GTM275 | 3 曲率与微分形式

GTM275 (Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes) 第 10-12 节的笔记. 补充了一点截面曲率的内容.

在之前的 "曲率与向量场" 部分, 我们通过向量场来研究 \(\R^3\) 中平面的曲率. 在本部分中, 我们用微分形式来研究曲率. 为此, 我们先将联络的概念推广到向量丛上.

7 Connections on a Vector Bundle

7.1 Connections on a vector bundle

联络.

流形 \(M\) 上的仿射联络 \(\nabla:{\frak X}(M)\times{\frak X}(M)\to{\frak X}(M)\) 是 \(\R^n\) 上方向导数的推广. 但是仿射联络并不能处理一个沿着子流形 \(N\) 的向量场 \(X\) (可能从 \(N\)​ "支棱出去") 之方向导数. 为此我们将仿射联络推广到向量丛上的联络.

光滑向量丛 \(E\to M\) 上的一个联络(connection)指的是映射 \[ \nabla:{\frak X}(M)\times\Gamma(E)\to\Gamma(E), \] 并且对于 \(X\in{\frak X}(M), s\in\Gamma(E)\), 满足

1. \(\nabla_Xs\) 关于 \(X\) 是 \(\cal F\)-线性的, 关于 \(s\) 是 \(\R\)-线性的.
2. (Leibniz 律) 对于 \(f\in{\cal F}(M)\), \(\nabla_X(fs)=(Xf)s+f\nabla_Xs\).

称截面 \(s\in\Gamma(E)\) 为平坦的(flat), 如果对任意 \(X\in{\frak X}(M)\), 联络 \(\nabla_Xs=0\)​.

• \(M\) 上的仿射联络就是切丛 \(TM\to M\)​ 上的一个联络.

• 设 \(\R^n\) 的子流形 \(M\), 则之前定义的子流形 \(M\)​ 上的方向导数 \[ D:{\frak X}(M)\times\Gamma(T\R^n|_M)\to\Gamma(T\R^n|_M) \] 就是向量丛 \(E=T\R^n|_M\)​ 上的一个联络.

• (平凡丛上的联络) 在一个平凡丛 \(E\to M\) 上, 平凡化(trivialization) \(\phi:E\overset\sim\to M\times\R^r\) 可以给出一个光滑标架 (Claim 4.1): 设 \(M\times\R^r\) 上的光滑截面 \(s_i:p\mapsto(p,v_i)\), 那么 \(e_i=\phi^{-1}\circ s_i\) 就是 \(E\) 上的光滑截面, 并且 \(\qty{e_1,\dots,e_r}\) 是 \(E\) 的光滑标架.

  于是任意截面 \(s\in\Gamma(E)\)​ 可写作线性组合 \[ s=\sum h^ie_i, \quad h^i\in{\cal F}. \] 我们可以这样定义一个联络 \(\nabla:{\frak X}(M)\times\Gamma(E)\to\Gamma(E)\), 即要求标架 \(e_1,\dots,e_r\) 在此联络下是平坦的. 于是 \[ \nabla_Xs =\nabla_X\pqty{\sum h^ie_i} =\sum X(h^i)e_i. \] 容易验证这确实是一个联络. 将其称为平凡化 \(\phi\) 诱导的联络.

• (联络的仿射组合) 两个向量丛 \(E\) 上的联络 \(\nabla^1,\nabla^2\), 其线性组合 \(t_1\nabla^1+t_2\nabla^2\) 未必是一个联络. 但是如果 \(t_1+t_2=1\), 则其线性组合也是一个联络. 更一般地, 设 \(\sum t_i=1\), 则联络的线性组合 \(\sum t_i\nabla^i\) 也是一个联络. 称这样的线性组合 (系数和为 \(1\)​) 为仿射组合(affine combination). 更一般地, 若 \(\qty{t_i}\) 是 \(M\) 上的光滑函数, 并且满足 \(\sum t_i=1\), 则 \(\sum t_i\nabla^i\) 也是一个联络.

Claim 7.1 任意流形 \(M\) 上的光滑向量丛 \(E\)​ 上存在联络.

Pf 给定 \(E\) 的一个平凡化开覆盖 \(\qty{U_\alpha}\) 以及从属于 \(\qty{U_\alpha}\) 的单位分解 \(\qty{\rho_\alpha}\). 向量丛 \(E\) 在平凡化开集 \(U_\alpha\) 上的限制 \(E|_{U_\alpha}\) 是平凡丛, 于是上面存在联络 \(\nabla^\alpha\). 任给 \(X\in{\frak X}(M),s\in\Gamma(E)\), 设 \(s_\alpha\) 为 \(s\) 在 \(U_\alpha\) 上的限制, 并定义 \[ \nabla_Xs=\sum\rho_\alpha\nabla_X^\alpha s_\alpha. \] 由 \(\qty{\operatorname{supp}\rho_\alpha}\) 的局部有限性, 任意一点 \(p\in M\) 都存在一个邻域 \(U\), 使得上式在 \(U\) 是一个有限和, 并且系数之和 \(\sum\rho_\alpha=1\), 进而是一个 \(E|_U\) 上的联络. 进一步可验证这是 \(E\) 上的联络.

利用单位分解将局部的构造移到流形整体上是很常见的技巧, 之前在证明流形 \(M\) 上黎曼度量的存在性就是如此. 之和证明向量丛 \(E\) 上黎曼度量的存在性也会用到这个方法.

联络的曲率.

由于 \(\nabla_Xs\) 中 \(X\) 与 \(s\) 地位的不对称, 一般不能谈联络的挠率, 但是可以定义曲率: \[ R(X,Y)s = \nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs-\nabla_{[X,Y]}s, \] 所以 \(R\) 是一个 \(\R\)-线性映射 \({\frak X}(M)\times{\frak X}(M)\times\Gamma(E)\to\Gamma(E)\). 进一步能证明, \(R\) 关于 \(X,Y,s\) 都是 \({\cal F}\)-线性的, 于是可以逐点地定义曲率. 此外, \(R_p\) 关于 \(X_p,Y_p\) 反对称, 于是有反对称的双线性映射 \[ R_p:T_pM \times T_pM \to \operatorname{Hom}(E_p,E_p)=\operatorname{End}(E_p). \] 称 \(R_p\) 为 \(\nabla\) 在 \(p\) 点的曲率张量(curvature tensor).

