GTM275 | 11 主丛与示性类

GTM275 (Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes) 第 28-30 节的笔记.

28 Connections on a Principal Bundle

主丛 $G\to P\to M$ 上的联络有两种等价的定义方式:

1. $P$ 上的一个光滑右不变水平分布 $\mathcal{H}$.
   • 分布 $\mathcal{H}$ 称为右不变的, 若 $r_{g\ast }({\mathcal{H}}_p)={\mathcal{H}}_{pg}$.
2. $P$ 上的一个光滑等变 $\mathfrak{g}$ 值 $1$-形式 $\omega$, 满足 $\omega (\underset{―}{A})=A$.
   • 由于 $\mathfrak{g}$ 与竖直子空间认同, 所以这实际上是在说 $\omega$ 在竖直子空间上为恒等映射.

两种方式的等价性不难说明.

• 给一个右不变水平分布 $\mathcal{H}$, 定义一个 $\mathfrak{g}$ 值 $1$-形式 $\omega$, 使得任意一点处的 ${\omega }_p$ 是从 $T_{p}P$ 到 ${\mathcal{V}}_p$ 的投射, 且以 ${\mathcal{H}}_p$ 为核 (即取竖直分量的投射 $v:T_{p}P\to {\mathcal{V}}_p$).
• 给一个等变 $\mathfrak{g}$ 值 $1$-形式 $\omega$, 定义水平子空间 ${\mathcal{H}}_p$ 为 $\ker {\omega }_p$.

换言之, 有交换图 $$T_{p}Pv{\omega }_p{\mathcal{V}}_p\mathfrak{g}.j_{p\ast }\sim$$ 第一小节, 我们通过水平分布构造联络 $\omega$. 第二小节, 我们通过联络 $\omega$ 构造水平分布.

28.1 Ehresmann connections

设 $G$-主丛 $\pi :P\to M$. 给一水平分布 $\mathcal{H}$, 满足 $TP=\mathcal{V}\oplus \mathcal{H}$. 此时投射 $v:T_{p}P\to {\mathcal{V}}_p$ 给出切向量的竖直分量. 因为 ${\mathcal{V}}_p$ 通过 $j_{p\ast }$ 与 $\mathfrak{g}$ 认同, 考虑复合映射 $${\omega }_p:=j_{p\ast }^{-1}\circ v:T_{p}P\stackrel{v}{⟶}{\mathcal{V}}_p\stackrel{j_{p\ast }^{-1}}{⟶}\mathfrak{g},$$ 这是一个 $P$ 上的 $\mathfrak{g}$ 值 $1$-形式.

Claim 28.1 ($\mathcal{H}\Rightarrow \omega$) 若 $\mathcal{H}$ 是 $P$ 上的光滑右不变水平分布, 则如上定义的 $\mathfrak{g}$ 值 $1$-形式 $\omega$ 满足

1. (恒等映射) ${\omega }_p({\underset{―}{A}}_p)=A$ 对任意 $A\in \mathfrak{g},p\in P$.
2. ($G$-等变性) $r_g^{\ast }\omega =({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\omega$.
3. $\omega$ 光滑.

Pf 1, 因为 ${\underset{―}{A}}_p$ 是竖直向量, 所以 $v({\underset{―}{A}}_p)={\underset{―}{A}}_p$, 根据 $j_{p\ast }$ 的定义, $${\omega }_p({\underset{―}{A}}_p)=j_{p\ast }^{-1}({\underset{―}{A}}_p)=A.$$ 2, 即证 $${\omega }_{pg}(r_{g\ast }{Y}_p)=({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}){\omega }_p(Y_p).$$ 因为两边都是 $\mathbb{R}$-线性的, 所以可以对 $Y_p$ 为竖直向量和水平向量分别证明. 设 $Y_p$ 为竖直向量, 则 $Y_p={\underset{―}{A}}_p$ 对某 $A\in \mathfrak{g}$, 有 $$\begin{array}{rl}{\omega }_{pg}(r_{g\ast }{Y}_p)={\omega }_{pg}(r_{g\ast }{\underset{―}{A}}_p)& ={\omega }_{pg}\left({\underset{―}{{\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}A}}_{pg}\right)\\ & ={\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}A\\ & =({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}){\omega }_p(A_p).\end{array}$$ 其中第二个等号由 Claim 26.5, 第三个和第四个等号由 1. 设 $Y_p$ 为水平向量, 因为 $\mathcal{H}$ 右不变, $r_{g\ast }{Y}_p$ 也是水平向量, 于是 $${\omega }_{pg}(r_{g\ast }{Y}_p)=0=({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}){\omega }_p(Y_p).$$ 3, 由定义, ${\omega }_p(Y_p)=j_{p\ast }^{-1}(v(Y_p))$. 因为 $\mathcal{H}$ 光滑, 由 Claim 27.5, $v(Y_p)$ 光滑. 只要证明对于光滑向量场 $Z\in \mathrm{\Gamma }(\mathcal{V})$, $j_{p\ast }^{-1}(Z_p)$ 也光滑依赖于 $p$.

取 $\mathcal{V}$ 的光滑标架 $\underset{―}{B_1},\dots ,\underset{―}{B_l}$, 则 $Z=\sum a^i\underset{―}{B_i}$ 对于光滑函数 $a^i$. 于是 $$j_{p\ast }^{-1}(Z_p)=\sum a^i(p)B_i$$ 是光滑的.

注意 $\omega$ 的光滑性不依赖 $\mathcal{H}$ 的右不变性.

主丛 $P\to M$ 上的 Ehresmann 联络, 简称联络, 指的是满足上面三个条件的 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P,\mathfrak{g})$.

微分形式 $\alpha :TP\to \mathfrak{g}$ 的 $G$-等变性具体解释如下. 注意到 $TP$ 和 $\mathfrak{g}$ 都是 $G$-流形: $G$ 通过右作用的微分 $r_{g\ast }$ 右作用于 $TP$, 通过伴随表示 ${\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}$ 左作用于 $\mathfrak{g}$. 根据等变性的定义, $$\alpha (X_p\cdot g)=g^{-1}\cdot \alpha (X_p),$$ 即 $$\alpha (r_{g\ast }{X}_p)=({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\alpha (X_p)$$ 换言之, $r_g^{\ast }\alpha =({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\alpha$.

