GTM275 | 7 代数与拓扑工具

GTM275 (Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes) 第 20-21 节的笔记.

18 Operations on Vector Bundles

18.1 Vector subbundles

光滑向量丛 \(E\to M\) 的一个光滑子向量丛(smooth vector subbundle)指的是满足下面条件的光滑向量丛 \(\rho:F\to M\):

1. \(F\) 是 \(E\) 的正则子流形.
2. 包含映射 \(i:F\to E\) 是丛同态.

设向量丛 \(E\to M\). 开集 \(U\subset M\) 上的一个 \(k\)-标架(\(k\)-frame) 指的是 \(k\) 个截面 \(s_1,\dots,s_k\in\Gamma(U,E)\), 满足对于任意一点 \(p\in U\), 向量 \(s_1(p),\dots,s_k(p)\in E_p\) 线性无关. 若 \(E\) 的秩为 \(r\), 我们说 \(E\) 的标架, 指的都是秩为 \(r\) 的标架.

Claim 18.1 设秩 \(r\) 的向量丛 \(E\to M\), \(p\in M\), \(U\) 为 \(p\) 的邻域, 则 \(U\) 上的 \(k\)-标架可以拓展为 \(p\) 的邻域 \(V\) (可能比 \(U\) 更小) 上一个 \(r\)-标架.

Pf 设 \(p\) 的邻域 \(V\) (\(V\subset U\)) 上有标架 \(e_1,\dots,e_r\), 于是 \(s_j=\sum a^i_je_i\), 其中 \(a^i_j\in C^\infty(V)\). 用矩阵乘法写出来就是 \[ (s_1,\dots,s_k) = (e_1,\dots,e_r)(a^i_j), \] 其中 \(a=[a^i_j]\) 是秩为 \(k\) 的 \(n\times k\) 矩阵. 对 \(a\) 的行进行重排 (即重拍 \(e_1,\dots,e_r\)), 总可以使 \(a\) 前 \(k\) 行 \(k\) 列组成的 \(k\times k\) 矩阵 \(a'\) 是满秩的. 将 \(a=\pmqty{a'\\ *}\) 拓展成一个满秩的 \(r\times r\) 矩阵: \[ b = \pmqty{ a' & 0 \\ * & I }. \] (其中 \(I\) 为 \(r-k\) 阶单位阵) 于是 \[ [s_1,\dots,s_k,e_{k+1},\dots,e_r] = [e_1,\dots,e_r]b, \] 所以 \(s_1,\dots,s_k,e_{k+1},\dots,e_r\) 作为光滑标架 \(e_1,\dots,e_r\) 的线性函数, 是 \(V\) 上的光滑标架.

一个向量丛一族线性空间 \(\{E_p\}_{p\in M}\), 并且满足局部平凡的条件. 下面的定理告诉我们, 这样的 \(\{E_p\}_{p\in M}\) 何时是局部平凡的.

Claim 18.2 设秩 \(r\) 的向量丛 \(E\to M\), 一族线性空间 \(\{F_p\}_{p\in M}\) 满足 \(F_p\) 是 \(E_p\) 的 \(k\) 维子空间. 若对任意 \(p\in M\), 在 \(p\) 的某邻域 \(U\) 上存在 \(m\geq k\) 个光滑截面 \(s_1,\dots,s_m\in\Gamma(U,E)\), 使得 \[ F_q = \operatorname{span}(s_1(q),\dots,s_m(q)),\quad\forall q\in U, \] 则 \(F:=\coprod_{p\in M} F_p\) 是 \(E\) 的光滑子丛.

Pf 回顾正则子流形的定义: \(E\) 的子集 \(F\) 称为正则子流形, 若对任意 \(p\in F\), 存在 \(E\) 的坐标系 (称为适配坐标系) \((U,x^1,\dots,x^r)\), 使得 \(F\cap U\) 由坐标函数的零点集 \(x^{k+1}=\cdots=x^r=0\) 给出. 要证明 \(F\) 是一个子丛, 我们就要从 \(s_1,\dots,s_m\) 构造出 \(F\) 的平凡化映射和 \(E\) 的适配坐标系.

首先找到 \(s_1,\dots,s_m\) 的一个 "极大线性无关组". 设在邻域 \(V\) (\(p\in V\subset U\)) 有标架 \(e_1,\dots,e_r\), 则 \[ (s_1,\dots,s_m)=(e_1,\dots,e_r)(a^i_j), \] 其中 \((a^i_j)\) 为 \(r\times m\) 矩阵. 因为 \(s_1,\dots,s_m\) 在 \(V\) 中处处有秩 \(k\), 所以存在 \(a=(a^i_j)\) 的一个 \(k\times k\) 满秩子矩阵 \(a'\). 重排 \(s\) 和 \(e\), 不妨设 \(a'\) 在 \(a\) 的左上角, 此时 \(s_1,\dots,s_k\) 是线性无关的, 可以线性表出 \(s_1,\dots,s_m\).

因为 \(s_1,\dots,s_k\) 为一个 \(k\) 标架, 可以将其在邻域 \(V'\) (\(p\in V'\subset V\)) 上拓展为 \(r\) 标架 \(t_1,\dots,t_r\), 其中 \(s_i=t_i\) (\(1\leq i\leq k\)). 任给 \(v\in E|_{V'}\), 设 \(v=\sum_{i=1}^r c^i(v)t_i(\pi(v))\), 则 \(c^i\) 为 \(E|_{V'}\) 上的光滑函数.

因此, \(c^i\) 和 \(V'\) (或某更小邻域) 的局部坐标合起来就构成了 \(E|_{V'}\) 的局部坐标, 而 \(F|_{V'}\) 恰好由 \[ c^{k+1}=0,\quad\cdots,\quad c^r=0 \] 给出, 所以 \(F\) 是 \(E\) 的正则子流形. 此外, \[ \Align{ \phi_{V'}: E|_{V'} &\to V'\times\R^r, \\ v &\mapsto (\pi(v),c^1(v),\dots,c^r(v)), } \] 给出了 \(E\) 的平凡化, 这诱导出 \(F\) 的平凡化 \[ \Align{ \psi_{V'}: F|_{V'} &\to V'\times\R^k, \\ v &\mapsto (\pi(v),c^1(v),\dots,c^k(v)), } \] 于是 \(F\) 是一个秩 \(k\) 的向量丛. 包含映射 \(i:F\hookrightarrow E\) 局部形式为 \[ \Align{ V\times\R^k &\to V'\times\R^r, \\ (p,c^1,\dots,c^k) &\mapsto (p,c^1,\dots,c^k,0,\dots,0), } \] 这显然是一个丛同态. 综上, \(F\) 是 \(E\) 的子丛.