7.2 Riemannian bundle

可以将流形上的黎曼度量推广到向量丛. 向量丛 \(E\) 上的一个黎曼度量(Riemannian metric)指的是一个光滑的内积场 \(\lr{\cdot,\cdot}_p\), 使得 \(\lr{s,t}\) 为光滑函数, 只要 \(s,t\) 为光滑截面. 流形 \(M\) 上的黎曼度量无非是切丛 \(TM\)​​​ 上的黎曼度量. 一个拥有了黎曼度量的向量丛叫做一个黎曼丛(Riemannian bundle).

如果黎曼丛 \(E\) 上的一个联络 \(\nabla\) 满足 \[ X\lr{s,t} = \lr{\nabla_Xs,t}+\lr{s,\nabla_Xt}, \] 则称其为与度量相容的(compatible with the metric), 或者一个度量联络(metric connection).

在一个平凡丛上很容易构造出联络(前例)与黎曼度量, 并且两者还是相容的.

• (平凡丛上的黎曼度量)

Claim 7.2 设平凡丛 \(E\), 则平凡化 \(\phi:E\overset\sim\to M\times\R^r\) 诱导的联络 \(\nabla\) 与诱导的黎曼度量 \(\lr{\cdot,\cdot}\)​ 相容.

下面将这两个局部的构造 (黎曼度量与联络) 推广到向量丛整体上.

Claim 7.3 任意向量丛 \(E\to M\) 上存在黎曼度量.

Claim 7.4 任意黎曼丛 \(E\to M\) 上存在度量联络.

7.3 Local and point connections

向量丛 \(E\) 上的联络 \(\nabla_Xs\) 关于 \(X\) 是 \({\cal F}\)-线性的, 关于 \(s\) 满足 Leibniz 律. 根据之前的理论, \(\nabla\) 关于 \(X\) 是逐点的 (可以限制到一点), 关于 \(s\) 是局部的 (可以限制到开子集).

任给开集 \(U\subset M\), 定义联络 \[ \nabla^U:{\frak X}(U)\times\Gamma(U,E)\to\Gamma(U,E), \] 使得对任意全局的向量场 \(X\in{\frak X}(M)\) 以及全局截面 \(s\in\Gamma(E)\), \[ \nabla^U_{X|_U}(s|_U) = (\nabla_Xs)|_U. \] 这是良定义的, 因为只要向量场/截面在开集上的限制 \(X|_U\) 和 \(s|_U\) 相同, 那么 \((\nabla_Xs)|_U\)​ 就相同 (局部算子的性质).

同样地, 任给一点 \(p\in M\), 定义 \[ \nabla: T_pM\times\Gamma(E)\to E_p, \] 使得 \[ \nabla_{X_p}s=(\nabla_Xs)_p. \] 即联络 (关于 \(X\)) 在点 \(p\) 的限制. 联络关于 \(X\)​ 能够逐点定义, 很像一个对偶向量场.

下面的定理表明, \(\nabla_{X_p}s\) 关于 \(s\) 虽然不是点算子, 但是它只依赖于 \(s\) 在以 \(X_p\) 为切向量的某条光滑曲线上的取值. 这是一个比局部性更强的性质.

Claim 7.5 设向量丛 \(E\to M\), 截面 \(s\in\Gamma(E)\). 点 \(p\in M\), 曲线 \(c\) 满足 \(c(0)=p\), \(c'(0)=X_p\). 若 \(s\) 在 \(c\) 上恒为零, 那么 \(\nabla_{X_p}s=0\)​.

• 联络 \(\nabla\) 可以限制在一条曲线上, 就是后面所谓"沿曲线的协变导数".

Pf 设在 \(p\) 的平凡化邻域内有标架 \(\qty{e_1,\dots,e_r}\), \(s=\sum a^ie_i\). 由 Leibniz 律, \[ \Align{ \nabla_{X_p}s &= \nabla_{X_p}\pqty{\sum_i a^is_i} \\ &= \sum_i X_p(a^i)e_i|_p + a^i|_p\nabla_{X_p}e_i. } \] 第二项中, \(a^i|_p=0\). 第一项中, 因为 \(a^i\circ c\equiv0\), \[ X_p(a^i) = c_{*0}\pqty{\pdv{t}}a^i = \eval{\pdv{t}}_0(a^i\circ c) = 0. \] 可见, 这个性质依赖于切向量 \(X_p\) 相似的性质, 即 \(X_p(f)\) 只关心 \(f\) 在曲线 \(c\) 上的取值.

8 Connection, Curvature and Torsion Forms

利用标架可以局部地描述一个联络 \(\nabla\), 曲率和挠率 (对于切丛), 将它们刻画为微分形式矩阵. Cartan 结构方程给出了这些微分形式间的关系. 在黎曼丛上, 总是可以局部地选定一个正交归一标架 (应用 Gram-Schmidt 正交化). 在正交归一标架下, 度量联络矩阵和其曲率矩阵都是反对称的.

8.1 Connection and curvature forms

设向量丛 \(E\), 在平凡化开子集 \(U\) 上有光滑标架 \(e_1,\dots,e_r\), 光滑向量场 \(X\in{\frak X}(U)\). 因为任意截面 \(s\in\Gamma(E)\) 都是标架的线性组合, 所以只需要知道 \(\nabla_Xe_j\), 就能(利用线性性和 Leibniz 律)算出任意 \(\nabla_Xs\). 注意到 \(\nabla_Xe_j\in\Gamma(E)\) 可以用 \(e_i\) 线性表出, \[ \nabla_Xe_j = \sum_i \omega^i_j(X) e_i, \] 其中系数 \(\omega^i_j(X)\) 与 \(X\) 有关. 实际上, \(\nabla_Xe_j\) 关于 \(X\) 的 \({\cal F}\)-线性性导致 \(\omega^i_j(X)\) 关于 \(X\) 的 \({\cal F}\)-线性性, 进而 \(\omega^i_j\) 是 \(U\) 上的一个 \(1\)-形式. 这 \(r^2\) 个 \(1\)-形式 \(\omega^i_j\) 称为联络形式(connection forms), 矩阵 \([\omega^i_j]\) 称为联络矩阵(connection matrix). 同样, 曲率 \(R(X,Y)e_j\) 可以用 \(e_i\) 线性表出, \[ R(X,Y)e_j = \sum_i \Omega^i_j(X,Y) e_i, \] 并且 \(\Omega^i_j(X,Y)\) 关于 \(X,Y\) 反对称且 \({\cal F}\)-双线性, 所以是 \(U\) 上的 \(2\)-形式. 这 \(r^2\) 个 \(2\)-形式 \(\Omega^i_j\) 称为曲率形式(curvature forms), 矩阵 \([\Omega^i_j]\) 称为曲率矩阵(curvature matrix).

