GTM275 | 9 向量丛与示性类
GTM275 (Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes) 第 24-26 节的笔记.
22 Pontrjagin Classes
22.1 Vanishing of characteristic classes
我们知道, 黎曼丛 \(E\to M\) 的黎曼联络 \(\nabla\) 在正交归一标架下的曲率矩阵 \(\Omega\) 是反对称的: \(\Omega^i_j+\Omega^j_i=0\). 通过一些简单的观察可以得出: 对于奇数 \(k\), \[ \tr(\Omega^k)=0. \] 因为 \(\tr(X^k)\) 是 \({\frak gl}(r,\R)\) 上的不变多项式, 所以在任意标架 (不论是否正交归一) 下都有 \(\tr(\Omega^k)=0\). 又因为上同调类 \([\tr(\Omega^k)]\) 不依赖于联络的选取 (不论是否与度量相容), 所以在总有 \([\tr(\Omega^k)]=0\). 这一事实不依赖 \(E\) 上的黎曼结构.
Claim 22.1 设不变多项式 \(P(X)\in{\rm Inv}({\frak gl}(r,\R))\) 是齐次的, 且 \(\deg{P}\) 为奇数, 则对向量丛 \(E\to M\) 上的任意联络 \(\nabla\), 上同调类 \([P(\Omega)]=0\).
Pf 因为不变多项式由迹多项式生成, 所以 \(P(X)\) 的每一个单项式都是 \[ \Sigma_1^{i_1}\cdots\Sigma_r^{i_r} \] 的倍数. 因为 \(P(X)\) 是奇数次齐次的, 所以单项式中必含有奇数次因子 \(\Sigma_j^{i_j}\) (\(j\) 为奇数). 根据前面的讨论, 有 \[ [\Sigma_j^{i_j}(\Omega)] = [\tr\Omega^j]^{i_j} = 0 \] 对任意联络成立, 得到 \([P(\Omega)]=0\).
22.2 Pontrjagin Classes
由 Claim 22.1, 对于奇数 \(1\leq k\leq r\), 迹多项式 \(\Sigma_k(\Omega)\) 和特征多项式系数 \(f_k(\Omega)\) 都是零. 因此 \(E\) 的示性类只剩下偶数次的生成元: \[ \Align{ [\tr(\Omega^2)],[\tr(\Omega^4)],[\tr(\Omega^6)],\dots \quad\textsf{以及}\quad [f_2(\Omega)],[f_4(\Omega)],[f_6(\Omega)],\dots } \] 定义第 \(k\) Pontrjagin 类为 \[ p_k(E) := \bqty{ f_{2k}\pqty{\frac{\i}{2\pi}\Omega} } \in H^{4k}(M). \]
- 因为 \(f_{2k}\) 是偶数次齐次的, 所以 \(\i\) 会消掉.
- \(M\) 上的一个闭形式 \(\omega\) 称为整形式(integral form), 若对任意紧致定向子流形 \(S\), \(\int_S\omega\) 是整数. Pontrjagin 类定义中的 \(2\pi\) 保证了 \(p_k(E)\) 是整形式.
- 多项式 \(p_k(X):=f_{2k}(\i/2\pi \cdot X)=(-1)^k(2\pi)^{-2k}f_{2k}(X)\) 称为第 \(k\) 个 Pontrjagin 多项式.
可以将所有 Pontrjagin 类写在一个公式里: \[ \det\!\pqty{\lambda I + \frac{\i}{2\pi}\Omega} = \lambda^r + p_1(\Omega)\lambda^{r-2} + \dots + p_{[r/2]}(\Omega)\lambda^{r-2[r/2]}, \] 其中 \([r/2]\) 表示不超过 \(r/2\) 的最大整数. 令 \(\lambda=1\), 有 \[ \det\!\pqty{I + \frac{\i}{2\pi}\Omega} = 1 + p_1(\Omega) + \dots + p_{[r/2]}(\Omega), \] 称 \([\det(I+\i/2\pi\cdot\Omega)]\) 为总 Pontrjagin 类(total Pontrjagin class), 记作 \(p(E)\).
设 \(4m\) 维紧致定向流形 \(M\) 上的秩 \(r\) 向量丛. 若形式 \(p_1^{a_1}(\Omega)\cdots p_{[r/2]}^{a_{[r/2]}}(\Omega)\) 的次数 \[ 4\pqty{ a_1+2a_2+\dots+\bqty{\frac{r}{2}}a_{[r/2]} } = 4m, \] 则它可以在 \(M\) 上积分, \[ \int_M p_1^{a_1}(\Omega)\cdots p_{[r/2]}^{a_{[r/2]}}(\Omega) \] 称为 \(E\) 的 Pontrjagin 数. 流形 \(M\) 的 Pontrjagin 数定义为其切丛 \(TM\) 的 Pontrjagin 数.