18.2 Quotient bundles

设光滑向量丛 \(\pi:E\to M\) 的子丛 \(F\to M\). 在任意一点 \(p\in M\), 我们能构造商空间 \(Q_p:=E_p/F_p\), 令 \[ Q:=\coprod_{p\in M}Q_p=\coprod_{p\in M}E_p/F_p, \] 并给予 \(Q\) 商拓扑. 设商映射 \(\rho:E\to Q\), 根据商的泛性质, 映射 \(\pi:E\to M\) 唯一地诱导出映射 \(\pi_Q:Q\to M\) 使得下图交换: \[ \xymatrix{ E \ar[r]^{\rho} \ar[dr]_{\pi} & Q \ar@{.>}[d]^{\pi_Q} \\ & M. } \]

• 商映射 (典范投影) 的泛性质: 设集合 \(X\) 上的等价关系 \(\sim\), 典范投影 \(\rho:X\twoheadrightarrow X/{\sim}\), 任给映射 \(f:X\to Z\) 满足 \[ x\sim y\Rightarrow f(x)=f(y), \] 则 \(f\) factors uniquely through \(\pi\), 即存在唯一 \(\tilde{f}:X/{\sim}\to Z\), 使得 \(f=\tilde{f}\circ\rho\).

• 若 \(X\) 为拓扑空间, 且 \(X/{\sim}\) 有商拓扑, 则诱导出的商映射 \(\tilde{f}:X/{\sim}\to Y\) 为连续的, 当且仅当 \(f:X\to Z\) 是连续的.

因为 \(F\) 局部平凡, 所以任给一点 \(p\in M\), 存在邻域 \(U\) 使得 \(U\) 上有 \(F\) 的标架 \(s_1,\dots,s_k\). 将其在邻域 \(V\subset U\) 上扩展成 \(E\) 的标架 \(s_1,\dots,s_k,\dots,s_r\), 则向量 \(v\in E|_W\) 可以唯一地写作 \[ v=\sum c^i(v)s_i(\pi(v)), \] 其中 \(c^i\) 为光滑函数. 设商截面 \(\bar{s}_{k+1},\dots,\bar{s}_r:W\to Q\), \[ \bar{s}_i = \rho \circ s_i, \] 则 \(\bar{s}_{k+1},\dots,\bar{s}_r\) 是 \(Q|_W:=\pi_Q^{-1}(W)\) 的连续标架, 向量 \(\bar{v}\in Q|_W\) 可以唯一地写作 \[ \bar{v} = \sum \bar{c}^i(\bar{v})\bar{s}_i(\pi_Q(\bar{v})), \] 其中 \(\bar{c}^i\circ\rho=c^i\), 于是 \(\bar{c}^i\) 是连续的. 因此, 我们可以得到一个连续映射 \[ \Align{ \phi_W:Q|_W &\to W\times\R^{r-k}, \\ \bar{v} &\mapsto (\pi_Q(\bar{v}), \bar{c}^{k+1}(\bar{v}),\dots,\bar{c}^r(\bar{v})) } \] 且其逆映射 \[ \phi_W^{-1}(p,\bar{c}^{k+1},\dots,\bar{c}^r) = \sum \bar{c}^i \bar{s}_i(p) \] 也是连续的, 所以 \(\phi_W\) 是同胚. 这便给出了 \(Q\) 上的流形结构和向量丛结构, 称 \(\pi_Q:Q\to M\) 为 \(E\) 关于 \(F\) 的商丛(quotient bundle).

18.3 Transition functions

先补充一些内容. 和流形相似, 向量丛也有转换函数. 设以 \(V\) 为纤维的向量丛 \(\pi:E\to M\), 平凡化开覆盖 \(\{U_\alpha\}\). 任意两个平凡化 \[ \Align{ \phi_\alpha: E|_{U_\alpha} &\overset\sim\to U_\alpha\times V, & \phi_\beta: E|_{U_\beta} &\overset\sim\to U_\beta\times V, \\ e &\mapsto (\pi(e),\bar\phi_\alpha(e)), & e &\mapsto (\pi(e),\bar\phi_\beta(e)), } \] 其中 \(\phi_\alpha\) 在纤维 \(E_p\) 上的限制 \(\bar\phi_{\alpha,p}:E_p\to\{p\}\times V\) 是线性同构.

若 \(U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset\), \[ \Align{ \phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}: (U_\alpha\cap U_\beta)\times V &\to (U_\alpha\cap U_\beta)\times V \\ (p,v) &\mapsto (p,g_{\alpha\beta}(p)v), } \] 其中 \[ g_{\alpha\beta}(p) = \bar\phi_{\alpha,p}\circ\bar\phi_{\beta,p}^{-1} \in{\rm GL}(V) \] 称 \(g_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to{\rm GL}(V)\) 为转换函数(transition function). 容易证明, 转换函数有如下性质:

1. \(g_{\alpha\alpha}(p)={\rm id}_V\).
2. \(g_{\alpha\beta}(p)\circ g_{\beta\gamma}(p)\circ g_{\gamma\alpha}(p) ={\rm id}_V\). 特别地, \(g_{\alpha\beta}(p)^{-1}=g_{\beta\alpha}(p)\).

18.4 The pullback bundle

若有光滑向量丛 \(\pi:E\to M\), 光滑映射 \(f:N\to M\), 那么我们能定义出一个向量丛 \(f^*E\to N\), 称为 \(E\) 在 \(f\) 下的拉回丛(pullback bundle), 满足的泛性质是任意覆盖 \(f\) 的丛映射通过 \(f^*E\) 有唯一分解.