Claim 8.1 (Cartan 第二结构方程) 设 \(\nabla\) 为秩 \(r\) 向量丛 \(E\to M\) 上的联络. 平凡化开子集 \(U\) 上的标架 \(e_1,\dots,e_r\). 联络 \(\nabla\) 相对于 \(e_1,\dots,e_r\) 的联络形式和曲率形式分别为 \(\omega^i_j,\Omega^i_j\), 则 \[ \Omega^i_j = \dd{\omega^i_j} + \sum_k \omega^i_k\wedge\omega^k_j. \]

Pf 先给出两个等式, 这在之后证明中会用到: 设 \(1\)-形式 \(\alpha,\beta\) 以及向量场 \(X,Y\), \[ \Align{ (\alpha\wedge\beta)(X,Y) &= \alpha(X)\beta(Y)-\alpha(Y)\beta(X), \\ \dd\alpha(X,Y) &= X\alpha(Y)-Y\alpha(X)-\alpha([X,Y]). } \] 设 \(X,Y\in{\frak X}(U)\), (下面第一个和第三个等号是联络形式的定义, 第二个等号利用 Leibniz 律) \[ \Align{ \nabla_X\nabla_Ye_j &= \nabla_X \sum_k\omega^k_j(Y)e_k \\ &= \sum_k X(\omega^k_j(Y))e_k + \sum_k \omega^k_j(Y)\nabla_Xe_k \\ &= \sum_i X(\omega^i_j(Y))e_i + \sum_{i,k} \omega^i_k(X)\omega^k_j(Y)e_i, } \] 交换 \(X,Y\) 得到 \[ \nabla_Y\nabla_Xe_j = \sum_i Y(\omega^i_j(X))e_i + \sum_{i,k} \omega^i_k(Y)\omega^k_j(X)e_i. \] 又有 \[ \nabla_{[X,Y]}e_j = \sum_i \omega^i_k([X,Y])e_i. \] 于是 (下面第三个等号利用了开始给出的两个等式) \[ \Align{ R(X,Y)e_j &= \nabla_X\nabla_Ye_j - \nabla_Y\nabla_Xe_j - \nabla_{[X,Y]}e_j \\ &= \sum_i\bqty{ X(\omega^i_j(Y)) - Y(\omega^i_j(X)) -\omega^i_k([X,Y]) }e_i \\ &\quad{}+\sum_{i,k}\bqty{ \omega^i_k(X)\omega^k_j(Y) - \omega^i_k(Y)\omega^k_j(X) } \\ &= \dd{\omega^i_j}(X,Y) + \sum_k(\omega^i_k\wedge\omega^k_j)(X,Y). } \] 对比曲率形式的定义, 有 \[ \Omega^i_j = \dd{\omega^i_j} + \sum_k \omega^i_k\wedge\omega^k_j. \]

在具有标架 \(e_1,\dots,e_r\) 的开集 \(U\) 上, 联络 \(\nabla\) 确定了一个联络矩阵 \([\omega^i_j]\). 反之, 给定一个 \(1\)-形式矩阵 \([\omega^i_j]\), 也可以唯一确定出一个联络: 任给 \(X\in{\frak X}(U)\), 定义 \[ \nabla_Xe_j := \sum_i\omega^i_j(X)e_i, \] 利用 Leibniz 律将上式拓展到对任意 \(s=\sum h^je_j\in\Gamma(U,E)\): \[ \Align{ \nabla_Xs = \nabla_X(h^je_j) &= (Xh^j)e_j+h^j\nabla_Xe_j \\ &= ((Xh^i) + h^j\omega^i_j(X)) e_i. } \] (上式采用了 Einstein 求和约定.) 可以验证, \(\nabla\) 为 \(E|_U\)​ 上的联络.

联络 \(\nabla_Xs\) 关于 \(s\) 不能逐点定义, 但是若给 \(\tilde\nabla\) 为另一联络, \((\tilde\nabla_X-\nabla_X)s\) 关于 \(s\) 的确可以逐点定义 (能够验证其 \(\cal F\)-线性性). 实际上, \[ (\tilde\nabla_X-\nabla_X)(h^je_j) = h^i(\tilde\omega^j_i(X)-\omega^j_i(X))e_j. \]

8.2 Metric connection relative to a orthonormal frame

Claim 8.2 设黎曼丛 \(E\to M\) 上的联络 \(\nabla\).

1. 若 \(\nabla\) 与度量适配, 那么在任何平凡化开集的正交归一标架上, 联络矩阵 \([\omega^i_j]\)​ 都是反对称的.
2. 若任意一点 \(p\in M\) 存在平凡化邻域 \(U\), 在 \(U\) 上的某正交归一标架下, 联络矩阵 \([\omega^i_j]\) 是反对称的, 那么 \(\nabla\)​​ 与度量适配.

Pf 第一条. 设度量联络 \(\nabla\), 向量场 \(X\in{\frak X}(U)\), 在 \(U\) 的正交归一标架 \(e_1,\dots,e_r\) 下 \[ \Align{ 0 = X\lr{e_i,e_j} &= \lr{\nabla_Xe_i,e_j} + \lr{e_i,\nabla_Xe_j} \\ &= \lr{\omega^k_i(X)e_k,e_j} + \lr{e_i,\omega^k_j(X)e_k} \\ &= \omega^k_i(X)\delta_{kj} + \omega^k_j(X)\delta_{ik} \\ &= \omega^j_i(X) + \omega^i_j(X), } \] 于是 \(\omega^i_j=-\omega^j_i\).