28.2 The horizontal distribution of a Ehresmann connection

Claim 28.2 ($\omega \Rightarrow \mathcal{H}$) 设 $G$-主丛 $\pi :P\to M$ 上的 Ehresmann 联络 $\omega$, 则 ${\mathcal{H}}_p:=\ker {\omega }_p$ ($p\in P$) 给出了 $P$ 上的一个光滑右不变水平分布.

Pf 我们要验证三个性质:

1. $T_{p}P={\mathcal{V}}_p\oplus {\mathcal{H}}_p$.
2. $r_{g\ast }({\mathcal{H}}_p)\subset {\mathcal{H}}_{pg}$. (因为 $r_{g\ast }$ 是可逆的, 这一条蕴含 $r_{g\ast }({\mathcal{H}}_p)={\mathcal{H}}_{pg}$.)
3. $\mathcal{H}$ 是 $TP$ 的光滑子丛.

1, 因为 ${\mathcal{H}}_p=\ker {\omega }_p$, 有短正合列 $$0⟶{\mathcal{H}}_p⟶T_{P}P\stackrel{{\omega }_p}{⟶}\mathfrak{g}⟶0.$$ 映射 $j_{p\ast }:\mathfrak{g}\to {\mathcal{V}}_p\subset T_{p}P$ 提供了一个右分裂, 根据 Claim 27.6, 有同构 $$T_{p}P\cong \mathfrak{g}\oplus {\mathcal{H}}_p\cong {\mathcal{V}}_p\oplus {\mathcal{H}}_p.$$ 2, 设 $Y_p\in {\mathcal{H}}_p=\ker {\omega }_p$, 需要证明 $r_{g\ast }(Y_p)\in \ker {\omega }_{pg}$. 利用 $\omega$ 的等变性, $${\omega }_{pg}(r_{g\ast }{Y}_p)=(r_g^{\ast }\omega {)}_p(Y_p)=({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}){\omega }_p(Y_p)=0.$$ 3, 设 $\mathfrak{g}$ 的基底 $B_1,\dots ,B_l$, 则 $\omega =\sum {\omega }^i{B}_i$, 其中 ${\omega }^i\in {\mathrm{\Omega }}^1(P,\mathbb{R})$, 因为 ${\omega }_p:T_{p}P\to \mathfrak{g}$ 是满射, 所以 ${\omega }^1,\dots ,{\omega }^l$ 线性无关. 根据定义, ${\mathcal{H}}_p=\bigcap _{i=1}^l\ker {\omega }_p^i$.

设 $p\in P$ 的附近的坐标 $U,x^1,\dots ,x^m$, $${\omega }^i=\sum _{j=1}^l{f}_j^i\mathrm{d}{x}^j,$$ 对 $q\in U$, 切向量 $v_q\in T_{q}P$ 展开为 $$v_q=\sum _{i=1}^m{v}^i{\frac{\partial }{\partial x^i}\phantom{\int }|}_q.$$ 于是 $$\begin{array}{rl}{\mathcal{H}}_q& =\bigcap _{i=1}^l\ker {\omega }_q^i\\ & =\{v_q\in T_{q}P\mid {\omega }_q^i(v_q)=0,\mathrm{\forall }i\}\\ & =\{(v^1,\dots ,v^m)\in {\mathbb{R}}^m\mid \sum _{j=1}^l{f}_j^i(q)v^j=0,\mathrm{\forall }i\}.\end{array}$$ 下面我们来求解 $(v^1,\dots ,v^m)$. 令 $F^i(q,v):=\sum _{j=1}^m{f}_j^i(q)v^j$, 因为 ${\omega }^1,\dots ,{\omega }^l$ 在 $p$ 线性无关, 所以 Jacobi 矩阵 $${\left(\frac{\partial F^i}{\partial v^j}\right)}_{l\times m}=(f_j^i{)}_{l\times m}$$ 有秩 $l$. 不妨设左边 $l\times l$ 的子矩阵满秩. 因为满秩性是开性质, 存在 $p$ 的开邻域 $W$, 使 $l\times l$ 子矩阵满秩. 由隐函数定理, 当 $q\in W$ 时 $v^1,\dots ,v^l$ 是 $v^{l+1},\dots ,v^m$ 的光滑函数: $$\begin{array}{rl}{v}^1& =v^1(v^{l+1},\dots ,v^m),\\ & ⋮\\ v^l& =v^l(v^{l+1},\dots ,v^m).\end{array}$$ 令 $$\begin{array}{rl}{X}_1& =\sum _{j=1}^l{v}^j(1,0,\dots ,0)\frac{\partial }{\partial x^j}+\frac{\partial }{\partial x^{l+1}},\\ X_2& =\sum _{j=1}^l{v}^j(0,1,\dots ,0)\frac{\partial }{\partial x^j}+\frac{\partial }{\partial x^{l+2}},\\ & ⋮\\ X_{m-l}& =\sum _{j=1}^l{v}^j(0,0,\dots ,1)\frac{\partial }{\partial x^j}+\frac{\partial }{\partial x^m},\end{array}$$ 为 $W$ 上的光滑向量场, 且在每一点 $q\in W$ 张成 ${\mathcal{H}}_q$, 根据 Claim 18.2, $\mathcal{H}$ 是光滑子丛.

在主丛 $\pi :P\to M$ 上, 因为 $\pi \circ r_g=\pi$, 故 ${\pi }_{\ast }\circ r_{g\ast }={\pi }_{\ast }$, 所以右平移 $r_{g\ast }$ 将竖直向量映到竖直向量. 对于右不变的水平分布 $\mathcal{H}$, $r_{g\ast }$ 将水平向量映到水平向量. 立刻有如下推论.

Claim 28.3 设光滑水平分布 $\mathcal{H}$ 是右不变的, 则投射 $v,h$ 与右平移 $r_{g\ast }$ 可交换.

Claim 28.4 设主丛 $P$ 上有联络 (进而有水平分布的概念), $\underset{―}{A}$ 是 $A\in \mathfrak{g}$ 生成的基本向量场.