拉回丛的总空间定义为 \[ f^*E := \{ (n,e)\in N\times E \mid f(n)=\pi(e) \} \] 并赋予 \(N\times E\) 的子空间拓扑. 两个典范投射 \[ \Align{ \eta:f^*E &\to N, & \zeta: f^*E &\to E, \\ \eta(n,e) &= n, & \zeta(n,e) &= e, } \] 能够放入交换图 \[ \xymatrix{ f^*E \ar[r]^{\zeta} \ar[d]_{\eta} & E \ar[d]^{\pi} \\ N \ar[r]_{f} & M. } \] 我们将证明 \(\eta:f^*E\to N\) 是一个光滑向量丛.

一方面, \(f^*E\) 在 \(n\) 处的纤维 \[ \eta^{-1}(n) = \{(n,e)\in N\times E\mid\pi(e)=f(n)\} = \{n\} \times E_{f(n)} \] 就是 \(E\) 在 \(f(n)\) 处的纤维.

另一方面, 若 \(\{U_\alpha\}\) 是 \(M\) 的一个开覆盖, 则根据 \(f\) 的连续性, \(\{f^{-1}(U_\alpha)\}\) 是 \(N\) 的一个开覆盖. 取 \(\pi:E\to M\) 的平凡化 \[ \Align{ \phi_\alpha: E|_{U_\alpha} &\overset\sim\to U_\alpha\times V, \\ e &\mapsto (\pi(e),\bar\phi_\alpha(e)), } \] 不难证明, 对任意开集 \(U\subset M\), 有 \((f^*E)|_{f^{-1}(U)} = f^*(E|_{U})\). 于是我们断言, \[ \Align{ \psi_\alpha: (f^*E)|_{f^{-1}(U_\alpha)}=f^*(E|_{U_\alpha}) &\overset\sim\to f^{-1}(U_\alpha)\times V, \\ (n,e) &\mapsto (n,\bar\phi_\alpha(e)), } \] 是 \(\eta:f^*E\to N\) 的一个平凡化. 这是因为 \(\psi_\alpha\) 连续, 且逆映射 \[ \psi_\alpha^{-1}(n,v) = (n, \bar\phi_\alpha^{-1}(v) ) \] 也连续, 所以 \(\psi_\alpha\) 是同胚. 并且 \(\psi_\alpha\) 在纤维 \(\{n\}\times E_{f(n)}\) 上的限制为线性同构 \[ \bar\phi_{\alpha,f(n)} : \{n\}\times E_{f(n)}\to \{n\}\times V. \] 因此 \(\{(U_\alpha,\psi_\alpha)\}\) 构成 \(f^*E\) 上的光滑向量丛结构.

• 从 \(\bar\phi_{\alpha,f(n)}\) 立刻可以得到转换函数 \[ \bar\phi_{\alpha,f(n)} \circ \bar\phi_{\beta,f(n)}^{-1} = g_{\alpha\beta}(f(n)) = (f^*g_{\alpha\beta})(n). \]

Claim 18.3 (拉回丛的泛性质) 设向量丛 \(\pi_E:F\to N\), \(\pi_F:E\to M\), 光滑映射 \(f:N\to M\). 若丛映射 \(\varphi:F\to E\) 覆盖 \(f\), 即有交换图 \[ \xymatrix{ F \ar[d]_{\pi_F} \ar[r]^{\varphi} & E \ar[d]^{\pi_E} \\ N \ar[r]_{f} & M, } \] 则存在唯一的 \(N\) 上的丛映射 \(\tilde\varphi:F\to f^*E\), 满足交换图 \[ \xymatrix{ F \ar[rrd]^{\varphi} \ar[rdd]_{\pi_F} \ar@{.>}[rd]|{\tilde\varphi} \\ & f^*E \ar[d]^{\eta} \ar[r]_{\zeta} & E \ar[d]^{\pi_E} \\ & N \ar[r]_{f} & M. } \]

Pf 交换图保证了 \(\tilde\varphi(q)=(\pi_F(q),\varphi(q))\) 对任意 \(q\in F\), 这说明 \(\varphi\) 的唯一性. 因为 \(\varphi\) 覆盖 \(f\), 所以 \(\pi_E(\varphi(q))=f(\pi_F(q))\), 所以 (根据拉回丛的定义) \((\pi_F(q),\varphi(q))\in f^*E\), 所以这样的 \(\tilde\varphi\) 是存在的. 这 \(\tilde\varphi\) 在纤维上是线性的, 因为 \(\varphi\) 在纤维上是线性的; \(\tilde\varphi\) 的连续性由 \(\pi_F,\varphi\) 的连续性保证.

Example 1 映射的微分.

设光滑映射 \(f:N\to M\), 将切映射 \(f_{*,p}:T_pN\to T_{f(p)}M\) 拼合起来得到丛映射 \(f_*:TN\to TM\). 根据泛性质, 存在唯一的丛映射 \(\tilde{f_*}:TN\to f^*TM\) 满足交换图 \[ \xymatrix{ TN \ar[rrd]^{f_*} \ar[rdd]_{\pi_F} \ar@{.>}[rd]|{\tilde{f_*}} \\ & f^*TM \ar[d]^{\eta} \ar[r]_{\zeta} & TM \ar[d]^{\pi_E} \\ & N \ar[r]_{f} & M. } \] 因此对于 \(X_p\in TN\), \[ \tilde{f_*}(X_p) = (p,f_{*,p}X_p) \] 如此, 不同流形间的丛映射 \(f_*\) 可以转化为同一个流形 \(N\) 上的丛映射.

Example 2 沿着子流形的向量丛.

设子流形 \(i:M\to\tilde{M}\). 拉回丛 \(i^*T\tilde{M}\) 将 \(\tilde{M}\) 的切空间附着到了子流形 \(M\) 上. 于是, 一个沿着 \(M\) 的向量场就是指截面 \(s\in\Gamma(i^*T\tilde{M})=\Gamma(T\tilde{M}|_{M})\).

特别地, 沿着光滑曲线 \(c:I\to M\) 的向量场指的是截面 \(s\in\Gamma(c^*TM)\), 这样的截面具有形式 \[ s(t) = (t,X_{c(t)}) \in (c^*TM)_t. \]

18.5 Other operations

下面我们来处理一般的操作.