第二条. 注意到"与度量适配"是一个局部条件, 即 \(\nabla\) 与度量适配当且仅当其在任意开集\(U\) 上的限制 \(\nabla^U\) 与度量适配. 设在标架开集上 \(\omega^i_j=-\omega^j_i\), 光滑截面 \(s=a^ie_i\), \(t=b^ie_i\), \[ \Align{ X\lr{s,t}&=X\pqty{\sum a^ib^i}=\sum(Xa^i)b^i+a^iXb^i, \\ \nabla_Xs&=\nabla_X(a^ie_i)=(Xa^i)e_i+a^i\nabla_Xe_i \\ &=[Xa^j+a^i\omega^j_i(X)]e_j, \\ \lr{\nabla_Xs,t} &= \sum_j(Xa^j)b^j+\sum_{i,j}a^i\omega^j_i(X)b^j \\ \lr{s,\nabla_Xt} &= \sum_j(Xb^j)a^j+\sum_{i,j}b^i\omega^j_i(X)a^j \\ &= \sum_j(Xb^j)a^j - \sum_{i,j}a^i\omega^j_i(X)b^j. } \] 于是 \[ \lr{\nabla_Xs,t}+\lr{s,\nabla_Xt}=\sum_j(Xa^j)b^j+\sum_j(Xb^j)a^j =X\lr{s,t}. \]

Claim 8.3 若在某标架下, 联络矩阵 \([\omega^i_j]\) 是反对称的, 那么曲率矩阵 \([\Omega^i_j]\)​​ 也是反对称的.

• 于是在正交归一标架下, 度量联络的曲率矩阵是反对称的.

Pf 由第二结构方程, \[ \Align{ \Omega^j_i &= \dd\omega^j_i + \omega^j_k\wedge\omega^k_i \\ &= \dd(-\omega^i_j) + (-\omega^k_j)\wedge(-\omega^i_k) \\ &= -\dd\omega^i_j - \omega^i_k\wedge\omega^k_j \\ &= -\Omega^i_j. } \]

一个多重 \(\cal{F}\)-线性的点算子称为一个张量. 可以验证, 下面的算子关于每个自变量都是 \({\cal F}\)-线性的, \[ \Align{ {\frak X}(M)^2\times\Gamma(E)^2 &\to\R, \\ (X,Y,s,t)&\mapsto\lr{R(X,Y)s,t}, } \] 因而是点算子, 称为曲率张量. 黎曼联络的曲率张量称为黎曼曲率张量.

Claim 8.4 黎曼丛 \(E\to M\) 上度量联络 \(\nabla\) 的曲率张量 \(\lr{R(X,Y)s,t}\) 关于 \(s,t\) 反对称.

Pf 只需在局部验证反对称性. 设在平凡化开集上有正交归一标架 \(\qty{e_1,\dots,e_n}\), 由 \({\cal F}-\)线性性, 只需验证对标架的反对称性: \[ \Align{ \lr{R(X,Y)e_i,e_j} + \lr{R(X,Y)e_j,e_i} &= \lr{\Omega^k_i(X,Y)e_k,e_j} + \lr{\Omega^k_j(X,Y)e_k,e_i} \\ &= \Omega^k_i(X,Y)\delta_{kj} + \Omega^k_j(X,Y)\delta_{ki} \\ &= \Omega^j_i(X,Y)+\Omega^i_j(X,Y) \\ &= 0. } \]

8.3 Connections on the tangent bundle

对于切丛 \(TM\to M\), 截面和 \(M\) 上的光滑向量场是一回事. 此时, 联络 \(\nabla\)​ 有挠率的概念, \[ T(X,Y) := \nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]. \] 挠率 \(T(X,Y)\)​ 是标架的线性组合, 可以写作 \[ T(X,Y)=\sum_i\tau^i(X,Y)e_i, \] 其中, \(T(X,Y)\) 关于 \(X,Y\) 的 \({\cal F}\)-双线性性和反对称性导致了 \(\tau^i(X,Y)\) 同样的性质, 于是 \(\tau^i\) 是一个 \(2\)-形式. 这 \(r\) 个 \(2\)-形式称为挠率形式(torsion forms), 矩阵 \([\tau^i]\) 称为挠率矩阵.

设开集 \(U\) 上有光滑标架 \(\qty{e_1,\dots,e_r}\) 和对偶标架 \(\qty{\theta^1,\dots,\theta^r}\) (满足 \(\theta^i(e_j)=\delta^i_j\)). 对偶截面 \(\theta^i\) 在截面 \(X\in{\frak X}(U)\) 的作用是"取第 \(i\) 个坐标分量", 换言之, \[ X=\sum \theta^i(X)e_i. \]

Claim 8.5 设 \(M\) 的切丛的平凡化开集上有标架 \(\qty{e_1,\dots,e_r}\), 对偶标架 \(\qty{\theta^1,\dots,\theta^r}\), 则联络形式, 挠率形式, 曲率形式满足

1. (Cartan 第一结构方程) \(\tau^i=\dd\theta^i+\sum_j\omega^i_j\wedge\theta^j\).
2. (Cartan 第二结构方程) \(\Omega^i_j=\dd\omega^i_j+\sum_k\omega^i_k\wedge\omega^k_j\)​.

Pf 第二条是之前的第二结构方程的在 \(TM\) 的特例. 对于第一条, 设 \(Y=\sum\theta^j(Y)e_j\), \[ \Align{ \nabla_XY &= \nabla_X(\theta^j(Y)e_j) \\ &= X(\theta^j(Y))e_j + \theta^j(Y)\nabla_Xe_j \\ &= X(\theta^j(Y))e_j + \theta^j(Y)\omega^i_j(X)e_i, } \] 交换 \(X,Y\) 得到 \[ \nabla_YX = Y(\theta^j(X))e_j + \theta^j(X)\omega^i_j(Y)e_i. \] 又 \([X,Y]=\theta^i([X,Y])e_i\), 三式相减, \[ \Align{ T(X,Y) &= \nabla_XY - \nabla_YX - [X,Y] \\ &= \bqty{X(\theta^i(Y)) - Y(\theta^i(X)) - \theta^i([X,Y])} e_i \\ &\quad{}+ \bqty{\theta^j(Y)\omega^i_j(X) + \theta^j(X)\omega^i_j(Y)} e_i \\ &= (\dd\theta^i+\omega^i_j)(X,Y)e_i. } \] 即 \(\tau^i=\dd\theta^i+\sum_j\omega^i_j\wedge\theta^j\).