1. 若 $Y$ 是 $P$ 上的水平向量场, 则 $[\underset{―}{A},Y]$ 是水平的.
2. 若 $Y$ 是 $P$ 上的右不变向量场, 则 $[\underset{―}{A},Y]=0$.

Pf 1, 基本向量场 $\underset{―}{A}$ 的流是 ${\varphi }_t(p)=p\exp \left(tA\right)=r_{\exp \left(tA\right)}(p)$, 所以 $$[\underset{―}{A},Y{]}_p=({\mathcal{L}}_{\underset{―}{A}}Y{)}_p=\underset{t\to 0}{lim}\frac{(r_{\exp (-tA)}{)}_{\ast }{Y}_{p\exp \left(tA\right)}-Y_p}{t}=:\underset{t\to 0}{lim}d(t).$$ 因为右平移不改变水平性, $(r_{\exp (-tA)}{)}_{\ast }{Y}_{p\exp \left(tA\right)}$ 和 $Y_p$ 都是水平向量, 因此差商 $d(t)$ ($t\ne 0$) 也是水平向量, 由连续性, $\underset{t\to 0}{lim}d(t)$ 也是水平向量.

2, 右不变性有 $$(r_{\exp (-tA)}{)}_{\ast }{Y}_{p\exp \left(tA\right)}=Y_p,$$ 于是 $[\underset{―}{A},Y{]}_p=({\mathcal{L}}_{\underset{―}{A}}Y{)}_p=0$.

28.3 Horizontal lifts

设 $P$ 水平分布 $\mathcal{H}$. 因为 ${\mathcal{V}}_p$ 定义为满射 ${\pi }_{\ast }:T_{p}P\to T_{\pi (p)}M$ 的核, 所以有同构 $${\mathcal{H}}_p\cong \frac{T_{p}P}{{\mathcal{V}}_p}\stackrel{\sim }{⟶}{T}_{\pi (p)}M.$$ 因此, 给一向量场 $X\in \mathrm{\Gamma }(TM)$, 存在唯一的水平向量 ${\tilde{X}}_p\in {\mathcal{H}}_p$, 使得 $${\pi }_{\ast }({\tilde{X}}_p)=X_{\pi (p)}.$$ 向量场 $\tilde{X}:P\to \mathcal{H}$ 称为 $X$ 的水平提升(horizontal lift), 它满足交换图 $$MXP\tilde{X}\pi TM\mathcal{H}.{\pi }_{\ast }$$

Claim 28.5 设 $\mathcal{H}$ 是 $P$ 上的光滑右不变水平分布, $X\in \mathrm{\Gamma }(TM)$, 则 $\tilde{X}$ 是 $P$ 上的光滑右不变向量场.

Pf 右不变性. 因为 $\pi \circ r_g=\pi$, 有 $${\pi }_{\ast }(r_{g\ast }{\tilde{X}}_p)={\pi }_{\ast }({\tilde{X}}_p)=X_{\pi (p)},$$ 然而 ${\pi }_{\ast }({\tilde{X}}_{pg})$ 也等于 $X_{\pi (pg)}=X_{\pi (p)}$, 根据水平提升的唯一性, $r_{g\ast }{\tilde{X}}_p={\tilde{X}}_p$.

光滑性. 只需在局部验证. 设局部平凡化 ${\varphi }_U:P{|}_U\to U\times G$, 定义 $$Z_{(x,g)}=(X_x,0)\in T_{(x,g)}(U\times G).$$ 令 $\eta :U\times G\to U$ 为自然投射. 则 $Z$ 是 $U\times G$ 上的光滑向量场, 且满足 ${\eta }_{\ast }{Z}_{(x,g)}=X_x$. 定义 $Y:=({\varphi }_{U\ast }{)}^{-1}Z$ 是 $P{|}_U$ 上的光滑向量场, 则 $${\pi }_{\ast }(Y_p)=(\pi \circ {\varphi }_U^{-1}{)}_{\ast }{Z}_{(\pi (p),g)}={\eta }_{\ast }{Z}_{(\pi (p),g)}=X_{\pi (p)}.$$ 容易验证, $hY$ 是 $X$ 的水平提升: $${\pi }_{\ast }(h{Y}_p)\equiv {\pi }_{\ast }(Y_p)=X_{\pi (p)}.$$ 根据水平提升的唯一性, $\tilde{X}=hY$ 在 $U$ 上光滑.

Note 更一般地, 可以在光滑纤维丛 $\pi :E\to M$ 上定义联络的概念, 两种等价的方式是:

1. 光滑的水平分布 $\mathcal{H}$ 满足 $\mathcal{H}\oplus \mathcal{V}=TE$ (竖直子丛 $\mathcal{V}$ 同样定义为 $\ker {\pi }_{\ast }$).
2. $TE$ 值光滑 $1$-形式 $\omega :TE\to TE$, 满足 ${\omega }^2=\omega$, $\omega {|}_{\mathcal{V}}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathcal{V}}$.
   • $\omega$ 可以看作 $TE$ 沿着 $\mathcal{H}$ 到 $\mathcal{V}$ 上的投射.

29 Horizontal Distributions on a Frame Bundle

向量丛 $E\to M$ 上的联络 $\mathrm{\nabla }$ 可以诱导出标架丛 $\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 上的联络, 即给出 $\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 的一个水平分布 $\mathcal{H}$.

29.1 Parallel translation

设光滑向量丛 $\eta :E\to M$.

根据 "拉回丛" 一节最后的讨论, 光滑曲线 $c:I\to M$ 诱导出拉回丛 $c^{\ast }E$, 即沿着曲线的向量丛, 则 $\mathrm{\Gamma }(c^{\ast }E)$ 表示所有沿着 $c$ 的光滑截面. 容易证明, $E$ 上的联络 $\mathrm{\nabla }$ 唯一诱导出沿着 $c$ 的协变导数: $$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}t}:\mathrm{\Gamma }(c^{\ast }E)\to \mathrm{\Gamma }(c^{\ast }E),$$ 满足

1. $\mathbb{R}$ 线性性.
2. (Leibniz 律) $\mathrm{D}(fs)/\mathrm{d}t=s\mathrm{d}f/\mathrm{d}t+f\mathrm{D}s/\mathrm{d}t$.
3. (适配性) 对于 $\tilde{s}\in \mathrm{\Gamma }(M,E)$ 延拓 $s$, 即 $\tilde{s}(c(t))=s(t)$, 有 $\mathrm{D}s(t)/\mathrm{d}t={\mathrm{\nabla }}_{c^{\prime }(t)}\tilde{s}$.