设 \(\mathcal{V}\) 为 \(\R\) 上的有限维线性空间与线性同构组成的范畴, 记 \(\mathcal{V}^k\) 是线性空间组 \((V_i)_{i=1}^k\) 与线性同构组 \((f_i)_{i=1}^k\) 组成的范畴. 设协变函子 \(\mathcal{T}:\mathcal{V}^k\to\mathcal{V}\) 将 \((V_i)\) 对应到一个线性空间 \(\mathcal{T}(V_i)\), 将 \((f_i:V_i\to V'_i)\) 对应到一个线性同构 \(\mathcal{T}(f_i):\mathcal{T}(V_i)\to\mathcal{T}(V'_i)\).

设 \(n\) 维线性空间 \(V,V'\), 记 \(\operatorname{Iso}(V,V')\) 是所有 \(V\to V'\) 的线性同构的集合. 取定基底后, \(\operatorname{Iso}(V,V')\) 与 \({\rm GL}(n,\R)\) 有一一对应, 因此 \(\operatorname{Iso}(V,V')\) 拥有了流形结构. 函子 \(\mathcal{T}:\mathcal{V}^k\to\mathcal{V}\) 称为光滑的, 若对任意两个线性空间组 \((V_i),(V'_i)\) (\(\dim{V_i}=\dim{V'_i}\)) 映射 \[ \Align{ \prod_{i=1}^k \operatorname{Iso}(V_i,V'_i) &\to \operatorname{Iso}\pqty{ \mathcal{T}(V_1,\dots,V_k), \mathcal{T}(V'_1,\dots,V'_k) }, \\ (f_1,\dots,f_k) &\mapsto \mathcal{T}(f_1,\dots,f_k) } \] 是光滑的. 一些常见的操作, 如直和, 张量积, 楔积, 都是光滑协变函子.

我们将要证明, 光滑向量丛 \(E_1,\dots,E_k\) 的光滑函子能够给出光滑向量丛 \(\mathcal{T}(E_1,\dots,E_k)\). 先给出一个引理.

Claim 18.4 设集合 \(S\) 的子集族 \(\mathcal{C}=\{S_\alpha\}_{\alpha\in A}\) 满足

1. \(\mathcal{C}\) 中所有集合之并为 \(S\).

2. \(\mathcal{C}\) 中有限个集合的交仍在 \(\mathcal{C}\) 中.

3. 对于任意 \(\alpha\in A\), 存在双射 \(\phi_\alpha:S_\alpha\to Y_\alpha\), 其中 \(Y_\alpha\) 为拓扑空间.

4. 对于 \(\alpha,\beta\in A\), \(\phi_\alpha(S_{\alpha\beta})\) 在 \(Y_\alpha\) 中为开集, 并且下面的映射为同胚: \[ \phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}: \phi_\beta(S_{\alpha\beta})\to\phi_\alpha(S_{\alpha\beta}). \]

则存在唯一的 \(S\) 上的拓扑, 使得 \(S_\alpha\) 为开集, 且 \(\phi_\alpha\) 为同胚.

Pf 同胚 \(\phi_\alpha\) 将 \(Y_\alpha\) 的拓扑搬到了 \(S_\alpha\) 上. 这实际上已经确定了 \(S\) 的拓扑. 应当说明, 任意两个 \(\phi_\alpha,\phi_\beta\) 所确定的拓扑是一致的. 若 \(U\subset S_{\alpha\beta}\), 并且 \(\phi_\beta(U)\) 是开集, 因为 \[ (\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1})( \phi_\beta(U) ) = \phi_\alpha(U), \] 根据 4, 映射为同胚, 有 \(\phi_\alpha(U)\) 为开集.

设 \(\mathcal{T}\) 为所有 \(S_\alpha\) (\(\forall\alpha\in A\)) 中的开集生成的拓扑, 即 \(\mathcal{T}\) 是包含了所有这些开集的最小的拓扑. 若 \(U_\alpha\subset S_\alpha\), \(U_\beta\subset U_\beta\) 为开集 (均在 \(\mathcal{T}\) 中), 则 \(U_{\alpha\beta}=U_\alpha\cap U_\beta\in\mathcal{T}\). 我们需要证明 \(U_{\alpha\beta}\) 原先就是 \(S_\alpha\) 中的开集, 这样才能保证生成拓扑 \(\mathcal{T}\) 时不会造出一些额外的开集.

由 2, \(S_{\alpha\beta}=S_\alpha\cap S_\beta\) 在 \(\mathcal{C}\) 中, 根据 \(\phi_{\alpha\beta}:S_{\alpha\beta}\to Y_{\alpha\beta}\), 它是开集. 根据一致性, \(S_{\alpha\beta}\) 在 \(S_\alpha\) 中也是开集. 因为 \(U_\alpha\) 在 \(S_\alpha\) 中是开集, \(U_\alpha\cap S_{\alpha\beta}=U_\alpha\cap S_\beta\) 也是 \(S_\alpha\) 中的开集, 进而也是 \(S_\beta\) 中的开集. 因此 \((U_\alpha\cap S_\beta)\cap U_\beta=U_{\alpha\beta}\) 是 \(S_\beta\) 中的开集, 进而也是 \(S_\alpha\) 中的开集.

Claim 18.5 若 \(\mathcal{T}:\mathcal{V}^k\to\mathcal{V}\) 为光滑的协变函子, 则任给 \(M\) 上的光滑向量丛 \(E_1,\dots,E_k\), 存在 \(M\) 上的光滑向量丛 \(\mathcal{T}(E_1,\dots,E_k)\), 其在 \(p\in M\) 点的纤维是 \(\mathcal{T}((E_1)_p,\dots,(E_k)_p)\).

Pf 我们对 \(k=2\) 证明, 其余情况是相似的. 设光滑向量丛 \(\pi:E\to M\), \(\pi':E'\to M\), 定义 \[ F := \coprod_{p\in M} \mathcal{T}(E_p,E'_p) := \bigcup_{p\in M} \{p\}\times\mathcal{T}(E_p,E'_p), \] 投射 \(\rho:F\to M\), \((p,\mathcal{T}(e,e'))\mapsto p\). 下面我们为 \(F\) 赋予流形和向量丛结构.

