GTM275 | 10 主丛与示性类

GTM275 (Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes) 第 27 节的笔记.

26 Lie Group Actions

26.1 Lie group actions

李群 \(G\) 在光滑流形 \(M\) 上的光滑右作用(right action)指的是光滑映射 \[ \Align{ \mu:M\times G &\to M, \\ (x,g) &\mapsto \mu(x,g) =: x\cdot g = xg } \] 满足对任意 \(x\in M\), \(g,h\in G\),

1. \(xe=x\), \(e\in G\) 为恒等元.
2. \((xg)h=x(gh)\).

若存在这样的映射 \(\mu\), 称 \(G\) 光滑地右作用于 \(M\) (\(G\) acts smoothly on \(M\) on the right).

• 换言之, 一个右作用 \(g\mapsto(x\mapsto xg)\) 可以看作 \(G\) 到 \({\rm Diff}(M)\) (\(M\) 的微分同胚群) 的一个群同态.
• 同理, 可以定义 \(G\) 在 \(M\) 上的左作用.

在 \(G\) 的光滑作用下, 点 \(x\in M\) 的稳定化子(stabilizer)指的是 \(G\) 的子群 \[ {\rm Stab}(x):=\{g\in G\mid xg=x\}. \] 点 \(x\in M\) 的轨道(orbit)指的是 \(M\) 的子集 \[ {\rm Orbit}(x):=xG:=\{xg\in M\mid g\in G\}. \] 所有轨道组成的集合称为 \(M\) 的轨道空间(orbit space), 记作 \(M/G:=M/{\sim}\), 其中等价关系定义为 \[ x\sim y\iff x=yg,\quad\exists g\in G. \] 取定 \(x\in M\), 记 \({\rm Stab}(x)\backslash G\) 为 \({\rm Stab}(x)\) 在 \(G\) 中所有右陪集的集合. 根据轨道-稳定化子定理, 映射 \(G\to{\rm Orbit}(x)\), \(g\mapsto xg\) 诱导出双射 \[ \Align{ {\rm Stab}(x)\backslash G &\longleftrightarrow {\rm Orbit}(x) \\ {\rm Stab}(x)g &\longleftrightarrow xg. } \]

• 如果 \(M\) 中每一点 \(x\) 的稳定化子都是平凡子群 \(\{e\}\), 则称 \(G\) 在 \(M\) 上的作用是自由的(free). 此时 \(G\cong{\rm Orbit}(x)\).

• 如果 \(M\) 只有一条轨道, 即 \(M=xG\) 对任意 \(x\in M\), 则称 \(G\) 在 \(M\) 上的作用是传递的(transitive). 换言之, 对任意 \(x,y\in M\), 都存在 \(g\in G\), 使得 \(x=yg\). 此时, \({\rm Stab}(x)\) 是一个正规子群, \[ \Align{ G/{\rm Stab}(x) &\longleftrightarrow M \\ {\rm Stab}(x)g &\longleftrightarrow xg } \] 给出了一个双射.

26.2 Equivariant maps

一个有 \(G\) 右作用的流形称为 右 \(G\)-流形. 右 \(G\)-流形间的映射 \(f:N\to M\) 称为 右 \(G\)-等变映射, 若 \[ f(xg)=f(x)g,\quad\forall (x,g)\in N\times G. \] 相似地, 还有左 \(G\)-流形间的左 \(G\)-等变映射.

左作用和右作用可以相互定义. 例如, 若 \(G\) 左作用于 \(M\), 则 \[ xg := g^{-1}x \] 定义了 \(G\) 在 \(M\) 上的右作用. 设 \(N\) 是右 \(G\)-流形, \(M\) 是左 \(G\)-流形, 映射 \(f:N\to M\) 称为 \(G\)-等变映射(\(G\)-equivariant map), 若 \[ f(xg) = f(x)g \equiv g^{-1}f(x),\quad\forall (x,g)\in N\times G. \]

Claim 26.1 任意群 \(G\) 上的 \(G\)-等变映射 \(f:G\to G\) 是左平移.

Pf 根据等变映射的定义, 其中令 \(x=e\), 有 \[ f(g) = f(eg) = f(e)g = l_{f(e)}g,\quad\forall g\in G. \] 即 \(f(g)\) 是 \(g\) 在 \(f(e)\) 下的左平移.

Claim 26.2 (等变常秩定理) 设 \(G\)-流形 \(N,M\) 间的光滑等变映射 \(f:N\to M\), 且 \(G\) 传递地作用于 \(N\), 则 \(f\) 为常秩映射.

• 进一步, 若 \(f\) 是单射/满射, 则 \(f\) 是浸入/淹没; 若 \(f\) 为双射, 则 \(f\) 是微分同胚.