下面的定理是黎曼几何基本定理 (黎曼流形上的黎曼联络唯一存在) 的微分形式版本.

Claim 8.6 设黎曼流形 \(M\), 开集 \(U\) 上有正交归一标架 \(\qty{e_1,\dots,e_n}\), 对偶标架 \(\qty{\theta^1,\dots,\theta^n}\). 则存在唯一的反对称 \(1\)-形式矩阵 \([\omega^i_j]\), 使得 (联络无挠) \[ \dd\theta^i+\sum\omega^i_j\wedge\theta^j=0\quad(i=0,\dots,n). \]

下面给两个例子, 看看联络和曲率形式具体怎么算. 这两个例子分别给出了二维双曲几何的两个模型.

Example 1 Poincaré 圆盘. 设复平面中的开圆盘 \[ \mathbb{D} = \qty{z=x+\i y\in\C:|z|<1} \] 配以黎曼度量 \[ \lr{\cdot,\cdot} = \frac{4(\dd{x}\otimes\dd{x}+\dd{y}\otimes\dd{y})}{(1-|z|^2)^2} = \frac{4(\dd{x}\otimes\dd{x}+\dd{y}\otimes\dd{y})}{(1-x^2-y^2)^2}. \] 一个正交归一标架是 \[ \Align{ e_1&=\frac12(1-|z|^2)\pdv{x}, & e_2&=\frac12(1-|z|^2)\pdv{y}. } \] 其对偶标架是 \[ \Align{ \theta^1&=\frac2{1-|z|^2}\dd{x}, & \theta^2&=\frac2{1-|z|^2}\dd{y}. } \] 下面利用 Claim 8.5 来解出黎曼联络的 \(\omega^i_j\). 首先计算 \[ \Align{ \dd\theta^1 &= \pdv{y}\frac2{1-|z|^2}\dd{y}\wedge\dd{x} = \frac{-4y}{(1-|z|^2)^2}\dd{x}\wedge\dd{y}, \\ \dd\theta^2 &= \pdv{x}\frac2{1-|z|^2}\dd{x}\wedge\dd{y} = \frac{4x}{(1-|z|^2)^2}\dd{x}\wedge\dd{y}. } \] 注意到 \([\omega^i_j]\) 是反对称的, \(\omega^1_1=\omega^2_2=0\), \(\omega^1_2=-\omega^2_1\), 所以只需解出 \(\omega^1_2\). 设 \(\omega^1_2=a\theta^1+b\theta^2\) (\(a,b\) 为光滑函数). 将 Claim 8.5 的方程组写开来并化简, \[ \Cases{ \dd\theta^1+\omega^1_1\wedge\theta^1+\omega^1_2\wedge\theta^2 = 0, \\ \dd\theta^2+\omega^2_1\wedge\theta^1+\omega^2_2\wedge\theta^2 = 0, } \quad\textsf{即}\quad \Cases{ \dd\theta^1+\omega^1_2\wedge\theta^2 = 0, \\ \dd\theta^2-\omega^1_2\wedge\theta^1 = 0. } \] 带入右式得到 \[ \left\{\Align{ \dfrac{-4y}{(1-|z|^2)^2}\dd{x}\wedge\dd{y}{} + \frac{4a}{(1-|z|^2)^2}\dd{x}\wedge\dd{y}{} &= 0, \\ \dfrac{4x}{(1-|z|^2)^2}\dd{x}\wedge\dd{y}{} + \frac{4b}{(1-|z|^2)^2}\dd{x}\wedge\dd{y}{} &= 0. \\ }\right. \] 解得 \(a=y\), \(b=-x\), \(\omega^1_2=y\theta^1-x\theta_2\). 再利用结构方程求出曲率 (同样只有一个独立分量 \(\Omega^1_2\)) \[ \Align{ \Omega^1_2 &= \dd\omega^1_2 + \omega^1_2\wedge\omega^2_1 \\ &= \dd(y\theta^1-x\theta_2) + (y\theta^1-x\theta_2)\wedge(-y\theta^1+x\theta_2) \\ &= \frac{-4}{(1-|z|^2)^2}\dd{x}\wedge\dd{y}. } \]

Example 2 Poincaré 半平面. 设上半平面 \[ \mathbb{H}^2 = \qty{(x,y):y>0} \] 配以黎曼度量 \[ \lr{\cdot,\cdot} = \frac{\dd{x}\otimes\dd{x}+\dd{y}\otimes\dd{y}}{y^2}. \] 一个正交归一标架和对偶标架是 \[ \Align{ e_1&=y\pdv{x}, & e_2&=y\pdv{y}, \\ \theta^1&=\frac1y\dd{x}, & \theta^2&=\frac1y\dd{y}. } \] 于是 \[ \Align{ \dd\theta^1&=\frac1{y^2}\dd{x}\wedge\dd{y}, & \dd\theta^2&=0. } \] 同样设 \(\omega^1_2=a\theta^1+b\theta^2\), 带入方程得到 \[ \left\{\Align{ \frac1{y^2}\dd{x}\wedge\dd{y}{} +(a\theta^1+b\theta^2)\wedge\theta^2&=0, \\ 0-(a\theta^1+b\theta^2)\wedge\theta^1 &=0. }\right. \] 解得 \(a=-1\), \(b=0\), \(\omega^1_2=-\theta^1\). 曲率 \[ \Omega^1_2 =\dd\omega^1_2 + \omega^1_2\wedge\omega^2_1 =-\frac1{y^2}\dd{x}\wedge\dd{y}. \]

9 The Theorema Egregium Using Forms

本节中, 我们先推导高斯绝妙定理的微分形式版本, 给出几个例子; 再将高斯曲率的概念推广到任意二维黎曼流形, 乃至高维黎曼流形(截面曲率).