首先给出一个引理: 若 \(\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}\), \(\{V_\beta\}_{\beta\in B}\) 是拓扑空间 \(M\) 的开覆盖, 则 \(\{U_\alpha\cap V_\beta\}_{(\alpha,\beta)\in A\times B}\) 也是 \(M\) 的开覆盖. 证明是平凡的. 因此, 若 \(\{U_\alpha\},\{V_\beta\}\) 分别为 \(E,E'\) 的平凡化开覆盖, 则 \(\{U_\alpha\cap V_\beta\}\) 同时是 \(E,E'\) 的平凡化开覆盖.

设 \(\mathfrak{A}=\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}\) 既是 \(E,E'\) 的平凡化开覆盖, 还是 \(M\) 的坐标卡, 有平凡化映射 \[ \Align{ \psi_\alpha:E|_{U_\alpha} &\overset\sim\to U_\alpha\times\R^r, & \psi'_\alpha:E'|_{U_\alpha} &\overset\sim\to U_\alpha\times\R^{r'}. } \] 任给 \(p\in U_\alpha\), 有线性同构 \[ \Align{ \psi_{\alpha,p}: E_p &\overset\sim\to \{p\}\times\R^r, & \psi'_{\alpha,p}: E'_p &\overset\sim\to \{p\}\times\R^{r'}. } \] 应用函子 \(\mathcal{T}\), 得到一个同构 \[ \phi_{\alpha,p} = \mathcal{T}(\psi_{\alpha,p},\psi'_{\alpha,p}): \mathcal{T}(E_p,E'_p) \overset\sim\to\{p\} \times \R^l \] (其中 \(\R^l=\mathcal{T}(\R^r,\R^{r'})\).)

• (注) 根据函子性, 有 \[ \Align{ \phi_{\alpha,p}(\mathcal{T}(v,v')) &= \mathcal{T}(\psi_{\alpha,p}(v),\psi'_{\alpha,p}(v')), \\ \phi_{\alpha,p}^{-1}(\mathcal{T}(v,v')) &= \mathcal{T}(\psi_{\alpha,p}^{-1}(v),{\psi'}^{-1}_{\alpha,p}(v')). } \]

于是有双射 \[ \phi_\alpha: \coprod_{p\in U_\alpha}\mathcal{T}(E_p,E'_p) =\rho^{-1}(U_\alpha) \overset\sim\to U_\alpha\times\R^l, \] 为了对 \(\{\rho^{-1}(U_\alpha)\}\) 应用 Claim 18.4, 我们不妨设其对有限交封闭. 还要证明转移映射是同胚. 对于 \(U_{\alpha\beta}\neq\emptyset\), 记 \(g_{\alpha\beta}(p)=\psi_{\alpha,p}\circ\psi_{\beta,p}^{-1}\), \(g'_{\alpha\beta}(p)=\psi'_{\alpha,p}\circ{\psi'}_{\beta,p}^{-1}\). 应用 (注) 的内容, 得到 \[ (\phi_{\alpha}\circ\phi_\beta^{-1})(p,\mathcal{T}(v,v')) = \pqty{ p, \mathcal{T}(g_{\alpha\beta}(p)v,g'_{\alpha\beta}(p)v') } \] 因为 \(g,g'\) 是连续的, \(\mathcal{T}\) 是光滑函子, 所以 \(\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}\) 是连续映射. 其逆映射也是连续的, 故为同胚.

对 \(\{\rho^{-1}(U_\alpha)\}\) 应用 Claim 18.4, 我们得到了 \(F\) 上的拓扑, 使得 \(\{\rho^{-1}(U_\alpha)\}\) 是一个开覆盖, 且 \[ \phi_\alpha:\rho^{-1}(U_\alpha) \to U_\alpha\times\R^l \] 是同胚. 因为 \(U_\alpha\) 是坐标开集, 所以 \(U_\alpha\times\R^l\) 同胚于 \(\R^{n+l}\); 并且转换函数 \(\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}\) 是光滑的, 所以 \(\{(\rho^{-1}(U_\alpha),\phi_\alpha)\}\) 构成 \(F\) 上的光滑流形结构. 平凡化映射 \(\phi_\alpha\) 也给出了 \(F\) 的向量丛结构.

上面的讨论要求 \(\mathcal{T}\) 是协变的. 对于逆变函子, 要把它变成协变的.

• 对偶函子 \(\mathcal{T}:\mathcal{V}\to\mathcal{V}\) 是逆变的, 将线性空间 \(V\) 对应到 \(V^\vee\), 将线性同构 \(f:V\to W\) 对应到 \(f^\vee:W^\vee\to V^\vee\). 取逆后变成协变的: \((f^\vee)^{-1}:V^\vee\to W^\vee\).

进而我们可以定义对偶丛 \(E^\vee\) 和同态丛 \(\operatorname{Hom}(E,F)=E^\vee\otimes F\). 切丛的对偶丛称为余切丛(cotangent bundle), 记作 \(T^*M\).

Example 积流形的切丛.

设积流形 \(P=M\times N\), 自然投射 \(\pi:P\to M\), \(\eta:P\to N\). 我们知道, 积流形的切空间是直和 \[ T_{(m,n)}P = T_mM \oplus T_nN \] 一个自然的想法是 \(TP\) 能否和 \(TM\oplus TN\) 认同? 这几乎是对的, 但要注意, 底流形不同的向量丛 \(TM,TN\) 不能直和. 稍加调整即可: \[ TP = \pi^*TM \oplus \eta^*TN. \] 根据拉回丛和直和的定义, 不难写出 \[ \pi^*TM \oplus \eta^*TN = \{ (p,(v,w)) \mid p=(m,n)\in P, v\in T_mM,w\in T_nN \}. \]