Pf 记 \(N,M\) 上的 \(G\) 作用分别由 \(\sigma_g(x)=xg\) 和 \(\rho_g(y)=yg\) 给出. 等变性给出 \(f\circ\sigma_g=\rho_g\circ f\), 应用链式法则得到交换图 \[ \xymatrix{ T_xN \ar[r]^(.45){f_{*,x}} \ar[d]_{\sigma_g} & T_{f(x)}M \ar[d]^{\rho_g} \\ T_xN \ar[r]_(.45){f_{*,xg}} & T_{f(x)}M. } \] 上图中竖直的映射都是线性同构, 所以 \(f_{*,x}\) 和 \(f_{*,xg}\) 有相同的秩. 因为 \(G\) 传递地作用于 \(N\), 所以 \(xg\) 取遍 \(N\), \(f\) 是常秩映射.

26.3 Fundamental vector fields

李群 \(G\) 在流形 \(M\) 上的光滑右作用可以看作同态 \(\rho:G\to{\rm Diff}(M)\), \(g\mapsto(x\mapsto xg)\). 一个问题是, \(\rho\) 是否能诱导出对应的李代数同态 \(\rho_{*,e}:{\frak g}\to{\rm Lie}({\rm Diff}(M))\)? 如果 \(\rho_{*,e}\) 存在的话, 可以看作是李群作用的线性化.

• 微分同胚群 \({\rm Diff}(M)\) 是一个无穷维李群. 可以证明, 它的李代数是 \(\Gamma(TM)\), 即所有光滑向量场在对易子下构成的李代数. 在学习李导数时, 我们知道完备向量场 \(X\) 的流可以给出单参数微分同胚群, 这给出了 \(\Gamma(TM)\to{\rm Diff}(M)\) 的一个对应关系. 我们下面要做的就是反过来找向量场 \(X\).

实际上, 不难找到这个 \(\rho_{*,e}\). 对于 \(A\in{\frak g}\), 它给出单参子群 \(\{\exp(tA)\}\). 点 \(p\in M\) 在单参子群作用下的轨道 \[ p\{\exp(tA)\} = \{ p\exp(tA) \mid t\in\R \} \] 可以等同于曲线 \(c(t):=p\exp(tA)\). 取 \(p\) 处的切向量, 记为 \[ \underline{A}_p := c'(0) \equiv \eval{\dv{t}}_0 p\exp(tA) \in T_pM \] 我们断言, 上式定义了 \(M\) 上的一个光滑向量场 \(\underline{A}\in\Gamma(TM)\). 可以证明, \(A\mapsto\underline{A}\) 就是我们想要的李代数同态 \(\rho_{*,e}\). 向量场 \(\underline{A}\) 可以看作 \(A\) 生成的无穷小变换在 \(M\) 上的 "无穷小作用". 向量场 \(\underline{A}\) 称为 \(M\) 关于 \(A\) 的基本向量场(fundamental vector field).

• 从定义立刻看出, \(c(t)=p\exp(tA)\) 是 \(\underline{A}\) 过 \(p\) 的积分曲线, 因此 \(\underline{A}\) 是完备的.

Claim 26.3 对于 \(A\in{\frak g}\), 如上定义的向量场 \(\underline{A}\) 是光滑的.

Pf 设光滑函数 \(f\in C^\infty(M)\), 只需证明 \(\underline{A}_pf\) 关于 \(p\) 是光滑的. 基本向量场定义为 \(c=p(\exp(tA))\) 的切向量, \[ \Align{ \underline{A}_pf = c_*\pqty{\eval{\dv{t}}_0}f = \eval{\dv{t}}_0 c^*f &=\eval{\dv{t}}_0 f(p\exp(tA)) \\ &=\eval{\dv{t}}_0 (f\circ\mu)(p,\exp(tA)). } \] 其中 \(\mu:M\times G\to M\) 是右作用. 因为 \(\exp(tA)\) 关于 \(t\) 光滑, \(f\) 和 \(\mu\) 光滑, 所以 \[ \dv{t} (f\circ\mu)(p,\exp(tA)) \] 关于 \(p,t\) 光滑, 于是 \(\underline{A}_pf\) 关于 \(p\) 光滑.

为了方便, 记 \(j_p:G\to M\), \(j_p(g)=\rho(g)(p)=pg\). 于是 \(j_p\) 在恒等元处的切映射 \[ j_{p*}(A) = \eval{\dv{t}}_0 j_p(\exp(tA)) = \eval{\dv{t}}_0 p\exp(tA) = \underline{A}_p, \] 即 \(\underline{A}_p=j_{p*}(A)\), 这说明 \(A\mapsto\underline{A}\) 是 \(\R\)-线性的. 下面我们还要证明, \(A\mapsto\underline{A}\) 保持李括号, 进而的确是李代数同态.