9.1 The Gauss curvature equation

设欧氏空间 \(\R^3\) 中的光滑曲面 \(M\), 点 \(p\in M\) 在 \(M\) 中的开邻域 \(U\). 在 \(U\) 上有正交归一标架 \(e_1,e_2\), 令 \(e_3=e_1\times e_2\), 于是 \(e_1,e_2,e_3\) 构成了 \(T\R^3|_U\) 的正交归一标架.

欧氏空间 \(\R^3\) 的黎曼联络是方向导数 \(D\), 写出它的联络形式: \[ \Align{ D_Xe_1 &= \hspace{3.57em} {}-\omega^1_2(X)e_2 -\omega^1_3(X)e_3, \\ D_Xe_2 &= \omega^1_2(X)e_1 \hspace{4.8em} {}-\omega^2_3(X)e_3, \\ D_Xe_3 &= \omega^1_3(X)e_1 +\omega^2_3(X)e_2, \\ }\quad X\in\Gamma(T\R^3|_U). \] 曲面 \(M\) 的黎曼联络 \(\nabla=\operatorname{pr}(D)\) 为方向导数的切向分量, \[ \Align{ \nabla_Xe_1 &= -\omega^1_2(X)e_2, \\ \nabla_Xe_2 &= \omega^1_2(X)e_1. \\ } \] 于是 \(\nabla\) 的联络矩阵 \[ \omega=\pmqty{ 0&\omega^1_2\\-\omega^1_2&0 }, \] 曲率矩阵 \[ \Omega =\dd{\omega}+\omega\wedge\omega =\pmqty{0&-\dd\omega^1_2\\\dd\omega^1_2&0} \] 所以曲率形式只有一个独立的分量 \(\Omega^1_2=\dd\omega^1_2\)​.

另一方面, 取 \(N=-e_3\) 为曲面 \(M\) 的定向, 则形状算子 \[ L(X) = -D_XN = D_Xe_3 = \omega^1_3(X)e_1+\omega^2_3(X)e_2,\quad X\in{\frak X}(U) \] 高斯曲率方程给出了曲率和形状算子的关系.

Claim 9.1 (高斯曲率方程) 设 \(\R^3\) 中光滑曲面 \(M\) 的开子集 \(U\) 上有正交归一标架 \(e_1,e_2\), 又 \(e_3\) 为 \(U\) 上的单位法向量场. 曲面 \(M\) 上的黎曼联络的曲率形式 \(\Omega^1_2\) 以及方向导数 \(D\) 的联络形式 \(\omega^1_3,\omega^2_3\) 满足 \[ \Omega^1_2 = \omega^1_3\wedge\omega^2_3. \]

Pf 方向导数 \(D\) 的曲率形式为零, 即 \[ \Align{ \dd\omega^i_j + \sum_k\omega^i_k\wedge\omega^k_j = 0. } \] 特别地, 上式的所谓 "切向部分" \[ \dd\omega^1_2+\omega^1_3\wedge\omega^3_2 = 0. \] 根据之前的推导, \(\Omega^1_2=\dd\omega^1_2\), 并且注意到 \(\omega^3_2=-\omega^2_3\), 上式即化为高斯曲率方程.

9.2 The Theorema Egregium

Claim 9.2 (高斯绝妙定理) 设 \(\R^3\) 中可定向的光滑曲面 \(M\), 开集 \(U\subset M\) 上有正交归一标架 \(e_1,e_2\) 以及对偶标架 \(\theta^1,\theta^2\), 则 \(M\) 的高斯曲率 \[ K=\Omega^1_2(e_1,e_2), \] 或者 \[ \Omega^1_2=K\theta^1\wedge\theta^2. \]

Pf 高斯曲率定义为形状算子的行列式, \[ \Align{ K=\det L &=\det\pmqty{ \omega^1_3\pqty{e_1} & \omega^1_3\pqty{e_2} \\ \omega^2_3\pqty{e_1} & \omega^2_3\pqty{e_2} } \\ &=(\omega^1_3\wedge\omega^2_3)(e_1,e_2) \\ &=\Omega^1_2(e_1,e_2). } \] 其中最后一个等号用了高斯曲率方程. 进一步, \[ \Omega^1_2(e_1,e_2)=K=K(\theta^1\wedge\theta^2)(e_1,e_2), \] 因为一个 \(2\)-形式的取值由其在基底 \(e_1,e_2\) 上的取值唯一确定, 所以 \(\Omega^1_2=K\theta^1\wedge\theta^2\).

几个例子.

Example 1 Poincaré 圆盘和 Poincaré 半平面的高斯曲率.

先看圆盘. 之前已经算出 \[ \Align{ \Omega^1_2=\frac{-4}{(1-|z|^2)^2}\dd{x}\wedge\dd{y}, } \] 离高斯曲率只有一步之遥: \[ \Align{ K &=\Omega^1_2(e_1,e_2) \\ &=\frac{-4}{(1-|z|^2)^2}\dd{x}\wedge\dd{y} \pqty{\frac{1-|z|^2}2\pdv{x},\frac{1-|z|^2}2\pdv{y}} = -1. } \] 同样地, 半平面上有 \[ K=\Omega^1_2(e_1,e_2) =-\frac1{y^2}\dd{x}\wedge\dd{y} \pqty{y\pdv{x},y\pdv{y}} = -1. \] 两者都具有常曲率 \(-1\).

既然曲率相同, 那么一个自然的问题就是, 它们是否等距同构? 答案是肯定的. 实际上, 存在上半平面到圆盘的一个双射 \[ T:\H\to\mathbb{D},\quad z\mapsto\frac{z-\i}{z+\i}, \] 下面还要验证它是等距同构. 设 \(z=x+\i y\in\H\), \(v,w\in T_z\H\cong\C\), 又 \(T\) 的切映射 (微分) \[ T_{*z}(v^x+\i v^y)=\frac{2\i}{(z+\i)^2}(v^x+\i v^y), \] 于是 \[ \Align{ \lr{T_*v,T_*w}_{\mathbb{D},T(z)} &= 4\cdot\frac{\dd{x}(T_*v)\dd{x}(T_*w)+\dd{y}(T_*v)\dd{y}(T_*w)} {(1-|Tz|^2)^2} \\ &= \frac{4\cdot\Re[(T_*v)\overline{(T_*w)}]}{(1-|Tz|^2)^2} \\ &= \frac{v^xw^x+v^yw^y}{y^2}= \lr{v,w}_{\H,z}. } \] 所以 \(T\) 的确是一个等距同构!