19 Vector-Valued Forms

19.1 Tensor fields

流形 \(M\) 上的 \((r,s)\) 型张量丛(tensor bundle)指的是 \[ T^{r,s}(M) :=\pqty{\bigotimes\nolimits^rTM}\otimes\pqty{\bigotimes\nolimits^sT^*M} = \underbrace{TM\otimes\cdots\otimes TM}_{r}\otimes \underbrace{T^*M\otimes\cdots\otimes T^*M}_{s}. \] 一个 \((r,s)\) 型光滑张量场(tensor field)指的是 \((r,s)\) 型张量丛的光滑截面 \[ T \in \Gamma(T^{r,s}(M)). \] 更一般地, 对于光滑向量丛 \(E\), 一个 \(E\) 值张量场(\(E\)-valued tensor field)指的是光滑截面 \[ T \in \Gamma( T^{r,s}(M)\otimes E ). \] 光滑张量场 \(T\) 在每一点处给出了一个张量 \(T_p\), 根据张量积的泛性质, 这等价于一个多重线性映射 \[ (T_p^*M)^r \times (T_pM)^s \to E_p. \] 而张量场 \(T\) 等价于多重 \(\mathcal{F}\)-线性映射 \[ \Gamma(T^*M)^r \times \Gamma(TM)^s \to \Gamma(E). \] 反过来, 任给一个 \({\cal F}\)-多重线性映射 \(f:\Gamma(T^*M)^r\times\Gamma(TM)^s\to\Gamma(E)\), 也能够唯一确定一个张量场 \(T\), 满足 \[ f(\omega_1,\dots,\omega_r,X_1,\dots,X_s)(p) = T_p( \omega_{1,p},\dots,\omega_{r,p},X_{1,p},\dots,X_{s,p} ). \] 这实际上是 Claim 4.8 的直接推论.

• \(M\) 上的微分 \(k\)-形式可以看作 \(\Gamma(\bigwedge^kT^*M)\) 中的元素, 是一个 \((0,k)\) 型张量场.
• 向量丛 \(E\) 上的黎曼度量 \(\lr{\cdot,\cdot}\) 是一个光滑张量场 \(g\in\Gamma(E^*\otimes E^*)\). 特别地, 切丛上的黎曼度量是 \(M\) 上的 \((0,2)\) 型张量场.

19.2 Vector-valued forms

在 \(E\) 值的张量场中, 最特殊的就是 \(E\) 值的微分 \(k\)-形式, 它们是 \[ \Omega^k(M,E) := \Gamma\pqty{ \pqty{\bigwedge\nolimits^kT^*M} \otimes E } \] 中的元素.

• 若 \(E\) 是积丛 \(M\times V\), 也称 \(E\)-值微分形式为一个 \(V\) 值微分形式, 其全体记作 \(\Omega^k(M,V)\).

• 标量值微分形式 \(\Omega^k(M,\R)=\Omega^k(M)\).

• 向量丛 \(E\) 上的联络. 取定 \(s\in\Gamma(E)\), 则 \(\nabla s:\Gamma(TM)\to\Gamma(E)\) 是 \({\cal F}\)-线性的, 可以看作一个 \(E\) 值微分 \(1\)-形式.

• 向量丛 \(E\) 上联络 \(\nabla\) 的曲率. 曲率 \(R\) 将 \(X,Y\in\Gamma(TM)\) 映到 \(R(X,Y)\in{\rm End}(E)\), 并且关于 \(X,Y\) 是反对称的, 所以 \(R\) 是一个 \(\operatorname{End}(E)\) 值微分 \(2\)-形式: \[ R \in \Gamma\pqty{\pqty{\bigwedge\nolimits^2 T^*M} \otimes {\rm End}(E)}. \]

微分形式在基底下的展开.

取 \(\alpha\in\Omega^k(M,E)\). 设 \(\bigwedge^kT^*_pM\) 的基底 \(\{\omega^I\}\), \(E_p\) 的基底 \(\{v_j\}\), 则 \(\alpha_p\in(\bigwedge^kT^*_pM)\otimes V\) 可以在基底下展开为 \[ \Align{ \alpha_p &= \sum_{I,j} \alpha^j_I(p) \omega^I \otimes v_j \\ &= \sum_j \alpha^j_p\otimes v_j } \] 其中 \(\alpha^j_I(p)\) 是 \(p\) 的光滑函数, \(\alpha_p^j:=\sum_I\alpha^j_I(p)\omega^I\in\Omega^k(M,\R)\) 是一个标量值微分形式.

• 为了简便, 可以省略张量积记号 \(\alpha_p=\sum\alpha^j_pv_j\).

微分形式可以相乘, 微分, 拉回.

微分形式的乘法.

先逐点地考虑. 设线性空间 \(T,V\). 记所有 \(T^k\to V\) 的交错 \(k\) 重线性映射 (称为 \(V\) 值 \(k\)-形式) 的集合为 \(A_k(T,V)\). 线性空间 \(V,W\) 的乘法, 即双线性映射 \(\mu:V\times W\to Z\), 可以诱导出乘法 \[ A_k(T,V) \times A_l(T,W) \to A_{k+l}(T,Z), \] 其定义仿照标量形式楔积的定义 (只是将实数的乘法换成 \(\mu\)): \[ (\alpha\cdot\beta)(t_1,\dots,t_{k+l}) := \frac1{k!l!} \sum_{\sigma\in S_{k+l}} (\sgn\sigma) \mu(\alpha(t_{\sigma(1)},\dots,t_{\sigma(k)}), \beta(t_{\sigma(k+1)},\dots,t_{\sigma(k+l)})). \] 其中 \(\alpha\in A_k(T,V)\), \(\beta\in A_l(T,V)\), \(t_i\in T\).

• 实际上, 右边只需要对所有 \((k,l)\)-洗牌求和.

逐点的乘积诱导出了微分形式的乘积 \(\Omega^k(M,E)\times\Omega^l(M,F)\to\Omega^{k+l}(M,G)\), \[ (\alpha\cdot\beta)_p := \alpha_p\cdot\beta_p \] 其中的向量乘法是光滑截面 \(\mu\in\Gamma(E^*\otimes F^*\otimes G)\).