截面 $s\in \mathrm{\Gamma }(c^{\ast }E)$ 称为沿着曲线平行的, 若 $\mathrm{D}s/\mathrm{d}t\equiv 0$.

和切丛 $TM$ 的联络诱导出的协变导数一样, $E$ 的联络 $\mathrm{\nabla }$ 诱导出的协变导数在局部标架下展开为 $$\frac{\mathrm{D}s}{\mathrm{d}t}=\sum _i(\frac{\mathrm{d}{s}^i}{\mathrm{d}t}+\sum _j{s}^j{\omega }_j^i(c^{\prime }(t)))e_{i,c(t)}.$$ 同样可以得到平行移动的存在唯一性, 以及平移诱导出的线性同构 $${\phi }_{a,b}:E_{c(a)}\stackrel{\sim }{\to }{E}_{c(b)}.$$ 因此, 若光滑截面 $e_1,\dots ,e_r\in \mathrm{\Gamma }(c^{\ast }E)$ 在 $c(t_0)$ 处构成 $E_{c(t_0)}$ 的一个基底, 则对任意 $t\in I$, $e_1,\dots ,e_r$ 都构成基底, 称 $s_1,\dots ,s_r$ 为 $c$ 上的一个平行标架(parallel frame).

设 $E$ 的标架丛 $\pi :\mathrm{F}\mathrm{r}(E)\to M$. 曲线 $\tilde{c}:I\to \mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 称为曲线 $c:I\to M$ 的提升(lift), 若 $$c(t)=\pi (\tilde{c}(t)).$$ 如果 $\tilde{c}(t)$ 是沿着 $c$ 平行的标架, 则 $\tilde{c}(t)$ 称为水平提升.

给定 $x=c(t_0)\in M$ 处的标架 $e_x$ 后, 存在唯一的沿着 $c(t)$ 的平行的标架, 说明给定初值的水平提升的存在唯一性.

29.2 Horizontal vectors

设向量丛 $E\to M$ 配以联络 $\mathrm{\nabla }$, $x\in M$ 处的标架 $e_x\in \mathrm{F}\mathrm{r}(E_x)$. 切向量 $v\in T_{e_x}\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 称为水平的, 若存在曲线 $c:I\to M$, $c(0)=x$, 使得 $v$ 是那个唯一水平提升 $$\tilde{c}:I\to \mathrm{F}\mathrm{r}(E),\tilde{c}(0)=e_x$$ 的切向量 ${\tilde{c}}^{\prime }(0)$.

图示: 设 $x\in M$, 标架 $e_x\in \mathrm{F}\mathrm{r}(E_x)$. 则任给从 $x$ 开始的曲线 $c:I\to M$, 都存在唯一的从 $e_x$ 开始的水平提升 $\tilde{c}:I\to \mathrm{F}\mathrm{r}(E)$.

这曲线 $\tilde{c}$ 的初始速度 ${\tilde{c}}^{\prime }(0)\in T_{e_x}\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 定义为水平向量.

我们的目标是证明 $e_x$ 处的所有水平向量的集合 ${\mathcal{H}}_{e_x}$ 是 $T_{e_x}\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 的一个线性子空间. 为此, 我们借助一个局部标架来计算水平向量 ${\tilde{c}}^{\prime }(0)$.

设 $E{|}_U$ 的光滑标架 $s$ (即 $\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 的光滑局部截面) 满足 $s(x)=e_x$. 显然 $s(c(t))$ 将 $c(t)$ 提升到 $\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$, 当然这不一定是水平提升. 对任意 $t\in I$, $E_{c(t)}$ 有两个标架 $s(c(t))$ 和 $\tilde{c}(t)$, 设它们满足变换关系 $$s(c(t))=\tilde{c}(t)\cdot a(t),$$ 其中光滑矩阵值函数 $a:I\to \mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R})$. 当 $t=0$, $s(c(0))=e_x=\tilde{c}(0)$, 所以 $a(0)$ 是单位阵 $I$.

Claim 29.1 记号承上. 设 $s_{\ast }:T_{x}M\to T_{e_x}\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 为 $s$ 的微分, $\underset{―}{a^{\prime }(0)}$ 表示 $a^{\prime }(0)\in \mathrm{g}\mathrm{l}(r,\mathbb{R})$ 对应的 $\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 上的基本向量场, 则 $$s_{\ast }(c^{\prime }(0))={\tilde{c}}^{\prime }(0)+{\underset{―}{a^{\prime }(0)}}_{e_x}.$$

Pf 记 $P=\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$, $G=\mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R})$, 右作用 $\mu :P\times G\to P$, 则 $$s(c(t))=\mu (\tilde{c}(t),a(t)).$$ 利用微分公式 Claim 26.8, 取上式在 $t=0$ 处的微分 (此时公式中 $p=e_x$, $g=I$), $$\begin{array}{rl}{s}_{\ast }(c^{\prime }(0))& ={\mu }_{\ast ,(\tilde{c}(0),a(0))}({\tilde{c}}^{\prime }(0),a^{\prime }(0))\\ & ={\mu }_{\ast (e_x,I)}({\tilde{c}}^{\prime }(0),a^{\prime }(0))\\ & ={\tilde{c}}^{\prime }(0)+{\underset{―}{a^{\prime }(0)}}_{e_x}.\end{array}$$

Claim 29.2 记号承上. 设 $\mathrm{\nabla }$ 在标架 $s=[s_1,\dots ,s_r]$ 下的联络矩阵为 ${\omega }_s=[{\omega }_j^i]$, 则 $$a^{\prime }(0)={\omega }_s(c^{\prime }(0)).$$

Pf 记 ${\tilde{c}}_i(0)=s_i(c(0))=e_{i,x}$, 曲线 ${\tilde{c}}_i:I\to E$ 是向量 $e_{i,x}$ 生成的沿着 $c(t)$ 平行的向量场.