• (左不变向量场) 考虑李群 \(G\) 在自身上的右平移作用, 此时 \(j_p(g)=pg=l_p(g)\). 于是 \(\underline{A}_p=l_{p*}(A)\) 正是 \(A\in{\frak g}\) 生成的左不变向量场.

• 一个简单的观察是 \(j_p\circ l_g=j_{pg}\), 应用链式法则: 对 \(A\in{\frak g}\) 有 \[ j_{p*}(\bar{A}_g) = (j_{p*}\circ l_{g*})(A) = j_{pg*}(A) = \underline{A}_{pg}, \] 换言之, 微分同胚 \(j_p\) 将左不变向量场 \(\bar{A}\) 推前到右作用的基本向量场 \(\underline{A}\).

Claim 26.4 设李群 \(G\) 光滑右作用于流形 \(M\). 对 \(A,B\in{\frak g}\), \[ \underline{[A,B]}=[\underline{A},\underline{B}]. \]

Pf 因为 \(j_p\) 将 \(\bar{A}\) 推前到 \(\underline{A}\), 并根据推前与李括号可交换, \[ \Align{ [\underline{A},\underline{B}]_p = [j_{*p}(\bar{A}),j_{*p}(\bar{B})]_p &= j_{p*}([\bar{A},\bar{B}]_e) \\ &= j_{p*}([A,B]) \\ &= \underline{[A,B]}_p. } \]

26.4 Properties of fundamental vector fields

设 \(c_g:G\to G\) 为共轭作用 \(c_g(h)=ghg^{-1}\). 伴随表示 \(\operatorname{Ad}_g\) 是 \(c_g\) 在恒等元处的切映射 \[ \operatorname{Ad}_{g} = (c_g)_* : {\frak g}\to{\frak g}. \]

Claim 26.5 设李群 \(G\) 光滑右作用于流形 \(M\). 设 \(r_g:M\to M\), \(r_g(p)=pg\) 为右平移. 对任意 \(A\in{\frak g}\), 基本向量场 \(\underline{A}\) 满足 \[ r_{g*}\underline{A} = \underline{\operatorname{Ad}_{g^{-1}}A}. \]

Pf 即对 \(p\in P\) 证明 \(r_{g*}(\underline{A}_p)=\underline{\operatorname{Ad}_{g^{-1}}A}_{pg}\). 任给 \(x\in G\), \[ (r_g\circ j_p)(x) = pxg = pgg^{-1}xg = (j_{pg}\circ c_{g^{-1}})(x). \] 即 \(r_g\circ j_p=j_{pg}\circ c_g\). 应用链式法则, \[ r_{g*}(\underline{A}_p) = (r_{g*}\circ j_{p*})(A) = (j_{pg*}\circ c_{g^{-1}*}) = j_{pg*}(\operatorname{Ad}_{g^{-1}}A) = \underline{\operatorname{Ad}_{g^{-1}}A}_{pg}. \]

Claim 26.6 设 \(p\in M\), 其稳定化子的李代数 \[ {\rm Lie}({\rm Stab}(p)) = \{A\in{\frak g} \mid \underline{A}_p=0\} \equiv \ker{j_{p*}}. \]

Pf 即证明, \(\underline{A}_p=0\) 当且仅当 \(A\in{\rm Lie}({\rm Stab}(p))\).

\(\Leftarrow\). 设 \(A\in{\rm Lie}({\rm Stab}(p))\), 则 \(\exp(tA)\in{\rm Stab}(p)\), 即 \(p\equiv\exp(tA)\), 则 \[ \underline{A}_p = \eval{\dv{t}}_0 p\exp(tA) = \eval{\dv{t}}_0p = 0. \] \(\Rightarrow\). 设 \(\underline{A}_p=0\), 则独点线 \(\gamma(t)\equiv p\) 是 \(\underline{A}\) 过 \(p\) 的积分曲线. 然而 \(p\exp(tA)\) 也是过 \(p\) 的积分曲线, 根据存在唯一性定理, \(p\equiv p\exp(tA)\), 即 \(\exp(tA)\in{\rm Stab}(p)\), 或 \(A\in{\rm Lie}({\rm Stab}(p))\).

Claim 26.7 设 \(N,M\) 为右 \(G\)-流形, \(f:N\to M\) 为 \(G\)-等变映射. 对 \(A\in{\frak g}\), \[ f_*(\underline{A}_{N,q}) = \underline{A}_{M,f(q)},\quad q\in N. \]

Pf 我们只需要证明两者作用于 \(g\in C^\infty(M)\) 给出相同结果. 有 \[ \Align{ f_*(\underline{A}_{N,q})(g) &= \underline{A}_{N,q}(g\circ f) \\ &= \eval{\dv{t}}_0 (g\circ f)(q\exp(At)) \\ &= \eval{\dv{t}}_0 g \Big( f(q\cdot\exp(At)) \Big) \\ &= \eval{\dv{t}}_0 g \Big( f(q)\cdot\exp(At) \Big) \\ &= \underline{A}_{M,f(q)}g. } \] 其中第四个等号利用了 \(f\) 的等变性: \(f(q\exp(At))=f(q)\exp(At)\).