Claim 19.1 (乘法公式) 设 \(\alpha\in\Omega^k(M,E)\), \(\beta\in\Omega^l(M,F)\), 乘法 \(\mu\in\Gamma(E^*\otimes F^*\otimes G)\), 若 \[ \Align{ \alpha&=\sum_i\alpha^i\otimes v_i, & \beta&=\sum_j\beta^j\otimes w_j, } \] 则 \[ \alpha\cdot\beta = \sum_{i,j} (\alpha^i\wedge\beta^j)\otimes\mu(v_i,w_j) \in\Omega^{k+l}(M,G). \]

Pf 乘法逐点地定义为 \[ \Align{ &(\alpha\cdot\beta)_p(u_1,\dots,u_{k+l}) \\ &= \frac1{k!l!}\sum_\sigma (\sgn\sigma) \mu_p(\alpha_p(u_{\sigma(1)},\dots,u_{\sigma(k)}), \beta_p(u_{\sigma(k+1)},\dots,u_{\sigma(k+l)})) \\ &= \frac1{k!l!}\sum_\sigma (\sgn\sigma) \\ &\hspace{2em} \mu_p\left( \sum_i \alpha^i_p(u_{\sigma(1)},\dots,u_{\sigma(k)}) v_i, \sum_j \beta^j_p(u_{\sigma(k+1)},\dots,u_{\sigma(k+l)}) w_j \right) \\ &= \sum_{i,j}\frac1{k!l!}\sum_{\sigma}(\sgn\sigma) \alpha^i_p(u_{\sigma(1)},\dots,u_{\sigma(k)}) \beta^j_p(u_{\sigma(k+1)},\dots,u_{\sigma(k+l)}) \mu_p(v_i,w_j) \\ &= \sum_{i,j} (\alpha^i\wedge\beta^j)_p (u_1,\dots,u_{k+l})\mu_p(v_i,w_j). } \]

微分形式的乘积没有一般意义上的结合性和分次反对称性, 它们只在一些特殊情况下成立.

• 对于标量形式 \(\lambda\in\Omega^r(M,\R)\), 成立结合律 \[ (\lambda\cdot\alpha)\cdot\beta = \lambda\cdot(\alpha\cdot\beta) = (-1)^{\deg\lambda\deg\alpha}\alpha\cdot(\lambda\cdot\beta). \]

• 若 \(\mu=\otimes\), 则乘积具有分次反对称性 \[ \alpha\cdot\beta = (-1)^{\deg\alpha\deg\beta}\beta\cdot\alpha. \] 此时的乘积也叫做楔积, 记作 \(\alpha\wedge\beta\), 是标量值形式之楔积的推广.

微分形式的协变导数.

向量丛 \(E\to M\) 上的联络 \(\nabla\) 可以诱导出 \(E\) 值微分形式 \(\alpha\in\Omega^k(M,E)\) 的协变导数. 设 \(U\) 上有 \(E\) 的标架 \(e_1,\dots,e_r\), \(\alpha=\sum\alpha^i\otimes e_i\), 定义 \[ \nabla(\alpha|_U) := \sum \dd\alpha^i\otimes e_i + \alpha^i\otimes\nabla{e_i}. \] 可以验证, \(\nabla(\alpha|_U)\) 不依赖于标架的选取, 于是可以拓展到 \(M\) 整体上去: \((\nabla\alpha)|_U:=\nabla(\alpha|_U)\). 此时, \[ \nabla : \Gamma(TM) \times \Omega^k(M,E) \to \Omega^k(M,E). \] 微分形式的外微分.

下面只考虑 \(V\) 值微分形式.

设 \(\alpha\in\Omega^k(M,V)\), 在 \(V\) 的基底 \(\{v_i\}\) 下展开为 \(\alpha_p=\sum\alpha^i_p\otimes v_i\), 其外微分(exterior derivative)定义为 \[ \dd\alpha := \sum \dd\alpha^i_p \otimes v_i, \] 其中 \(\dd\alpha^i_p\) 是标量微分形式 \(\alpha^i_p\in\Omega^k(M)\) 的外微分. 可以证明, 这个定义不依赖于基底 \(\{v_i\}\) 的选择.

• \(E\) 值微分形式 \(\alpha\in\Omega^k(M,E)\) 的外微分不能这样定义, 因为上式依赖于局部标架的选取.

Claim 19.2 (外微分是反导子) 设 \(\alpha\in\Omega^k(M,V)\), \(\beta\in\Omega^l(M,W)\), 乘法 \(\mu:V\times W\to Z\), 则 \[ \dd(\alpha\cdot\beta) = (\dd\alpha)\cdot\beta + (-1)^{\deg\alpha}\alpha\cdot(\dd\beta). \]

微分形式的拉回.

和标量值微分形式一样, 向量值微分形式 \(\alpha\in\Omega^k(M,E)\) 也能被光滑映射 \(f:N\to M\) 拉回. 定义 \(f^*\alpha\in\Omega^k(N,E)\) 为 \[ (f^*\alpha)_p(u_1,\dots,u_k) := \alpha_{f(p)}(f_*u_1,\dots,f_*u_k). \]

Claim 19.3 (拉回的性质) 设 \(\alpha\in\Omega^k(M,V)\), \(\beta\in\Omega^l(M,W)\), 乘法 \(\mu:V\times W\to Z\), 光滑映射 \(f:N\to M\), 则

1. 若 \(\alpha_p=\sum\alpha^i_p\otimes v_i\), 则 \(f^*\alpha=\sum(f^*\alpha^i_p)\otimes v_i\).
2. 拉回与乘积可交换: \(f^*(\alpha\cdot\beta)=f^*(\alpha)\cdot f^*(\beta)\).
3. 拉回与外微分可交换: \(f^*\dd\alpha=\dd{f^*\alpha}\).

19.3 Lie algebra-valued forms

对于 \(V\) 值微分形式 \(\Omega^k(M,V)\), 一个特别的情况是 \(V\) 是李代数 \(\frak g\). 此时乘法是李括号 \([\cdot,\cdot]:{\frak g}\times{\frak g}\to{\frak g}\). 直接套用之前的结论得到:

Claim 19.4 设 \(\alpha\in\Omega^k(M,{\frak g})\), \(\beta\in\Omega^l(M,{\frak g})\),

1. 设 \(A_i\in{\frak g}\). 若 \(\alpha=\sum\alpha^i\otimes A_i\), \(\beta=\sum\beta^j\otimes A_j\), 则 \[ [\alpha,\beta] = \sum_{i,j}(\alpha^i\wedge\beta^j)[A_i,A_j] \in \Omega^{k+l}(M,{\frak g}). \]

2. 乘积的分次反对称性: \[ [\alpha,\beta] = (-1)^{\deg\alpha\deg\beta+1}[\beta,\alpha]. \]

3. 外微分是反导子: \[ \dd{[\alpha,\beta]} = [\dd\alpha,\beta] + (-1)^{\deg\alpha}[\alpha,\dd\beta]. \]

• 注意区分李括号 \([A,B]\in{\frak g}\) 和微分形式的乘积 \([\alpha,\beta]\in\Omega^{k+l}(M,{\frak g})\).
• 特别地, 对于 \({\frak g}\) 值 \(1\)-形式 \(\alpha\), \([\alpha,[\alpha,\alpha]]=0\).

