 $M$ 上定义, 只需要验证 $\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}^{k-1}\dot{\omega })$ 在标架变换下不变. 设 $\overline{e}=ea$, 则 $${\overline{\omega }}_t=a^{-1}{\omega }_{t}a+a^{-1}\mathrm{d}a,$$ 两边对 $t$ 求导, 注意 $a$ 为常数, 有 $\dot{\overline{\omega }}=a^{-1}\dot{\omega }a$, 于是 $$\mathrm{tr}({\overline{\mathrm{\Omega }}}^{k-1}\dot{\overline{\omega }})=\mathrm{tr}(a^{-1}{\mathrm{\Omega }}^{k-1}a{a}^{-1}\dot{\omega }a)=\mathrm{tr}(a^{-1}{\mathrm{\Omega }}^{k-1}\dot{\omega }a)=\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}^{k-1}\dot{\omega })$$ 完成了断言的证明.

$(\mathrm{\#})$ 式两边在 $[0,1]$ 上积分, 左边给出 $${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_t^k)\mathrm{d}t=\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_1^k)-\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_0^k),$$ 右边给出 $${\int }_0^1\mathrm{d}(k\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_t^{k-1}\dot{\omega }))\mathrm{d}t=\mathrm{d}{\int }_0^{1}k\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_t^{k-1}\dot{\omega })\mathrm{d}t.$$ 结合左右两边, $$\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_1^k)-\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_0^k)=\mathrm{d}{\int }_0^{1}k\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_t^{k-1}\dot{\omega })\mathrm{d}t$$ 即 $\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_1^k),\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}_0^k)$ 相差一个恰当的整体形式, 两者给出同一个上同调类.

记 $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R}))$ 是 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R})$ 上所以不变多项式组成的 $\mathbb{R}$-代数, $H^{\ast }(M)$ 是 $M$ 上的 de Rham 上同调代数, 则映射 $$\begin{array}{rl}{c}_E:\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R}))& \to H^{\ast }(M)\\ P(X)& \mapsto [P(\mathrm{\Omega })]\end{array}$$ 给出了一个代数同态, 称为 Chern-Weil 同态(Chern-Weil homomorphism).

要找到 $E$ 的所有示性类, 也就是找到 $c_E$ 的像集. 根据不变多项式理论, 示性类有两套生成元: $$[f_1(\mathrm{\Omega })],\dots ,[f_r(\mathrm{\Omega })]$$ 或者 $$[\mathrm{tr}(\mathrm{\Omega })],\dots ,[\mathrm{tr}({\mathrm{\Omega }}^r)].$$

• 对于平凡丛 $E\cong M\times {\mathbb{R}}^r$ 来说, 其上的诱导联络曲率为零, 于是 $P(\mathrm{\Omega })\in {\mathrm{\Omega }}^0(M)$ 为 $M$ 上常值函数.

21.2 Functorial definition

设流形 $M$, 映射 $$\begin{array}{rl}{c}_M:\{M\mathsf{\text{ 上向量丛的同构类}}\}& \to H^{\ast }(M)\\ E& \mapsto [P(\mathrm{\Omega })]\end{array}$$ 满足对任意光滑映射 $f:N\to M$ 和光滑向量丛 $E\to M$, $$c_N(f^{\ast }E)=f^{\ast }{c}_M(E).$$

Pf 设 $E\to M$ 的联络 $\mathrm{\nabla }$ 在局部标架 $e$ 下有联络形式 ${\omega }_e$. 则拉回丛 $f^{\ast }E$ 上有唯一的联络 ${\mathrm{\nabla }}^{\prime }$, 其在标架 $f^{\ast }e$ 下的联络形式为 $f^{\ast }{\omega }_e$, 曲率形式为 $$f^{\ast }{\omega }_e+\frac{1}{2}[f^{\ast }{\omega }_e,f^{\ast }{\omega }_e]=f^{\ast }{\mathrm{\Omega }}_e$$ 因为 $f^{\ast }$ 是代数同态 (保持 $\mathbb{R}$-线性运算和楔积), 有 $$P(f^{\ast }{\mathrm{\Omega }}_e)=f^{\ast }P({\mathrm{\Omega }}_e).$$ 这证明了 $c_N(f^{\ast }E)=f^{\ast }{c}_M(E)$, 也说明 $[P(\mathrm{\Omega })]$ 是一个微分同胚不变量(diffeomorphism invariance), 即同一个流形上同构的向量丛具有相同的示性类.