根据联络矩阵的定义, $$\begin{array}{}\text{(}\ast \text{)}& {\mathrm{\nabla }}_{c^{\prime }(0)}{s}_j=\sum {\omega }_j^i(c^{\prime }(0))s_i(c(0))=\sum {\omega }_j^i(c^{\prime }(0))e_{i,x}.\end{array}$$ 另一方面, 由沿曲线协变导数的性质 3, $$\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}_{c^{\prime }(t)}{s}_j=\frac{\mathrm{D}(s_j\circ c)}{\mathrm{d}t}(t)& =\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}t}\sum {\tilde{c}}_i(t)a_j^i(t)\\ & =\sum (a_j^i{)}^{\prime }(t){\tilde{c}}_i(t)+\sum a_j^i(t)\frac{\mathrm{D}{\tilde{c}}_i}{\mathrm{d}t}(t)\\ & =\sum (a_j^i{)}^{\prime }(t){\tilde{c}}_i(t).\end{array}$$ 令 $t=0$ 得到 $${\mathrm{\nabla }}_{c^{\prime }(0)}{s}_j=\sum (a_j^i{)}^{\prime }(0)e_{i,x},$$ 结合 $(\ast )$ 式有 $(a_j^i{)}^{\prime }(0)={\omega }_j^i(c^{\prime }(0))$.

结合以上两个引理, 我们得到了水平向量 ${\tilde{c}}^{\prime }(0)$ 的公式: $$\begin{array}{}\text{(}\mathrm{\#}\text{)}& {\tilde{c}}^{\prime }(0)=s_{\ast }(c^{\prime }(0))-{\underset{―}{{\omega }_s(c^{\prime }(0))}}_{e_x}.\end{array}$$

Claim 29.3 设 $n$ 为流形 $M$ 上的光滑向量丛 $\pi :E\to M$ 配以联络 $\mathrm{\nabla }$. 任给 $x\in M$, $e_x\in \mathrm{F}\mathrm{r}(E_x)$, 水平向量组成的集合 ${\mathcal{H}}_{e_x}$ 是 $T_{e_x}\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 的 $n$ 维子空间, 且 ${\pi }_{\ast }:{\mathcal{H}}_{e_x}\to T_{x}M$ 是线性同构 ($\pi$ 是标架丛的投影).

Pf $(\mathrm{\#})$ 式中, $s_{\ast }$ 和 ${\omega }_s$ 显然是 $\mathbb{R}$-线性的; 操作 $A\mapsto {\underset{―}{A}}_{e_x}$ 也是 $\mathbb{R}$-线性的, 因此映射 $$\begin{array}{rl}\varphi :T_{x}M& \to T_{e_x}\mathrm{F}\mathrm{r}(E),\\ c^{\prime }(0)& \mapsto {\tilde{c}}^{\prime }(0)\end{array}$$ 是 $\mathbb{R}$-线性的. 作为线性映射 $\varphi$ 的像空间, ${\mathcal{H}}_{e_x}$ 是 $T_{e_x}\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 的线性子空间.

由提升的定义, $\pi (\tilde{c}(t))=c(t)$, 两边微分得到 ${\pi }_{\ast }({\tilde{c}}^{\prime }(0))=c^{\prime }(0)$, 因此 ${\pi }_{\ast }$ 是 $\varphi$ 的左逆, 这说明 $\varphi$ 是单射, 那么 $\varphi$ 就是到其像空间上的同构 $\varphi :T_{x}M\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{H}}_{e_x}$, 逆映射为 ${\pi }_{\ast }:{\mathcal{H}}_{e_x}\stackrel{\sim }{\to }{T}_{e_x}M$.

29.3 Induced horizontal distribution

我们已经证明了, 向量丛 $E\to M$ 上的联络 $\mathrm{\nabla }$ 给出了 $T_{p}P$ ($P=\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$) 的水平子空间 ${\mathcal{H}}_p$, 且 $\dim {\mathcal{H}}_p=\dim M$. 竖直子空间 ${\mathcal{V}}_p$ 定义为投射 ${\pi }_{\ast }:T_{p}P\to T_{\pi (p)}M$ 的核空间, 因此 ${\mathcal{V}}_p$ 和 ${\mathcal{H}}_p$ 的维数在 $T_{p}P$ 中互补. 又因为 ${\pi }_{\ast }({\mathcal{V}}_p)=0$, 而 ${\pi }_{\ast }:{\mathcal{H}}_p\to T_{\pi (p)}M$ 是同构, 有 ${\mathcal{V}}_p\cap {\mathcal{H}}_p=\{0\}$. 立刻得到 $$T_p\mathrm{F}\mathrm{r}(E)={\mathcal{V}}_p\oplus {\mathcal{H}}_p.$$ 所以我们只需要再证明 $\mathcal{H}:=\bigcup _{p\in P}{\mathcal{H}}_p$ 的光滑性和右不变性.

因为有同构 ${\pi }_{\ast }:{\mathcal{H}}_p\to T_{\pi (p)}M$, 所以 $M$ 上的向量场 $X$ 可以唯一地提升到 $P$ 上去, 使得 $${\pi }_{\ast ,p}({\tilde{X}}_p)=X_{\pi (p)}.$$ 称这提升为水平提升. 上一小节的 $(\mathrm{\#})$ 式给出了水平提升的公式: $$\begin{array}{}\text{(}\mathrm{♣}\text{)}& {\tilde{X}}_p=s_{\ast ,x}(X_x)-{\underset{―}{{\omega }_s(X_x)}}_p,p=s(x).\end{array}$$

Claim 29.4 若 $X$ 是 $M$ 上光滑向量场, 则 $\tilde{X}$ 是 $\mathrm{F}\mathrm{r}(E)$ 上光滑向量场.