矩阵值微分形式.

特别地, 我们取 \({\frak g}={\frak gl}(n,\R)\). 这上面有两个双线性的乘法, 矩阵乘法和李括号, 满足关系 \[ [A,B] = AB-BA,\quad A,B\in{\frak gl}(n,\R). \] 对于两个 \({\frak gl}(n,\R)\) 值微分形式, 用楔积 \(\wedge\) 来表示矩阵乘法诱导出的乘积; 用李括号 \([\cdot,\cdot]\) 来表示李括号诱导出的乘积.

设 \(e_{ij}\in{\frak gl}(n,\R)\) 表示第 \((i,j)\) 元为 \(1\), 其余元为 \(0\) 的矩阵, 则 \[ e_{ij}e_{kl} = \delta_{jk}e_{il}. \] 微分形式 \(\alpha,\beta\) 在基底 \(\{e_{ij}\}\) 下展开为 \[ \Align{ \alpha &= \sum\alpha^{ij}\otimes e_{ij}, & \beta &= \sum\beta^{kl}\otimes e_{kl}, } \] 其中 \(\alpha^{ij},\beta^{kl}\) 为标量值形式. 它们的楔积和李括号分别是 \[ \Align{ \alpha\wedge\beta &=\sum_{i,j,k,l} \alpha^{ij}\wedge\beta^{kl}\otimes e_{ij}e_{kl} = \sum_{i,j,l} \alpha^{ij}\wedge\beta^{jl} \otimes e_{il}, \\ [\alpha,\beta] &=\sum_{i,j,k,l} \alpha^{ij}\wedge\beta^{kl}\otimes[e_{ij},e_{kl}]. } \] 此外, \(\dd\alpha=\sum_{i,j}\dd\alpha^{ij}\otimes e_{ij}\) 其实就是逐个分量求外微分.

Claim 19.5 (楔积和李括号的关系) 设 \(\alpha\in\Omega^k(M,{\frak gl}(n,\R))\), \(\beta\in\Omega^l(M,{\frak gl}(n,\R))\), 则 \[ [\alpha,\beta] = \alpha\wedge\beta - (-1)^{\deg\alpha\deg\beta}\beta\wedge\alpha. \]

• 立刻有推论 \[ [\alpha,\alpha] = \Cases{ 2\alpha\wedge\alpha, & \deg\alpha\textsf{ 为奇数}, \\ 0, & \deg\alpha\textsf{ 为偶数}. } \]

Note 联络与曲率形式矩阵.

设秩 \(r\) 的向量丛 \(E\to M\), 标架开集 \(U,e_1,\dots,e_r\). 将标架写作一个矩阵 \(e:=[e_1,\dots,e_r]\), \[ \nabla_X e = e\omega(X), \] 其中 \(\omega\in\Omega^1(U,{\frak gl}(r,\R))\) 是矩阵值 \(1\)-形式, 其第 \((i,j)\) 元就是联络 \(1\)-形式 \(\omega^i_j\).

同样还有曲率矩阵 \(\Omega\in\Omega^2(U,{\frak gl}(r,\R))\) 和挠率矩阵 (当 \(E=TM\) 时) \(\tau\in\Omega^2(U,\R^r)\), 分别定义为 \[ \Align{ R(X,Y)e &= e\Omega(X,Y), \\ T(X,Y) &= e\tau(X,Y). } \] 利用矩阵形式的楔积和外微分, 结构方程可以写作 \[ \Align{ \dd\tau &= \dd\theta + \omega\wedge\theta, \\ \dd\Omega &= \dd\omega + \omega\wedge\omega. } \]

Maurer-Cartan 形式.

设李群 \(G\) 具有李代数 \({\frak g}\). 李群 \(G\) 上有一个标准的左不变 \(1\)-形式 \(\theta\in\Omega^1(G,{\frak g})\), 满足 \(\theta_e:T_eG={\frak g}\to{\frak g}\) 是恒等映射, 称为 Maurer-Cartan 形式. 微分形式 \(\theta\) 左不变指的是 \(l_h^*\theta=\theta\) 对任意 \(h\in G\) 成立, 所以 \[ \theta_g(X_g) = (l^*_{g^{-1}}\theta)_g(X_g) = \theta_e(l_{g^{-1}*}X_g) = l_{g^{-1}*}X_g, \quad\forall X_g\in T_gG. \]

• 李群 \(G\) 上的左不变形式 \(\alpha\in\Omega^k(G,V)\) 由它在 \(e\) 的取值唯一确定.
• 左不变形式在右作用下的行为: \(r_g^*\alpha=\operatorname{Ad}_{g^{-1}}\alpha\).

Claim 19.6 李群 \(G\) 上的 Maurer-Cartan 形式 \(\theta\) 满足下列 Maurer-Cartan 方程: \[ \dd\theta+\frac12[\theta,\theta]=0. \]

Pf 方程是 \({\cal F}\)-线性的, 所以只需要对左不变向量场证明. 取 \({\frak g}\) 的基底 \(A_1,\dots,A_n\), 它们生成的左不变向量场仍然记作 \(A_1,\dots,A_n\). 设 \(\theta=\sum\theta^i\otimes A_i\), 则 \(\theta^i(A_j)=\delta^i_j\). 一方面, \[ \Align{ \dd\theta(A_i,A_j) &= \dd\theta^k(A_i,A_j)A_k \\ &= (A^i(\theta^kA_j) + A^j(\theta^kA_i) - \theta^k([A_i,A_j]))A_k \\ &= -\theta^k(C^l_{ij}A_l) A_k \\ &= -C^k_{ij}A_k. } \] 其中 \(C^k_{ij}\) 是 \({\frak g}\) 在该基底下的结构常数. 另一方面, \[ \Align{ \frac12[\theta,\theta](A_i,A_j) &= \frac12\pqty{ \theta^k\wedge\theta^l(A_i,A_j)[A_k,A_l] } \\ &= \frac12\pqty{ (\delta^k_i\delta^l_j-\delta^k_j\delta^l_i) C^m_{kl}A_m } \\ &= C^k_{ij}A_k. } \]