Example 2 曲面的高斯曲率. 设曲面 \(M\) 的黎曼度量在局部坐标 \(\qty{x,y}\) 下为 \[ \lr{\cdot,\cdot}_{(x,y)} =\phi(x,y)\dd{x}\otimes\dd{x}{} + \psi(x,y)\dd{y}\otimes\dd{y}, \] 其中 \(\phi,\psi\) 为正值光滑函数. 正交归一标架和对偶标架 \[ \Align{ e_1&=\frac1\phi\pdv{x}, & e_2&=\frac1\psi\pdv{y}, \\ \theta^1&=\phi\dd{x}, & \theta^2&=\psi\dd{y}. } \] 于是 \(\dd{\theta^1}=-\phi_y\dd{x}\wedge\dd{y}\), \(\dd\theta^2=\psi_x\dd{x}\wedge\dd{y}\). 解得 \[ \omega^1_2=\frac{\phi_y}{\psi}\dd{x} - \frac{\psi_x}{\phi}\dd{y}. \] 于是 \[ \Omega^1_2 =\dd\omega^1_2 =-\pqty{ \pqty{\frac{\psi_x}{\phi}}_x+\pqty{\frac{\phi_y}{\psi}}_y } \dd{x}\wedge\dd{y}, \] 高斯曲率 \[ K=\Omega^1_2(e_1,e_2)=-\frac1{\phi\psi} \pqty{ \pqty{\frac{\psi_x}{\phi}}_x+\pqty{\frac{\phi_y}{\psi}}_y }. \] 用这个公式可以直接算出 Poincaré 双曲模型, 球面等曲面的曲率.

之前证明过, 高斯曲率在等距同构下不变. 等距同构可以看作一类更广泛的变换的特例. 黎曼流形 \(M,N\) 间的共形映射(conformal map) \(T:M\to N\) 指的是在每一点都保持切向量夹角的微分同胚. 换言之, 对任意 \(p\in M\), 存在正数 \(a(p)\), 使得 \[ \lr{T_*v,T_*w}_{N,T(p)} = a(p)\lr{v,w}_{M,p}. \] 为了实际操作的方便, 一般将 \(N\) 上的度量通过等距同构拉回到 \(M\) 上, 于是 \(M\) 上拥有了两个黎曼度量 \[ \lr{\cdot,\cdot}'_p = a(p)\lr{\cdot,\cdot}_p, \] 称这两个度量是共形等价的(conformal equivalent), 研究 \(M,N\) 的曲率的关系就是研究 \(M\) 上这两个度量的曲率的关系.

Claim 9.3 设二维流形 \(M\) 上有共形等价的度量 \(\lr{\cdot,\cdot}'=\e^{2\rho}\lr{\cdot,\cdot}\), 则它们的高斯曲率 \(\tilde K,K\) 满足 \[ \tilde K=\e^{-2\rho}(K-\Delta\rho). \]

• 其中 \(\Delta\) 为 \(\lr{\cdot,\cdot}\) 的 Laplace-Beltrami 算子, 是 \(\R^n\) 中 Laplace 算子的推广, 定义为 \[ \Delta f:=\tr\nabla^2f\equiv\sum_i \nabla^2_{e_i,e_i}f , \] 而二阶协变导数 (其中 \(\nabla\) 为 \(\lr{\cdot,\cdot}\) 的黎曼联络) \[ \nabla^2_{X,Y}f := \nabla_X\nabla_Yf-\nabla_{\nabla_XY}f. \]

• 特别地, 当 \(a(p)\) 为正的常数, 有 \[ \tilde{K} = \frac1{a}K. \]

Pf 先给出 Laplace-Beltrami 算子在局部标架 \(\qty{e_1,\dots,e_n}\) 下的公式: \[ \Delta f = \sum_i e_i(e_if) - \sum_{i,j}\omega^j_i(e_i) e_j(f). \] 设 \(\lr{\cdot,\cdot}\) 的正交归一标架 \(\{e_1,e_2\},\{\theta^1,\theta^2\}\), 则 \(\lr{\cdot,\cdot}'\) 的正交归一标架 \[ \Align{ \tilde{e}_1 &= \e^{-\rho}e_1, & \tilde{e}_2 &= \e^{-\rho}e_2, & \tilde\theta^1 &= \e^\rho\theta^1, & \tilde\theta^2 &= \e^\rho\theta^2. } \] 从结构方程解得两个度量的联络形式满足 \[ \tilde\omega^1_2 = \omega^1_2 + \rho_2\theta^1 - \rho_1\theta^2, \] 其中 \(\rho_i=e_i(\rho)\), \(\dd\rho=\sum\rho_i\theta^i\). 进一步得到曲率形式 \[ \tilde\Omega^1_2 = \Omega^1_2 - (\rho_{11}+\rho_{22})\theta^1\wedge\theta^2 + \dd\rho \wedge \omega^1_2. \] 高斯曲率 \[ \Align{ \tilde{K} = \tilde\Omega^1_2(\tilde{e}_1,\tilde{e}_2) &= \e^{-2\rho}K - \e^{-2\rho}\bqty{ (\rho_{11}+\rho_{22}) - \rho_1\omega^1_2(e_2) - \rho_2\omega^2_1(e_1) } \\ &= \e^{-2\rho}(K - \Delta\rho). } \]