Pf 因为光滑性是局部性质, 所以可以在假设 $P$ 是平凡丛 $M\times G$ ($G=\mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R})$). 根据水平分布的右不变性 (这是 $\pi \circ r_a=\pi$ 的直接推论) $${\tilde{X}}_{(x,a)}=r_{a\ast }{\tilde{X}}_{(x,e)}.$$ 设截面 $s:M\to P$, $s(x)=(x,e)$, 根据 $(\mathrm{♣})$ 式, $${\tilde{X}}_{(x,e)}=s_{\ast ,x}(X_x)-{\underset{―}{{\omega }_s(X_x)}}_{(x,e)}.$$ 任给点 $p=(x,a)\in P$ 和光滑函数 $f\in C^{\mathrm{\infty }}(P)$, 我们只需证明 ${\tilde{X}}_{p}f$ 是光滑的. 结合以上两式, $${\tilde{X}}_{p}f=r_{a\ast }{s}_{\ast ,x}(X_x)f-r_{a\ast }{\underset{―}{{\omega }_s(X_x)}}_{(x,1)}f.$$ 两项分开考虑. 第一项: $$\begin{array}{rl}{r}_{a\ast }{s}_{\ast ,x}(X_x)f& =X_x(f\circ r_a\circ s)\\ & =X(f\circ r_a\circ s)(\pi (x))\\ & =X\mu (s(\pi (p)),{\pi }_2(p)),\end{array}$$ 其中 ${\pi }_2(p)={\pi }_2(x,a)=a$. 上面都是光滑函数的复合, 所以第一项是 $P$ 上的光滑函数.

第二项: 根据 ${\omega }_s$ 的右等变性, $$\begin{array}{rl}{r}_{a\ast }{\underset{―}{{\omega }_s(X_x)}}_{(x,1)}f& ={\underset{―}{({\mathrm{Ad}}_{a^{-1}}){\omega }_s(X_x)}}_{(x,a)}f\\ & ={\underset{―}{({\mathrm{Ad}}_{{\pi }_2(p{)}^{-1}}){\omega }_s(X_{\pi (p)})}}_{p}f,\end{array}$$ 其中 $A(p):=({\mathrm{Ad}}_{{\pi }_2(p{)}^{-1}}){\omega }_s(X_{\pi (p)})$ 显然是 $P\to \mathfrak{g}\mathfrak{l}(r,\mathbb{R})$ 的光滑函数, 而 (根据基本向量场的定义) $p\mapsto {\underset{―}{A(p)}}_{p}f$ 显然也是光滑函数, 所以第二项光滑.

Claim 29.5 ($\mathrm{\nabla }\Rightarrow \mathcal{H}$) 向量丛 $E\to M$ 的联络 $\mathrm{\nabla }$ 诱导出的 $\mathcal{H}$ 是 $\pi :P=\mathrm{F}\mathrm{r}(E)\to M$ 上的光滑右不变水平分布.

Pf 要验证三条性质 ① $TP=\mathcal{V}\oplus \mathcal{H}$, ② $r_{g\ast }({\mathcal{H}}_p)\subset {\mathcal{H}}_{pg}$, ③ 光滑性, 其中 ① 已在本小节开头验证.

③, 设 $TM$ 在开集 $U$ 上的标架 $s_1,\dots ,s_n$. 由 Claim 29.4, 水平提升 ${\tilde{s}}_1,\dots ,{\tilde{s}}_n$ 是 $P{|}_U$ 上的光滑向量场. 因为 ${\pi }_{\ast }:{\mathcal{H}}_p\to T_{\pi (p)}M$ 是同构, ${\tilde{s}}_1,\dots ,{\tilde{s}}_n$ 在每一点都 $p\in P{|}_U$ 都张成 ${\mathcal{H}}_p$. 因此 $\mathcal{H}$ 是一个光滑子丛.

②, 设 $\tilde{c}(t)=[v_1(t),\dots ,v_r(t)]$ 是 $c(t)$ 过 $\tilde{c}(0)=p$ 的水平提升, 则 $c^{\prime }(0)\in {\mathcal{H}}_p$. 我们只需要证明 $r_{g\ast }{\tilde{c}}^{\prime }(0)\in {\mathcal{H}}_{pg}$. 设 $g=[g_j^i]\in \mathrm{G}\mathrm{L}(r,\mathbb{R})$, $$\tilde{c}(t)g=[\sum g_1^i{v}_i(t),\dots ,\sum g_r^i{v}_i(t)],$$ 水平性得出 $\mathrm{D}{v}_i/\mathrm{d}t=0$, 而 $g_j^i$ 是常数, 所以 $\mathrm{D}(\sum g_j^i{v}_i)/\mathrm{d}t=0$. 因此, $\tilde{c}(t)g$ 是沿着 $c(t)$ 的以 $\tilde{c}(0)g=pg$ 为初始点的水平提升, 初始速度 $${\mathcal{H}}_{pg}\ni {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phantom{\int }|}_0\tilde{c}(t)g=r_{g\ast }{\tilde{c}}^{\prime }(0).$$

29.4 Induced Ehresmann connection

向量丛上的联络 $\mathrm{\nabla }$ 诱导出标架丛的水平分布, 进而给出了一个 Ehresmann 联络 $\omega$. 我们要证明, 局部标架下 $\mathrm{\nabla }$ 的联络矩阵正是 $\omega$ 在标架下的拉回. 进而, 主丛的联络可以诱导出向量丛的联络.

Claim 29.6 设向量丛 $E\to M$ 的联络 $\mathrm{\nabla }$ 诱导出标架丛 $\mathrm{F}\mathrm{r}(E)\to M$ 上的 Ehresmann 联络 $\omega$. 若 $E{|}_U$ 有局部标架 $e\in \mathrm{\Gamma }(U,\mathrm{F}\mathrm{r}(E))$, 则 $\mathrm{\nabla }$ 在 $e$ 下的联络矩阵 $${\omega }_e=e^{\ast }\omega .$$

Pf 设 $e(x)=p$, 直接应用 $(\mathrm{♣})$ 式, $${\tilde{X}}_p=e_{\ast }(X_x)-{\underset{―}{{\omega }_e(X_x)}}_p,$$ 其中 $\tilde{X}$ 是水平向量场, 两边作用于 Ehresmann 联络消去 $\tilde{X}$: $$\begin{array}{rl}0& =\omega (e_{\ast }{X}_x)-\omega \left({\underset{―}{{\omega }_e(X_x)}}_p\right)\\ & =(e^{\ast }\omega {)}_x{X}_x-{\omega }_e(X_x),\end{array}$$ 即 $e^{\ast }\omega ={\omega }_e$.