设 \(G\) 在 \(M\) 上的光滑右作用 \(\mu:M\times G\to M\), 它的微分是 \[ \mu_{*,(p,g)}:T_{p,g}(M\times G)\to T_{pg}M. \] 因为 \(T_{p,g}(M\times G)\) 与 \(T_pM\oplus T_gG\) 认同, 而 \(T_gG\cong l_{g*}{\frak g}\) (因为左作用是微分同胚), 所以 \(T_{p,g}(M\times G)\) 中的向量形如 \[ (X_p,l_{g*}A),\quad X_p\in T_pM,\quad A\in{\frak g}. \]

Claim 26.8 (右作用的微分) 设 \(G\) 在 \(M\) 上的光滑右作用 \(\mu:M\times G\to M\), 则 \[ \mu_*(X_p,l_{g*}A) = r_{g*}(X_p) + \underline{A}_{pg}, \] 其中 \(X_p\in T_pM\), \(A\in{\frak g}\), \(r_g\) 是流形 \(M\) 上的右作用.

Pf 根据 \(\mu_*\) 的线性性, 可以分成两部分 \((X_p,0)\) 和 \((0,l_{g*}A)\) 分别计算.

第一部分. 设 \(c(t)\) 是从 \(p\) 开始, 以 \(X_p\) 为初速度的曲线, 则 \((c(t),g)\) 是从 \((p,g)\) 开始, 以 \((X_p,0)\) 为初速度的曲线, 有 \[ \Align{ \mu_*(X_p,0) &= \eval{\dv{t}}_0 \mu(c(t),g) \\ &= \eval{\dv{t}}_0 (r_g\circ c)(t) \\ &= r_{g*}(c'(0)) = r_{g*}(X_p). } \] 第二部分. 因为 \(c(t)=l_g(\exp(tA))\) 是从 \(g\) 开始, 以 \(l_{g*}A\) 为初速度的曲线, 所以 \((p,c(t))\) 是从 \((p,g)\) 开始, 以 \((0,l_{g*}A)\) 为初速度的曲线, 有 \[ \Align{ \mu_*(0,l_{g*}A) &= \eval{\dv{t}}_0 \mu(p,c(t)) \\ &= \eval{\dv{t}}_0 pg\exp(tA) \\ &= \underline{A}_{pg}. } \] 两部分相加得到结果.

27 Principal Bundles

27.1 Principal bundles

纤维丛.

设流形 \(E,M,F\). 光滑投射 \(\pi:E\to M\) 称为 \(M\) 上的一个光滑纤维丛(fiber bundle), 若其满足

• (局部平凡性) 对任意 \(p\in M\), 存在开邻域 \(U\) 和微分同胚 \(\phi_U:\pi^{-1}(U)\to U\times F\), 满足交换图 (即保纤维性) \[ \xymatrix{ \pi^{-1}(U) \ar[rr]^{\phi_U} \ar[rd]_{\pi} & & U\times F \ar[dl]^{{\rm pr}_1} \\ & U. } \]

开覆盖 \(\{(U,\phi)\}\) 称为平凡化开覆盖, \(\phi_U\) 称为局部平凡化. 流形 \(E\) 称为总空间, \(M\) 称为底空间, \(E_x:=\pi^{-1}(x)\) 称为 \(x\) 点的纤维. 因为 \(\pi\) 是淹没, 根据正则水平集定理(regular level set theorem), \(E_x\) 是 \(E\) 的正则子流形.

可以将纤维丛记作 \(F\hookrightarrow E\twoheadrightarrow M\).

Claim 27.1 平凡化 \(\phi_U\) 在 \(x\) 点的限制 \(\phi_{U,x}:E_x\to\{x\}\times F\) 是一个微分同胚.

Pf \(\phi_{U,x}\) 作为光滑映射 \(\phi_U\) 在正则子流形上的限制, 是光滑的. 因为 \(\phi_U\) 是保纤维的双射, \(\phi_{U,x}\) 是双射. 它的逆 \(\phi_{U,x}^{-1}\) 是光滑映射 \(\phi^{-1}_U:U\times F\to\pi^{-1}(U)\) 在纤维 \(\{x\}\times F\) 上的限制, 也是光滑的.

主丛.

若以李群 \(G\) 为纤维的光滑纤维丛 \(G\to P\to M\) 满足

1. \(G\) 自由地右作用于 \(P\);
2. 平凡化 \(\phi_U:\pi^{-1}(U)\to U\times G\) 是 \(G\)-等变映射;

则称 \(G\to P\to M\) 是一个光滑 \(G\)-主丛(principal \(G\)-bundle).