- 实际上, Pontrjagin 数不光是流形的微分同胚不变量, 还是拓扑不变量.
22.3 The Whitney product formula
Claim 22.2 (Whitney 乘积公式) 设 \(M\) 上的向量丛 \(E',E''\), 则 \[ p(E'\otimes E'')=p(E')p(E''). \]
Pf 设 \(E',E''\) 上的联络 \(\nabla',\nabla''\), 它们的直和 \(\nabla:=\nabla'\oplus\nabla''\) 定义了 \(E:=E'\oplus E''\) 上的联络: \[ \nabla_X\pmqty{s'\\s''}=\pmqty{\nabla'_Xs'\\\nabla''_Xs''}, \quad X\in\Gamma(TM),s'\in\Gamma(E'),s''\in\Gamma(E''), \] 容易验证 \(\nabla\) 满足联络的定义. 设开集 \(U\) 上有 \(E',E''\) 的标架 \(e',e''\), 则 \(e=[e',e'']\) 是 \(E\) 的标架. 此时 \(\nabla\) 联络和曲率矩阵是 \[ \Align{ \omega &= \omega'\oplus\omega'' \\ \Omega &= \dd\omega+\omega\wedge\omega = \Omega'\oplus\Omega''. } \] 其中 \(A\oplus B:=\diag(A,B)\). 于是 \(p(E)\) 的 Pontrjagin 类 \[ \Align{ p(E'\oplus E'') &= \det\!\pqty{I + \frac\i{2\pi}\pqty{\Omega'\oplus\Omega''}} \\ &= \det\!\pqty{\pqty{I + \frac\i{2\pi}\Omega'}\oplus \pqty{I + \frac\i{2\pi}\Omega''}} \\ &= p(E')p(E''). } \]
23 The Euler Class
23.1 Oriented vector bundles
可定向向量丛.
秩 \(r\) 向量丛 \(E\to M\) 的一个定向(orientation)指的是处处不为零的光滑截面 \(s\in\Gamma\pqty{\bigwedge\nolimits^rE}\) 的等价类. 两个这样的截面 \(s,s'\) 是等价的, 当且仅当存在函数 \(f>0\), 使 \(s'=fs\). 一个拥有定向的向量丛称为可定向的(orientable).
因为 \(\bigwedge^rE\) 的秩为 \(1\), 所以处处不为零的光滑截面 \(s\) 就是 \(\bigwedge^rE\) 的一个标架. 向量丛存在整体标架当且仅当它是平凡丛. 所以 \(E\) 可定向当且仅当 \(\bigwedge^rE\) 是平凡丛.
根据流形定向的定义, \(M\) 的定向就是切丛 \(TM\) 的定向, \(M\) 可定向当且仅当切丛可定向.
可定向向量丛上的整体形式.
在一个黎曼丛 \(E\) 上, 对光滑标架应用 Gram-Schmidt 正交化, 可以得到光滑的正交归一标架. 于是, 存在平凡化开覆盖 \(\{(U,e)\}\), 使得每个标架都是正交归一的. 正交归一标架的变换矩阵是正交阵. 因此, 要定义一个整体形式 \(P(\Omega)\), 只需要考虑 \(\operatorname{Ad}_{{\rm O}(r)}\)-不变多项式 \(P(X)\).
特别地, 若黎曼丛 \(E\) 可定向, 则标架变换矩阵是特殊正交阵, 因此只需要考虑 \(\operatorname{Ad}_{{\rm SO}(r)}\)-不变多项式: \[ P(X)=P(A^{-1}XA)=P(A\T XA),\quad\forall A\in{\rm SO}(r). \] 注意到 \(\Omega\) 在正交归一标架下是反对称的, 所以 \(P(X)\) 只需要在 \({\frak so}(r)\) (所有 \(r\times r\) 反对称矩阵) 上有定义. 显然 \({\frak gl}(r,\R)\) 上的所有 \(\operatorname{Ad}_{{\rm GL}(r,\R)}\)-不变多项式都是 \({\frak so}(r)\) 上的 \(\operatorname{Ad}_{{\rm SO}(n)}\)-不变多项式, 我们感兴趣的问题是, \({\frak so}(r)\) 上的 \(\operatorname{Ad}_{{\rm SO}(n)}\)-不变多项式包含了哪些额外的多项式?