30 Curvature on a Principal Bundle

30.1 The curvature form

Bianchi 恒等式给了我们一种定义曲率的方法. 设主丛 $G\to P\to M$, Ehresmann 联络 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P,\mathfrak{g})$, 它的曲率定义为 $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{\Omega }}^2(P,\mathfrak{g})$, $$\mathrm{\Omega }:=\mathrm{d}\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ].$$ 其中 $[\cdot ,\cdot ]$ 是李括号诱导的矩阵值微分形式的乘积.

Claim 30.1 设向量丛 $E\to M$ 的联络 $\mathrm{\nabla }$ 诱导出标架丛 $\mathrm{F}\mathrm{r}(E)\to M$ 上的 Ehresmann 联络 $\omega$. 若 $E{|}_U$ 有局部标架 $e\in \mathrm{\Gamma }(U,\mathrm{F}\mathrm{r}(E))$, 则 $\mathrm{\nabla }$ 在 $e$ 下的曲率矩阵 $${\mathrm{\Omega }}_e=e^{\ast }\mathrm{\Omega }.$$

Pf (下面第二个等号利用 Claim 19.3; 第三个等号利用 Claim 29.6) $$\begin{array}{rl}{e}^{\ast }\mathrm{\Omega }& =e^{\ast }\mathrm{d}\omega +\frac{1}{2}{e}^{\ast }[\omega ,\omega ]\\ & =\mathrm{d}{e}^{\ast }\omega +\frac{1}{2}[e^{\ast }\omega ,e^{\ast }\omega ]\\ & =\mathrm{d}{\omega }_e+\frac{1}{2}[{\omega }_e,{\omega }_e]\\ & ={\mathrm{\Omega }}_e.\end{array}$$

Example Maurer-Cartan 联络.

在 19.3 节, 我们知道李群 $G$ 上有一个标准的左不变 $1$-形式 $\theta \in {\mathrm{\Omega }}^1(G,\mathfrak{g})$, 称为 Maurer-Cartan 形式, 满足 ① (等变性) $r_g^{\ast }\theta =({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\theta$, ② 对于 $A\in \mathfrak{g}$, 有 ${\theta }_e(A)=A$.

Maurer-Cartan 形式可以看作积丛 $\pi :P=M\times G\to G$ 上的联络.

设自然投射 $\eta :P\to G$, 则 (18.5 节末 Example) $$TP={\pi }^{\ast }TM\oplus {\eta }^{\ast }TG$$ 其中 ${\eta }^{\ast }TG$ 是 ${\pi }_{\ast }:TP\to TM$ 的核, 即竖直子丛. 因此 $P$ 上有典范的水平分布 $\mathcal{H}={\pi }^{\ast }TM$. 定义 $P$ 上的联络 $$\omega (X):=({\eta }^{\ast }\theta )(X)=\theta ({\eta }_{\ast }X),$$

不难验证, 这就是 $\mathcal{H}$ 所确定的那个 Ehresmann 联络:

1. 恒等映射: $$\begin{array}{rl}{\omega }_{(x,g)}({\underset{―}{A}}_{(x,g)})& ={\theta }_g({\eta }_{\ast }\circ j_{(x,g)\ast })A\\ & ={\theta }_g(l_{g\ast }A)={\theta }_e(A)=A.\end{array}$$

2. 等变性: (注意 $\eta \circ r_g=$ 李群 $G$ 上的 $r_g$) $$\begin{array}{rl}{r}_g^{\ast }\omega & =r_g^{\ast }({\eta }^{\ast }\theta )\\ & =(\eta \circ r_g{)}^{\ast }\theta =r_g^{\ast }\theta =({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\theta =({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\omega .\end{array}$$

3. 与 $\mathcal{H}$ 适配: $\omega (X)=0$ 只要 $X\in \mathrm{\Gamma }(\mathcal{H})$.

该联络的曲率 $$\begin{array}{r}\mathrm{\Omega }=\mathrm{d}\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ]={\eta }^{\ast }(\mathrm{d}\theta +\frac{1}{2}[\theta ,\theta ])=0.\end{array}$$

30.2 Properties of the curvature form

和 $\omega$ 一样, $\mathrm{\Omega }$ 也具有 $G$-等变性. 不同的是, $\omega$ 将水平向量映到 $0$, 而 $\mathrm{\Omega }$ 将竖直向量映到 $0$.

Claim 30.2 设 $G$-主丛 $\pi :P\to M$ 上的联络 $\omega$, 点 $p\in P$.

1. 任意竖直向量 $X_p\in T_{p}P$ 可以延拓到某 $A\in \mathfrak{g}$ 的基本向量场 $\underset{―}{A}$.
2. 任意水平向量 $Y_p\in T_{p}P$ 可以延拓到某 $B\in \mathrm{\Gamma }(TM)$ 的水平提升 $\tilde{B}$.

Pf 1, 因为 $j_{p\ast }:\mathfrak{g}\to {\mathcal{V}}_p$ 是满射, 所以存在 $A\in \mathfrak{g}$, 使 $X_p=j_{p\ast }(A)={\underset{―}{A}}_p$.

2, 设 ${\pi }_{\ast }(Y_p)=B_{\pi (x)}\in T_{\pi (p)}M$, 将 $B_{\pi (x)}$ 延拓到 $M$ 上的光滑向量场 $B$, 则水平提升 $\tilde{B}$ 延拓 $Y_p$.

Claim 30.3 (曲率的性质) 设 $G$-主丛上的联络 $\omega$ 和曲率 $\mathrm{\Omega }$.

1. (水平性) $\mathrm{\Omega }(X,Y)=(\mathrm{d}\omega )(hX,hY)$ 对任意 $X,Y\in \mathrm{\Gamma }(TP)$.
2. ($G$-等变性) $r_g^{\ast }\mathrm{\Omega }=({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\mathrm{\Omega }$ 对任意 $g\in G$.
3. (第二 Bianchi 恒等式) $\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=[\mathrm{\Omega },\omega ]$.