记 ${\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}_k(M)$ 为 $M$ 上的秩 $k$ 向量丛的同构类的全体, 则 ${\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}_k(\cdot )$ 和 $H^{\ast }(\cdot )$ 都是光滑流形范畴上的函子. 示性类指的是自然变换 $c:{\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}_k(\cdot )\to H^{\ast }(\cdot )$, 其自然性由 $c_N(f^{\ast }E)=f^{\ast }{c}_M(E)$ 保证, 即交换图 $$M{\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}_k(M)c_M{f}^{\ast }{H}^{\ast }(M)f^{\ast }Nf{\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}_k(N)c_N{H}^{\ast }(N).$$

21.3 *Invariant polynomials

设 $R$ 是含幺交换环, $R$ 上的 $n$ 元多项式是 $R$-代数 $R[x_1,\dots ,x_n]$ 的元素. 多项式函数指的是一个 $R^n\to R$ 的函数 $\hat{P}:(x_1,\dots ,x_n)\mapsto P(x_1,\dots ,x_n)$. 记 $\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}(R^n,R)$ 是 $R^n\to R$ 的函数组成的 $R$-代数, 则有代数同态 $$\begin{array}{rl}\epsilon :R[x_1,\dots ,x_n]& \to \mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}(R^n,R)\\ P& \mapsto \hat{P}.\end{array}$$

Claim 若 $R=F$ 是无限域, 则 $\epsilon :R[x_i]\to \mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}(R^n,R)$ 是单射.

因此, 多项式 $P\in F[x_i]$ 可以与多项式函数认同.

Claim 若整系数多项式 $P\in \mathbb{Z}[x_i]$ 在某特征为零的域上取值恒为零, 则 $P$ 在任意含幺交换环上取值恒为零.

设域 $F$. 矩阵代数 $\mathrm{g}\mathrm{l}(r,F)$ 上的多项式指的是 $r^2$ 个变量的多项式 $P\in F[x_j^i]$. 矩阵群 $\mathrm{G}\mathrm{L}(r,F)$ 可以作用在多项式上: $$(AP)(X)=P(A^{-1}XA),A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(r,F).$$ 多项式 $P\in F[x_j^i]$ 称为 ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\mathrm{G}\mathrm{L}(r,F)}$-不变多项式, 简称不变多项式, 若 $AP=A$ 对任意 $A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(r,F)$. 所有 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,F)$ 上的不变多项式组成的 $F$-代数记作 $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,F))$.

Claim 若 $P$ 是 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,F)$ 上的不变多项式, 则对任意 $F$-含幺代数 $R$ 和矩阵 $X\in R^{r\times r}$, $$P(A^{-1}XA)=P(X),A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(r,F).$$

Claim 设特征为零的域 $F$, 则特征多项式 $$\det (\lambda I+X)={\lambda }^r+f_1(X){\lambda }^{r-1}+\cdots +f_{r-1}(X)\lambda +f_r(X)$$ 的系数 $f_k(X)\in \mathbb{Z}[x_j^i]$ 是 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,F)$ 上的不变多项式.

• 推论: 迹多项式 ${\mathrm{\Sigma }}_k(X):=\mathrm{tr}(X^k)\in \mathbb{Z}[x_j^i]$ 也是 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,F)$ 上的不变多项式.

特别地, 对角矩阵 $X=\mathrm{diag}(t_1,\dots ,t_r)$ 的 $f_k(X)$ 和 ${\mathrm{\Sigma }}_k(X)$ 是关于 $t_i$ 的对称多项式. 关于 $t_1,\dots ,t_r$ 的所有对称多项式组成的 $F$-代数记作 $F[t_1,\dots ,t_r{]}^{S_r}$. 下面的定理表明, 不变多项式与对称多项式一一对应.

Claim 设 $F=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$. 下列映射是一个 $F$-代数同构: $$\begin{array}{rl}\phi :\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,F))& \to F[t_1,\dots ,t_r{]}^{S_r}\\ P(X)& \mapsto \tilde{P}(t_1,\dots ,t_r):=P(\mathrm{diag}(t_1,\dots ,t_r)).\end{array}$$

Pf 复数情形. 证明用到两个事实: 1. 可对角化矩阵在 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{C})$ 中稠密; 2. (对称多项式基本定理) 对称多项式由初等对称多项式 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_r$ 生成, 其中: $${\sigma }_k(t_1,\dots ,t_k):=\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le r}{t}_{i_1}\cdots t_{i_k}.$$ 单射性. 假设 $P(X)$ 在对角阵上取值为零, 根据不变性, $P(X)$ 在可对角化的矩阵上取值为零. 因为可对角化的矩阵是稠密的, 根据 $P(X)$ 的连续性, $P(X)$ 是零函数, 进而也是零多项式.

满射性. 容易看出, $f_k(X)$ 在 $\phi$ 下的像恰好是 ${\sigma }_k$. 根据对称多项式基本定理, $\mathbb{C}[t_i{]}^{S_r}$ 中的任何多项式都是 ${\sigma }_i$ 的多项式 $Q({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_r)$. 于是 $$\begin{array}{rl}Q({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_r)& =Q(\phi (f_1(X)),\dots ,\phi (f_r(X)))\\ & =\phi (Q(f_1(X),\dots ,f_r(X)))\\ & =\phi (P(X))\end{array}$$ 对于 $P(X)=Q(f_1(X),\dots ,f_k(X))\in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{C}))$.