9.3 Sectional curvature

二维曲面的高斯曲率与它嵌入 \(\R^3\) 的方式无关, 只和它的黎曼度量有关, 因此可以对一个抽象的二维黎曼流形定义高斯曲率. 对于一个二维黎曼流形 \(M\), 其在 \(p\) 点的高斯曲率定义为 \[ K_p := \lr{R_p(u,v)v,u}, \] 其中 \(\qty{u,v}\) 是 \(T_pM\) 的某正交归一基底. 为了说明这是良定义的, 需要验证 \(K_p\) 与基底 \(\qty{u,v}\) 的取法无关. 设另一基底 \[ \Align{ \bar{u}&=au+bv, & \bar{v}&=cu+dv, } \] 其中系数组成正交矩阵 \(A=\pmqty{a&b\\c&d}\). 根据黎曼曲率张量的反对称性质, \[ \Align{ \lr{R_p(\bar{u},\bar{v})\bar{v},\bar{u}} &= (\det{A})\lr{R_p(u,v)\bar{v},\bar{u}} \\ &= (\det{A})^2\lr{R_p(u,v)v,u}. } \] 正交阵有 \((\det{A})^2=1\), 所以 \(\lr{R_p(\bar{u},\bar{v})\bar{v},\bar{u}}=\lr{R_p(u,v)v,u}\). 从证明过程中也可以看到, 对于一个任意的基底 \(\qty{u,v}\), 高斯曲率的公式中多出来一个行列式的完全平方, \[ K_p=\frac{\lr{R_p(u,v)v,u}}{\lr{u,u}\lr{v,v}-\lr{u,v}^2}. \] 对于高维黎曼流形 \(M\), 设 \(T_pM\) 的一个二维子空间 \(P\), 可以定义 \(P\) 的截面曲率(sectional curvature) \[ K(P) := \frac{\lr{R_p(u,v)v,u}}{\lr{u,u}\lr{v,v}-\lr{u,v}^2}, \] 其中 \(\qty{u,v}\) 是 \(P\)​​ 的一个基底.

• 曲率 \(R\), 黎曼曲率张量, 截面曲率都是等距不变量.

结合曲率形式的定义, 可以得出: 设 \(\qty{e_1,\dots,e_n}\) 为 \(T_pM\) 的正交归一标架, \(P\) 为 \(\qty{e_i,e_j}\) \((i\neq j)\) 张成的二维子空间, 则截面曲率 \[ K(P) = \Omega^i_j(e_i,e_j). \] 如果 \(M\) 的任意一点的任意一个截面曲率都相同, 则称 \(M\) 为常曲率流形. 常曲率流形是最简单的黎曼流形, (完备的单连通常曲率流形) 根据曲率的符号可以分为三种:

• 单位球面 \(S^n=\qty{x\in\R^{n+1}:\|x\|=1}\) 配以诱导度量, 具有常曲率 \(+1\).

• 欧氏空间 \(\R^n\), 具有常曲率 \(0\).

• Poincaré 球 \(\mathbb{B}^n=\qty{x\in\R^n:\|x\|<1}\) 配以如下度量, 具有常曲率 \(-1\): \[ \lr{\cdot,\cdot}_{x} = \frac4{(1-\|x\|^2)^2}\sum_{i=1}^n\dd{x}^i\otimes\dd{x}^i. \] 或者 Poincaré 上半空间 \(\H^n=\qty{x\in\R^n:x_n>0}\) 配以如下度量, 也具有常曲率 \(-1\): \[ \lr{\cdot,\cdot}_{x} = \frac1{(x^n)^2}\sum_{i=1}^n\dd{x}^i\otimes\dd{x}^i. \]

具有其它常曲率的流形可以通过缩放度量 \(\lr{\cdot,\cdot}'=a\lr{\cdot,\cdot}\) (\(a>0\)​​) 得到.

Example 1 单位球面 \(S^n\)​.

单位球面有很好的对称性, 我们可以直接从定义来求曲率. 设 \(S^n\) 的黎曼联络 \(\nabla\), 光滑法向量场 \(N\) 指向外侧, \(X,Y\in{\frak X}(S^n)\). 首先注意到 \[ \Align{ 0 = X\lr{Y,N} = \lr{D_XY,N}+\lr{Y,D_XN} } \] 于是黎曼联络 \[ \Align{ \nabla_XY = \operatorname{pr}(D_XY) &= D_XY - \lr{D_XY,N}N \\ &= D_XY + \lr{X,Y}N. } \] 求出二阶导数 \[ \Align{ \nabla_X\nabla_YZ &= \nabla_XD_YZ+\nabla_X(\lr{Y,Z}N) \\ &= D_XD_YZ + \pqty{\lr{X,D_YZ}+\lr{\nabla_XY,Z}+\lr{Y,\nabla_XZ}}N +\lr{Y,Z}X, } \] 交换 \(X,Y\) 给出 \(\nabla_Y\nabla_XZ\), 同时可以求出 \(\nabla_{[X,Y]}Z\). 此三式相减, 并利用 \(D\) 的曲率为零, 化简得 \[ \Align{ R(X,Y)Z &= \nabla_X\nabla_YZ - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z \\ &= \lr{Y,Z}X-\lr{X,Z}Y. } \] 任意一点 \(p\in S^2\), 正交归一向量组 \(\qty{e_1,e_2}\subset T_pS^2\) 给出的截面曲率为 \[ K(P) = \lr{R_p(e_1,e_2)e_2,e_1} = \lr{e_2,e_2}\lr{e_1,e_1} - \lr{e_1,e_2}\lr{e_2,e_1} = 1. \] 证明了 \(S^n\) 是截面曲率为 \(1\) 的常曲率流形.

Example 2 Poincaré 上半空间 \(\H^n\)​ 的截面曲率.

正交归一标架 \(\qty{e_i=x^n\partial_i}\), 对偶标架 \(\qty{\theta^i=1/x^n\dd{x^i}}\), \[ \Align{ \dd{\theta^i} &= \frac1{(x^n)^2} \dd{x^i}\wedge\dd{x^n}\quad (i<n), & \dd{\theta^n} &= 0. } \] 解结构方程 \(0=\dd\theta^i+\sum\omega^i_j\wedge\theta^j=0\) 得到 \[ \Align{ -\omega^i_n &= \omega^n_i = \frac1{x^n}\dd{x^i}\quad(i<n), & \omega^i_j &= 0\quad(i,j<n). } \] 于是 \[ \Omega^i_j = \dd\omega^i_j+\sum_k\omega^i_k\wedge\omega^k_j = -\theta^i\wedge\theta^j, \] 计算表明, 这足以保证 \(\H^n\) 具有常截面曲率 \(-1\).