Pf 1, 我们逐点地证明. 因为 $X_p,Y_p$ 都能分解为水平分量和竖直分量, 所以只需对水平和竖直向量证明. 分为 3 种情况.

情形 A. $X_p,Y_p$ 都水平, 此时 $[{\omega }_p,{\omega }_p](X_p,Y_p)=0$, $${\mathrm{\Omega }}_p(X_p,Y_p)=(\mathrm{d}\omega {)}_p(X_p,Y_p)=(\mathrm{d}\omega {)}_p(h{X}_p,h{Y}_p).$$ 情形 B. $X_p$ 竖直, $Y_p$ 水平, 此时也有 $[{\omega }_p,{\omega }_p](X_p,Y_p)=0$. 根据 Claim 30.2, $X_p$ 延拓到基本向量场 $\underset{―}{A}$, $Y_p$ 延拓到右不变水平向量场 $\tilde{B}$. 因此待证等式左边 $$\mathrm{\Omega }(\underset{―}{A},\tilde{B})=\mathrm{d}\omega (\underset{―}{A},\tilde{B})=\underset{―}{A}\omega (\tilde{B})-\tilde{B}\omega (\underset{―}{A})-\omega ([\underset{―}{A},\tilde{B}]).$$ 其中 $\omega (\tilde{B})$ 为零, 因为 $\tilde{B}$ 水平; $\tilde{B}\omega (\underset{―}{A})=\tilde{B}A=0$, 因为 $A$ 为常数; $[\underset{―}{A},\tilde{B}]=0$ 根据 Claim 28.4. 因此上式为零. 另一方面, 因为 $X_p$ 竖直, 所以待证等式右边 $(\mathrm{d}\omega {)}_p(h{X}_p,h{Y}_p)$ 也为零.

情形 C. $X_p,Y_p$ 都竖直. 取延拓 $X_p={\underset{―}{A}}_p$, $Y_p={\underset{―}{B}}_p$, $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Omega }(\underset{―}{A},\underset{―}{B})& =\mathrm{d}\omega (\underset{―}{A},\underset{―}{B})+\frac{1}{2}([\omega (\underset{―}{A}),\omega (\underset{―}{B})]-[\omega (\underset{―}{B}),\omega (\underset{―}{A})])\\ & =\mathrm{d}\omega (\underset{―}{A},\underset{―}{B})+[A,B].\end{array}$$ 其中第一项 $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\omega (\underset{―}{A},\underset{―}{B})& =\underset{―}{A}\omega (\underset{―}{B})-\underset{―}{B}\omega (\underset{―}{A})-\omega ([\underset{―}{A},\underset{―}{B}])\\ & =\underset{―}{A}(B)-\underset{―}{B}(A)-\omega (\underset{―}{[A,B]})\\ & =0-0-[A,B],\end{array}$$ 因此 $\mathrm{\Omega }(\underset{―}{A},\underset{―}{B})=-[A,B]+[A,B]=0$. 而另一方面, $(\mathrm{d}\omega {)}_p(h{X}_p,h{Y}_p)=(\mathrm{d}\omega {)}_p(0,0)$ 也为零.

2, 由 $\omega$ 的等变性, $$\begin{array}{rl}{r}_g^{\ast }\mathrm{\Omega }& =r_g^{\ast }\mathrm{d}\omega +r_g^{\ast }\frac{1}{2}[\omega ,\omega ]\\ & =\mathrm{d}{r}_g^{\ast }\omega +\frac{1}{2}[r_g^{\ast }\omega ,r_g^{\ast }\omega ]\\ & =\mathrm{d}\left({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}\right)\omega +\frac{1}{2}[({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\omega ,({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\omega ]\\ & =({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})(\mathrm{d}\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ])\\ & =({\mathrm{Ad}}_{g^{-1}})\mathrm{\Omega }.\end{array}$$ 其中倒数第二个等号: ${\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}=(c_{g^{-1}}{)}_{\ast }$ 作为李群同态的微分, 是李代数同态.

3, 反复利用 Claim 19.4 及其推论, $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\mathrm{\Omega }& =\frac{1}{2}\mathrm{d}[\omega ,\omega ]\\ & =\frac{1}{2}([\mathrm{d}\omega ,\omega ]-[\omega ,\mathrm{d}\omega ])\\ & =[\mathrm{d}\omega ,\omega ]\\ & =[\mathrm{\Omega }-\frac{1}{2}[\omega ,\omega ],\omega ]\\ & =[\mathrm{\Omega },\omega ]-\frac{1}{2}[[\omega ,\omega ],\omega ]\\ & =[\mathrm{\Omega },\omega ].\end{array}$$

Claim 30.4 (标架丛上推广的 Bianchi 恒等式) 标架丛上联络 $\omega$ 的曲率 $\mathrm{\Omega }$ 满足 $$\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^k=[{\mathrm{\Omega }}^k,\omega ].$$ 其中 ${\mathrm{\Omega }}^k=\mathrm{\Omega }\wedge \cdots \wedge \mathrm{\Omega }$, $\wedge$ 是矩阵乘法诱导出的楔积. (在一般的 $G$-主丛上, $\mathfrak{g}$ 不一定是矩阵代数, 所以可能没有 $\wedge$ 的概念.)

Pf 和向量丛的情形 (Claim 20.4) 完全一样.

Claim 30.5 设 $G$-主丛上的联络 $\omega$ 和曲率 $\mathrm{\Omega }$. 若 $X,Y$ 为水平向量场, 则

1. $\mathrm{\Omega }(X,Y)=-\omega ([X,Y])$.
2. $[X,Y]$ 水平当且仅当 $\mathrm{\Omega }(X,Y)=0$.

Pf 1, 利用 Claim 30.3 之 1 和 $\omega$ 的竖直性, $$\mathrm{\Omega }(X,Y)=\mathrm{d}\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).$$ 2, 因为 $\ker {\omega }_p={\mathcal{H}}_p$, 所以 $\omega (Z)=0$ 当且仅当 $Z$ 是水平向量场. 利用 1 即得.