实数情形. 注意到一个事实: 若 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R})$ 上的实多项式 $P(X)$ 在 $\mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R})$ 下不变, 则 $P(X)$ 在 $\mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{C})$ 下也不变. 换言之, $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R}))=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{C}))\cap \mathbb{R}[x_j^i]$. 于是有交换图 $$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{C}))\phi \mathbb{C}[t_i{]}^{S_r}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R})){\phi }_{\mathbb{R}}\bigcup \mathbb{R}[t_i{]}^{S_r}.\bigcup$$ ${\phi }_{\mathbb{R}}$ 的单射性从 $\phi$ 的单射性立刻得出. 满射性和复数情形的证明一样的.

在这个同构下, 特征多项式的系数 $f_k$ 映到初等对称多项式. 因为初等对称多项式能生成 $F[t_1,\dots ,t_k{]}^{S_r}$, 所以 $f_k$ 能生成所以不变多项式.

迹多项式 ${\mathrm{\Sigma }}_k$ 映到幂和多项式 $${\tilde{\mathrm{\Sigma }}}_k(t_1,\dots ,t_k)=\mathrm{tr}(\mathrm{diag}(t_1^k,\dots ,t_r^k))=\sum t_i^k.$$ 根据 Newton 恒等式, 幂和多项式都能也生成 $F[t_1,\dots ,t_k{]}^{S_r}$, 所以 ${\mathrm{\Sigma }}_k$ 也可以生成所有不变多项式.

Claim 设 $F=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$. 矩阵代数 $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,F)$ 上的不变多项式由特征多项式的系数 $f_k(X)$ 或者迹多项式 ${\mathrm{\Sigma }}_k(X)$ 生成: $$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,F))=F[f_1(X),\dots ,f_r(X)]=F[{\mathrm{\Sigma }}_1(X),\dots ,{\mathrm{\Sigma }}_k(X)].$$

21.4 *Forms depending on a real parameter

设单参数微分形式族 $\{{\omega }_t{\}}_{t\in J}$, 开区间 $J\subset \mathbb{R}$. 在坐标系 $U,x^1,\dots ,x^n$ 下, $${\omega }_t=\sum _I{a}_I(x,t)\mathrm{d}{x}^I.$$ 称 ${\omega }_t$ 光滑依赖于 $t$, 若对于任意坐标系, $a_I(x,t)$ 在 $U\times J$ 上都是光滑的. 逐点定义 ${\omega }_t$ 的导数和积分: $$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\mathrm{d}{\omega }_t}{\mathrm{d}t}\right)}_p& :=\frac{\mathrm{d}{\omega }_{t,p}}{\mathrm{d}t},\\ {\left({\int }_a^b{\omega }_t\mathrm{d}t\right)}_p& :={\int }_a^b{\omega }_{t,p}\mathrm{d}t.\end{array}$$ 在局部坐标 $U,x^1,\dots ,x^n$ 下, $$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\omega }_t& =\sum _I\frac{\partial a_I}{\partial t}(x,t)\mathrm{d}{x}^I,\\ {\int }_a^b{\omega }_t& =\sum _I({\int }_a^b{a}_I(x,t)\mathrm{d}t)\mathrm{d}{x}^I.\end{array}$$ 为了简便, 可以记 $\mathrm{d}{\omega }_t/\mathrm{d}t={\dot{\omega }}_t$.

Claim 设 $\omega ,\tau$ 是光滑地依赖于参数 $t\in J$ 的矩阵值微分形式, 且 $\omega \wedge \tau$ 有意义 (即 $\omega$ 的列数等于 $\tau$ 的行数).

1. 若 $\omega$ 是方阵, $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathrm{tr}\omega )=\mathrm{tr}\left(\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}\right).$$

2. (Leibniz 律) $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\omega \wedge \tau )=\dot{\omega }\wedge \tau +\omega \wedge \dot{\tau }.$$

3. (求导和外微分可交换) $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathrm{d}\omega \right)=\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}\right).$$

4. (积分和外微分可交换) $${\int }_a^b\mathrm{d}\omega \mathrm{d}t=\mathrm{d}\left({\int }_a^b\omega \mathrm{d}t\right).$$

Pf 1, 2, 3 都是很直接的, 下面证明 4. 在坐标系 $U,x^1,\dots ,x^n$ 下, $$\begin{array}{rlrl}\omega & =\sum _I{a}_I\mathrm{d}{x}^I,& \mathrm{d}\omega & =\sum _{I,j}\frac{\partial a_I}{\partial x^j}\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^I,\end{array}$$ 于是一方面 $${\int }_a^b(\mathrm{d}\omega )\mathrm{d}t=\sum _{I,j}\left({\int }_a^b\frac{\partial a_I}{\partial x^j}\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^I,$$ 另一方面 $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\left({\int }_a^b\omega \mathrm{d}t\right)& =\sum _I\mathrm{d}\left(\left({\int }_a^b{a}_I\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}{x}^I\right)\\ & =\sum _I\frac{\partial }{\partial x^j}\left({\int }_a^b{a}_I\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^I.\end{array}$$ 因为 $a_I$ 和 $\partial a_I/\partial x^j$ 都在 $U\times [a,b]$ 上连续, 所以上面的偏导数和定积分可以交换顺序, 说明左右两边相等.