实际上, 当 \(r\) 是奇数时, \({\rm Inv}({\frak so}(r))={\rm Inv}({\frak gl}(r,\R))\). 当 \(r\) 是偶数时, \({\rm Inv}({\frak so}(r))\) 有一个额外的生成元, 称为 Pfaff 多项式.
23.2 The Pfaffian of a skew-symmetric matrix
两个 \(r\times r\) 矩阵 \(X,Y\) 称为合同的(congruent), 若存在 \(A\in{\rm GL}(r,F)\), 使得 \(Y=A\T XA\). 根据线性代数的理论, 任意反对称矩阵 \(X\in{\frak so}(r)\) 合同于标准型 \[ A\T XA=\diag(S,\dots,S,0,\dots,0), \quad S:=\pmqty{0&1\\-1&0}. \] 因此 \(X\) 的秩是偶数; 如果 \(X\) 可逆, 则 \(r\) 是偶数. 此外, \[ (\det{A})^2\det{X} = \det(A\T XA) = (\det S)\cdots(\det S)=1, \] 因此 \(\det{X}\) 是一个完全平方 \((1/\det{A})^2\in F\).
Claim 23.1 设 \(X=[x^i_j]\) 是 \(2m\) 阶反对称不定元矩阵, 则 \(\det(X)\in\Z[x^i_j]\) 是完全平方式.
Pf 设 \(Q(x^i_j)\) 为在 \(\Q\) 中添加 \(x^i_j\) 所生成的域. 因为存在 \(x^i_j\in\Z\) 使得 \(\det(X)\neq0\), 因此 \(\det(X)\in\Z[x^i_j]\) 不是零多项式, 进而 \(\det(X)\) 作为 \(Q(x^i_j)\) 上的矩阵是可逆的[?]. 根据前面的讨论, 存在矩阵 \(A\in{\rm GL}(2m,\Q(x^i_j))\), 满足 \[ \det{X}=\pqty{\frac1{\det{A}}}^2\in\Q(x^i_j). \] 这说明 \(\det{X}\) 是 \(\Q(x^i_j)\) 中的完全平方. 假设 \[ \det{X}=\pqty{\frac{p(x)}{q(x)}}^2, \] 其中 \(p(x),q(x)\in\Z[x^i_j]\) 互素, 则 \[ q(x)^2\det{X}=p(x)^2, \] 因为 \(\Z[x^i_j]\) 是唯一分解整环, 所以 \(p(x)\) 可除 \(q(x)\), 然而 \(p(x),q(x)\) 互素, 只能有 \(q(x)=\pm1\). 因此 \(\det{X}=p(x)^2\).
一个 \(2m\) 阶反对称矩阵 \(X\) 的 Pfaffian, 记作 \(\operatorname{Pf}(X)\), 定义为行列式的平方根: \[ \det(X)=(\operatorname{Pf}(X))^2. \] 多项式 \(\operatorname{Pf}(X)\in\Z[x^i_j]\) 称为一个 Pfaff 多项式, 是 \({\frak so}(2m)\) 上的一个 \(m\) 次齐次多项式. 需要注意的是, 多项式 \(\det(X)\) 的平方根有两个, 我们附加一个额外条件: \[ \operatorname{Pf}(J_{2m})=1,\quad J_{2m}:=\diag(S,\dots,S). \]
Claim 23.2 设不定元矩阵 \(A=[a^i_j]\in{\frak gl}(2m,\R)\), \(X=[x^i_j]\in{\frak s0}(2m)\), 则 \[ \operatorname{Pf}(A\T XA)=\det(A)\operatorname{Pf}(X). \]
Pf 根据行列式的性质, \[ \det(A\T XA)=(\det{A})^2\det{X}. \] 因为 \(A\T XA\) 和 \(X\) 反对称, 上式等价于 \[ (\operatorname{Pf}(A\T XA))^2=(\det{A})^2(\det{X})^2, \] 即 \[ \operatorname{Pf}(A\T XA)=\pm\det(A)\operatorname{Pf}(X). \] 因为 \(\operatorname{Pf}(A\T XA)\) 和 \(\det(A)\operatorname{Pf}(X)\) 都是 \(\Z[a^i_j,x^i_j]\) 中的多项式, 让他们在同一处取值即可确定符号. 实际上, 令 \(A=I_{2m}\), \(X=J_{2m}\), 可以确定右边取正号.