Claim 27.2 在 \(G\)-主丛 \(G\to P\to M\) 上, \(G\) 传递地作用于每个纤维.

• 纤维等于轨道: \(P_x={\rm Orbit}(x)\).

Pf 因为 \(G\) 传递地作用于 \(\{x\}\times G\), 且微分同胚 \(\phi_{U,x}:P_x\to\{x\}\times G\) 是等变映射, 说明 \(G\) 作用于 \(p\in P_x\) 不会跑出 \(P_x\), 并且作用是传递的.

主丛的一些例子:

• (积主丛) 最简单的 \(G\)-主丛是积丛 \(G\to M\times G\to M\).
• (Hopf 丛) 单位复数群 \(S^1\) 通过复数乘法作用于 \(\C^{n+1}\). 这个作用诱导出 \(S^1\) 在单位球面 \(S^{2n+1}\subset\C^{n+1}\) 上的作用. 复射影空间 \(\C P^n\) 可以与轨道空间 \(S^{2n+1}/S^n\) 认同. 则 \(S^1\to S^{2n+1}\to\C P^n\) 构成了 \(S^1\)-主丛, 称为 Hopf 丛.
• (齐性流形) 若 \(H\) 是李群 \(G\) 的闭子群, 在 \(G/H\) 上赋予商拓扑, 则 \(H\to G\to G/H\) 构成一个 \(H\)-主丛. 其中 \(G/H\) 称为齐性流形(homogeneous manifold). 容易证明, \(G\) 传递地作用于 \(G/H\).
• (齐性黎曼流形) 若黎曼流形 \(M\) 的等距同构群 \({\rm Iso}(M)\) 传递地作用于 \(M\), 则 \(M={\rm Iso}(M)/{\rm Stab}(x)\), 于是 \(M\) 构成一个齐性黎曼流形. 在 "完备性" 一节中, 我们讨论过齐性黎曼流形, 证明了它是完备的.

设 \(G\)-主丛 \(Q\to N\) 和 \(P\to M\), 一个 \(G\)-主丛态射指的是一对映射 \((\bar{f}:Q\to P,f:N\to M)\), 满足 \(\bar{f}\) 是 \(G\)-等变的, 且有交换图 \[ \xymatrix{ Q \ar[r]^{\bar{f}} \ar[d] & P \ar[d] \\ N \ar[r]_{f} & M. } \] 同构于积主丛 \(M\times G\) 的 \(G\)-主丛称为平凡主丛(trivial principal bundle).

Claim 27.3 主丛 \(G\to P\to M\) 的局部截面和局部平凡化一一对应. 特别地, 主丛有整体截面, 当且仅当它是平凡丛.

Pf 设局部平凡化 \(\phi_U:\pi^{-1}(U)\to U\times G\), 这给出了 \(U\) 上的光滑截面 \(s(x) := \phi_U^{-1}(x,e)\).

设局部截面 \(s:U\to P\), 构造 \(\psi:U\times G\to P|_U\), \(\psi(x,g):=s(x)g\), 显然这是光滑的保纤维映射.

• 单射性: 设 \(s(x)g=s(y)h\), 一方面, 不点的同纤维不相交, 有 \(x=y\); 另一方面, 由于 \(G\) 在 \(U\) 上的作用是自由的, 有 \(g=h\).
• 满射性, 因为 \(G\) 在 \(P_x\) 上的作用是传递的, 任意 \(p\in P_x\) 必然可写成 \(s(x)g\).

因此 \(\psi\) 是双射, 且 \(\psi^{-1}\) 光滑. \(\psi\) 和 \(\psi^{-1}\) 的等变性是显然的. 因此 \(\psi:U\times G\overset{\sim}\to P|_{U}\) 是丛同构.

转移函数.

设主丛 \(G\to P\to M\) 的平凡化开覆盖 \(\{U_\alpha\}\). 对于 \(U_{\alpha\beta}=U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset\), 有两个平凡化 \[ \xymatrix{ U_{\alpha\beta}\times G & \pi^{-1}(U_{\alpha\beta}) \ar[l]_{\phi_\alpha} \ar[r]^{\phi_\beta} & U_{\alpha\beta}\times G, } \] 则 \(\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}:U_{\alpha\beta}\times G\to U_{\alpha\beta}\times G\) 是一个保持纤维的 \(G\)-等变映射. 根据 Claim 26.2, 它在每一个纤维上的限制都是左平移, 因此 \[ (\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1})(x,h) = (x,g_{\alpha\beta}(x)h), \] 其中 \((x,h)\in U_{\alpha\beta}\times G\) 和 \(g_{\alpha\beta}(x)\in G\). 因为 \(\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}\) 是光滑的, 令 \(h=e\) 可得 \(g_{\alpha\beta}(x)\) 也是光滑的. 这些光滑函数 \(g_{\alpha\beta}:U_{\alpha\beta}\to G\) 称为主丛 \(P\) 关于 \(\{U_\alpha\}\) 的转移函数(transition function). 从定义可以看出, 转移函数满足上圈条件(cocycle condition): \[ g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma}, \quad U_{\alpha\beta\gamma}\neq\emptyset. \] 从此可得转移函数的其他性质:

1. \(g_{\alpha\alpha}\) 为恒等映射 \(e\).
2. \(g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}^{-1}\).