命题中, 若 \(A\) 是正交阵, 则 \(\det{A}=1\), 有 \(\operatorname{Pf}(A\T XA)=\operatorname{Pf}(X)\). 因此, Pfaff 多项式是 \({\frak so}(2m)\) 上的 \(\operatorname{Ad}_{{\rm SO}(2m)}\)-不变多项式.
23.3 The Euler class
设秩 \(r=2m\) 的可定向向量丛 \(E\to M\). 在正交归一标架下, 度量联络 \(\nabla\) 的曲率矩阵 \(\Omega\) 是 \(2m\) 阶反对称矩阵. 在标架变换 \(a\in\Omega^0(U,{\rm SO}(2m))\) 下, \[ \operatorname{Pf}(\bar\Omega) = \operatorname{Pf}(a\T\Omega a) = \det(a)\operatorname{Pf}(\Omega) = \operatorname{Pf}(\Omega), \] 所以 \(\operatorname{Pf}(\Omega)\) 不依赖正交归一标架的选择, 是一个整体定义的 \(2m\)-形式.
还可以证明, \(\operatorname{Pf}(\Omega)\) 是闭形式, 且 \([\operatorname{Pf}(\Omega)]\in H^{2m}(M)\) 不依赖联络的选取. 我们在之后会证明推广的情形. 定义黎曼丛 \(E\) 的 Euler 类为 \[ e(E) := \bqty{\operatorname{Pf}\pqty{\frac{1}{2\pi}\Omega}} = \bqty{(2\pi)^{-m}\operatorname{Pf}(\Omega)}. \] 推广的 Gauss-Bonnet 定理表明, Euler 数就是 Euler 类在流形上的积分.
Claim 23.3 (推广的 Gauss-Bonnet 定理) 设 \(M\) 是 \(2m\) 维紧致可定向黎曼流形, 切丛 \(TM\) 的曲率矩阵 \(\Omega\), 则 \[ \int_M e(TM) = \chi(M). \]
24 Chern Classes
24.1 Complex vector bundles
Chern 类可以认为是复向量丛上的 Pontrjagin 类.
光滑流形 \(M\) 上的复向量丛(complex vector bundle)指的是以 \(\C^r\) 为纤维, 局部微分同胚于 \(U\times\C^r\) 的向量丛.
- 一个实向量丛 \(E\) 可以构造出一个复向量丛 \(E\otimes\C\), 称为 \(E\) 的复化(complexification), 其中每一点的纤维 \(E_p\otimes_\R\C\) 上有 \(\C\)-数量乘法结构 \(w(v\otimes z)=v\otimes(zw)\).
- 复流形(complex manifold)指的是第二可数的, Hausdorff 的, 局部同胚于 \(\C^n\) 的, 并且转移函数是全纯函数的拓扑流形, 称 \(n\) 是 \(M\) 的复维数. 复流形 \(M\) 显然也具有光滑流形结构, 它的实维数是 \(2n\).
- 复流形 \(M\) 的切丛 \(TM\) 具有复向量丛结构, 并且投射 \(\pi:TM\to M\) 是全纯的. 称这样的向量丛是全纯向量丛(holomorphic vector bundle).
和流形上的实向量丛一样, 每个复向量丛上都存在 Hermit 度量(Hermitian metric), 即光滑的复内积场 \(p\mapsto\lr{\cdot,\cdot}_p\).
复向量丛 \(E\) 上的联络指的是 \(\R\)-双线性映射 \(\nabla:\Gamma(TM)\times\Gamma(E)\to\Gamma(E)\) 满足对第一个分量的 \({\cal F}\)-线性性和对第二个分量的 \(\C\)-线性性. 任意复向量丛上都存在联络. 一个与 Hermit 度量相容的联络指的是满足下式的联络 \(\nabla\): \[ X\lr{s,t}=\lr{\nabla_Xs,t}+\lr{s,\nabla_Xt}, \quad\forall X\in\Gamma(TM),s,t\in\Gamma(E). \] 联络 \(\nabla\) 的曲率的定义和实向量丛完全相同.
在标架 \((U,e)\) 下, \(\nabla\) 的联络形式是复值微分形式 \(\omega^i_j\in\Omega^1(U,\C)\), \[ \nabla_Xe_j = \sum_{i=1}^r\omega^i_j(X)e_i,\quad \nabla e=e\omega. \] 曲率形式 \(\Omega^i_j\in\Omega^2(U,\C)\), \[ R(X,Y)e_j=\sum_{i=1}^r\Omega^i_j(X,Y) e_i,\quad R(e)=e\Omega, \] 满足结构方程 \(\Omega=\dd\omega+\omega\wedge\omega\), 且有标架变换律 \(\bar\Omega=a^{-1}\Omega a\), \(a\in\Omega^0(U,{\rm GL}(r,\C))\).
24.2 Chern classes
若 \({\frak gl}(r,\C)\) 上的多项式 \(Q(X)\) 是 \(\operatorname{Ad}_{{\rm GL}(r,\C)}\)-不变的, 则 \(Q(\Omega)\) 定义了 \(M\) 上的整体形式. 能够证明 \(Q(\Omega)\) 是闭形式且它的 de Rham 上同调类不依赖联络的选取. 取 \(Q(X)=\det(I+\i/2\pi\cdot X)\), \[ Q(\Omega) =\det\pqty{I+\frac\i{2\pi}\Omega} =1+c_1(\Omega)+\dots+c_r(\Omega), \] 其中 \([Q(\Omega)]\) 为总 Chern 类, \(c_i(E):=[c_i(\Omega)]\) 称为第 \(k\) Chern 类.
设复维数 \(n\) 的复流形 \(M\), 切丛 \(TM\) 有 Chern 类 \(c_i(\Omega)\). 若 \(c_1^{i_1}(\Omega)\cdots c_n^{i_n}(\Omega)\) 的次数是 \(2(i_1+\dots+i_n)\). 若这个数等于实维数 \(2n\), 则积分 \[ \int_M c_i^{i_1}(\Omega)\cdots c_n^{i_n}(\Omega) \] 称为 \(M\) 的 Chern 数. Chern 数是复流形的拓扑不变量.
25 Some Applications
25.1 The cobordism problem
定向流形 \(M_1,M_2\) 称为(定向)配边的(cobordant), 若存在定向带边流形 \(N\), 使得 \[ \partial{N}=M_1\sqcup(-M_2), \] 其中 \(-M_2\) 表示具有相反定向的 \(M_2\). 定向流形是另一个流形的边界, 当且仅当它与空集配边. 定向配边是定向流形间的等价关系.
Pontrjagin 数给出了流形配边的一个必要条件.
Claim 25.1 若 \(4n\) 维紧致定向流形 \(M\) 与空集配边, 则 \(M\) 的所有 Pontrjagin 数为零.
Pf 设 \(M=\partial{N}\), \(p_1^{i_1}\cdots p_n^{i_n}\) 次数是 \(4n\), 根据 Stokes 定理, \[ \Align{ \int_M p_1^{i_1}\cdots p_n^{i_n} &= \int_{\partial{N}}p_1^{i_1}\cdots p_n^{i_n} \\ &= \int_{N}\dd(p_1^{i_1}\cdots p_n^{i_n}) \\ &= 0. } \]
Claim 25.2 (Pontrjagin 数是配边不变量) 若紧致定向流形 \(M_1,M_2\) 配边, 则它们的 Pontrjagin 数相等.
Pf 设 \(M_1\sqcup(-M_2)=\partial{N}\), 由 Claim 25.1, \(\int_{M_1\sqcup(-M_2)}p_1^{i_1}\cdots p_n^{i_n}=0\), 即 \[ \int_{M_1}p_1^{i_1}\cdots p_n^{i_n}= \int_{M_2}p_1^{i_1}\cdots p_n^{i_n}. \]
25.2 The embedding problem
Whitney 嵌入定理表明, \(n\) 维光滑流形 \(M\) 可以嵌入 \(\R^{2n+1}\). 在某些情况下, 这个维数是可以改进的.
Claim 25.3 若紧致 \(4n\) 维流形 \(M\) 可以作为超曲面嵌入 \(\R^{4n+1}\), 则 \(M\) 的所有 Pontrjagin 类为零.
Pf 设嵌入 \(i:M\hookrightarrow\R^{4n+1}\). 因为 \(M\) 可定向, \(M\) 有外向单位法向量场 于是 \(i(M)\) 的法丛 \(N\) 平凡. 根据光滑向量丛的短正合列 \[ 0\to TM \to T\R^{4n+1}|_{i(M)}\to N\to 0, \] 有直和 \[ T\R^{4n+1}|_{i(M)} \cong TM \oplus N. \] 根据 Whitney 乘积公式, \[ 1= p(T\R^{4n+1}|_{i(M)}) = p(TM)p(N) = p(TM) \] 即 \(TM\) 的 Pontrjagin 类平凡.