27.2 Frame bundles

对 \(r\) 维实线性空间 \(V\), 记 \({\rm Fr}(V)\) 为 \(V\) 的所有有序基底构成的集合. 记 \({\rm Fr}(V)\) 中的元素 \(v=[v_1,\dots,v_r]\), 则一般线性群 \({\rm GL}(r,\R)\) 通过矩阵乘法右作用于 \({\rm Fr}(V)\): \[ v\cdot a =[v_1,\dots,v_r][a^i_j] =[v_ia^i_1,\dots,v_ia^i_r]. \] 这个作用显然是自由且传递的. 固定 \(v\in{\rm Fr}(V)\), 根据轨道-稳定化子定理, 有双射 \[ \Align{ \phi_v:{\rm GL}(r,\R) = \frac{{\rm GL}(r,\R)}{{\rm Stab}(v)} &\longleftrightarrow {\rm Orbit}(x)={\rm Fr}(V), \\ g &\longleftrightarrow vg. } \] 这个双射诱导出 \({\rm Fr}(V)\) 上的光滑结构, 于是 \(\phi_v\) 成为微分同胚. 容易验证, 光滑结构不依赖 \(v\) 的选择. 流形 \({\rm Fr}(V)\) 称为 \(V\) 的标架流形(frame manifold).

设秩 \(r\) 的光滑向量丛 \(\pi:E\to M\), 定义其标架丛(frame bundle)为 \[ {\rm Fr}(E) = \coprod_{x\in M} {\rm Fr}(E_x), \] 自然投射 \(\pi:{\rm Fr}(E)\to M\) 将 \({\rm Fr}(E_x)\) 映到 \(\{x\}\). 下面我们在 \({\rm Fr}(E)\) 上的定义主丛结构. 丛 \(E\) 的局部平凡化 \(\phi_\alpha:E|_{U_\alpha}\to U_\alpha\times\R^r\) 诱导出双射 \[ \Align{ \tilde\phi_\alpha: {\rm Fr}(E)|_{U_\alpha} &\to U_\alpha\times{\rm Fr}(\R^r) \\ [v_1,\dots,v_r]\in{\rm Fr}(E_x) &\mapsto (x,[\phi_{\alpha,x}(v_1),\dots,\phi_{\alpha,x}(v_r)]) =: (x,\phi_{\alpha,x}[v_1,\dots,v_r]). } \] 这诱导出 \({\rm Fr}(E)|_{U_\alpha}\) 的光滑结构, 使得 \(\pi:{\rm Fr}\to M\) 是以 \({\rm Fr}(\R^r)\) 为纤维的纤维丛. 因为纤维 \({\rm Fr}(\R^r)\) 同构于 \({\rm GL}(r,\R)\), 后者自由地右作用于 \({\rm Fr}(E)\), 且 \(\psi_\alpha\) 在每一点的限制都是等变映射, 所以 \({\rm Fr}(E)\to M\) 构成一个 \({\rm GL}(r,\R)\)-主丛.

标架丛 \({\rm Fr}(E)\) 的转移函数由 \(E\) 诱导而来. 根据 \(\tilde\phi_\alpha\) 的定义, \[ \tilde{g}_{\alpha\beta}(x) = \phi_{\alpha,x}\circ\phi_{\beta,x}^{-1} \] 其中 \(\phi_{\alpha,x}\circ\phi_{\beta,x}^{-1}\in{\rm GL}(r,\R)\), 于是标架丛的转移函数 \(\tilde{g}_{\alpha\beta}:U_{\alpha\beta}\to{\rm GL}(r,\R)\) 同向量丛. 只不过 \(\tilde{g}_{\alpha\beta}\) 左作用于标架流形, 而 \(g_{\alpha\beta}\) 左作用于线性空间.

27.3 The vertical subbundle

根据主丛 \(G\to P\to M\) 的局部平凡性, 投射 \(\pi:P\to M\) 的切映射 \(\pi_{*,p}:T_pP\to T_{\pi(p)}M\) 是满射. 竖直子空间(vertical subspace)定义为是 \({\cal V}_p:=\ker{\pi_{*,p}}\). 有短正合列 \[ 0 \longrightarrow {\cal V}_p \longrightarrow T_pP \overset{\pi_{*,p}}\longrightarrow T_{\pi(p)}M \longrightarrow 0, \] 以及维数关系 \[ \dim{\cal V}_p = \dim{T_pP}-\dim{T_{\pi(p)}P} = \dim{G}. \] 竖直子空间中的向量称为竖直向量.

李群 \(G\) 右作用于总空间 \(P\). 回忆 \(A\in{\frak g}\) 的基本向量场 \(\underline{A}\in\Gamma(TP)\) 由映射 \(j_p(g)=pg\) 在恒等元处的切映射给出: \[ \underline{A}_p = j_{p*}(A) \in T_pP, \] 其中 \(\underline{A}_p\) 称为 \(p\) 处的基本向量.

Claim 27.4 (竖直向量 \(=\) 基本向量) 主丛 \(\pi:P\to M\) 在任意一点 \(p\in P\) 处的基本向量都是竖直向量, 反之亦然.

Pf 设基本向量 \(\underline{A}_p=j_{p*}(A)\). 注意到 \[ (\pi\circ j_p)(g)=\pi(pg)=\pi(p), \] 是一个常数. 于是 \[ \pi_{*,p}(\underline{A}_p) = (\pi_{*,p}\circ j_{p*})(A) = (\pi\circ j_p)_*(A) = 0, \] 即 \(\underline{A}_p\in{\cal V}_p\). 于是 \(j_{*p}:{\frak g}\to{\cal V}_p\), 下面我们来证明这是线性同构, 进而每个竖直向量都是基本向量.

• 单射性, 根据 Claim 26.6, \(\ker{j_{p*}}={\rm Lie}({\rm Stab}(p))\), 而 \(G\) 自由地作用于 \(P\), 所以稳定化子是平凡子群 \(\{e\}\), 故 \(\ker{j_{p*}}=0\).
• 因为 \(\dim{\cal V}_p=\dim{G}=\dim{\frak g}\), 所以 \(j_{*,p}\) 是同构.

设李代数 \({\frak g}\) 的基底 \(B_1,\dots,B_l\). 根据命题, 基本向量场 \(\underline{B_1},\dots,\underline{B_l}\) 在每一点都构成 \({\cal V}_p\) 的基底, 于是 (根据 Claim 18.2) 它们张成了 \(TP\) 的一个平凡子丛 \[ {\cal V} := \coprod_{p\in P} {\cal V}_p, \] 称为 \(TP\) 的竖直子丛(vertical subbundle).

回顾 "拉回丛" 一节的内容, 映射 \(\pi:P\to M\) 的微分 \(\pi_*:TP\to TM\) 诱导出丛映射 \(\tilde{\pi}_*:TP\to\pi^*TM\), 满足交换图 \[ \xymatrix{ TP \ar[rrd]^{\pi_*} \ar[rdd] \ar@{.>}[rd]|{\tilde{\pi}_*} \\ & \pi^*TM \ar[d] \ar[r]_{{\rm pr}_2} & TM \ar[d] \\ & P \ar[r]_{\pi} & M } \]

以及 \[ \tilde\pi_*(X_p) = (p,\pi_{*,p}X_p) \in (\pi^*TM)_p,\quad X_p\in T_pP. \] 这 \(\tilde{\pi}_*\) 是满射, 因为 \(\pi_{*,p}\) 将 \(T_pP\) 满射到 \(T_{\pi(p)}M\cong(\pi^*TM)_p\) 上. 映射 \(\tilde\pi_*\) 的核正是竖直子丛 \({\cal V}\). 因此有短正合列 \[ 0 \longrightarrow {\cal V} \longrightarrow TP \overset{\tilde\pi_*}\longrightarrow \pi^*TM \longrightarrow 0. \]

27.4 Horizontal distributions

流形 \(P\) 上的一个分布(distribution)指的是切丛 \(TP\) 的子丛 \(D\).

总空间的切丛 \(TP\) 有典范的竖直子丛 \({\cal V}\). 若 \(TP\) 的子丛 \({\cal H}\) 满足 \(TP={\cal V}\oplus{\cal H}\), 则称之为一个水平分布(horizontal distribution). 一般来说, \(TP\) 上没有一个典范的水平分布.

设 \(P\) 上选定了水平分布 \({\cal H}\). 此时, 对任意一点 \(p\in P\), 有两个自然投射 \[ \xymatrix@R=12px{ {{\cal H}_p} & T_pP \ar[r]^{v} \ar[l]_{h} & {{\cal V}_p} \\ & {{\cal V}_p\oplus{\cal H}_p} \ar@{=}[u] } \]

• 切向量 \(Y_p\in T_pP\) 的竖直分量指的是 \(v(Y_p)\).
• 切向量 \(Y_p\in T_pP\) 的水平分量指的是 \(h(Y_p)\).

需要注意, 虽然竖直子空间 \({\cal V}_p\) 是典范的, 但是竖直分量依赖于 \({\cal H}_p\) 的选择.

切向量分解给出向量场 \(Y\in\Gamma(TP)\) 的分解: \[ Y = v(Y)+h(Y) \equiv vY+hY. \]

Claim 27.5 设光滑水平分布 \({\cal H}\) 和光滑向量场 \(Y\in\Gamma(TP)\), 则 \(vY,hY\) 都是光滑的.

• 因此, \(v:\Gamma(TP)\to\Gamma({\cal V})\), \(h:\Gamma(TP)\to\Gamma({\cal H})\).

Pf 设李代数 \({\frak g}\) 的基底 \(B_1,\dots,B_l\), 则基本向量场 \(\underline{B_1},\dots,\underline{B_l}\) 是光滑的, 且张成 \({\cal V}\). 因为水平分布 \({\cal H}\) 光滑, 所以任意一点 \(p\) 都存在邻域 \(W\), 使得光滑向量场 \(X_1,\dots,X_n\) 张成 \({\cal H}|_W\). 因此, \[ \underline{B_1},\dots,\underline{B_l},X_1,\dots,X_n \] 构成了 \(TP|_W\) 的光滑标架. 任意 \(Y\in\Gamma(TP)\) 可写作 \[ Y=\sum a^i\underline{B_i} + \sum b^jX_j \] 其中 \(a^i,b^j\) 是光滑函数. 根据定义, \[ \Align{ vY &= \sum a^i\underline{B_i}, & hY &= \sum b^jX_j, } \] 都是光滑的.

最后, 我们给出一种构造水平分布的方法.

Claim 27.6 (分裂引理) 设流形 \(P\) 上向量丛的短正合列 \[ 0 \longrightarrow A \overset{i}\longrightarrow B \overset{j}\longrightarrow C \longrightarrow 0, \] 则下列说法等价:

1. (左分裂) 存在丛映射 \(l:B\to A\) 使得 \(l\circ i={\rm id}_A\) (称为 \(i\) 的缩回).

2. (右分裂) 存在丛映射 \(k:C\to B\) 使得 \(j\circ k={\rm id}_C\) (称为 \(j\) 的截面).

3. (直和) 存在同构 \(\theta:B\to A\oplus C\), 满足交换图 \[ \xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r]^i \ar[d]_{\rm id} & B \ar[r]^j \ar[d]_{\theta} & C \ar[r] \ar[d]_{\rm id} & 0\, \\ 0 \ar[r] & A \ar[r]_(.4){\iota_1} & A \oplus C \ar[r]_(.6){\pi_2} & C \ar[r] & 0. \\ } \]

Pf 3 \(\Rightarrow\) 2 和 \(3\Rightarrow 1\): 取 \(l=\pi_1\circ\theta:B\to A\), 由交换性, \(\theta\circ i=\iota_1\) 即 \(i=\theta^{-1}\circ\iota_1\), 而 \(\pi_1\circ\iota_1={\rm id}_A\), 所以 \[ l\circ i = (\pi_1\circ\theta)\circ(\theta^{-1}\circ\iota_1) = {\rm id}_A. \] 同样可证明 \(k=\theta^{-1}\circ\iota_2\) 满足条件.

1 \(\Rightarrow\) 3 和 2 \(\Rightarrow\) 3 是相似的, 这里只证明 \(1\Rightarrow 3\). 一方面, 若 \(i(a)=k(c)\) 对某 \(a\in A,c\in C\), 则 \[ c = jk(c) = ji(a) = 0, \] 所以 \(i(A)\cap k(C)=\emptyset\). 另一方面, 要证明 \(i(A)+i(C)=B\), 注意到 \[ j(b-kj(b)) = j(b) - j(b) = 0, \] 于是 \(b-kj(b)\in\ker{j}=\im{i}\), 存在 \(a\in A\) 使得 \(b-kj(b)=i(a)\), 即 \[ b = i(a) + kj(b) \in i(A) + k(C). \] 综上, \(B=i(A)\oplus k(C)\), 取 \(\theta:i(a)+k(c)\mapsto a+c\) 即可.

左分裂和右分裂统称为分裂(splitting).

考虑短正合列 \[ 0 \longrightarrow {\cal V} \overset\iota\longrightarrow TP \overset{\tilde\pi_*}\longrightarrow \pi^*TM \longrightarrow 0, \] 它的一个右分裂 \(k:\pi^*TM\to TP\) 可以确定一个水平分布 \({\cal H}:=k(\pi^*TM)\); 而一个水平分布 \({\cal H}\subset TP\) 满足 \(TP=\iota({\cal V})\oplus{\cal H}\) 也可以确定一个分裂 \(k:\pi^*TM\twoheadrightarrow{\cal H}\).