GTM275 | 12 主丛与示性类
GTM275 (Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes) 第 31-32 节的笔记.
31 Covariant Derivative on a Principal Bundle
31.1 The associated bundle
设 \(G\)-主丛 \(\pi:P\to M\). 李群 \(G\) 的一个(有限维)表示(representation)指的是 \(G\) 到有限维线性空间 \(V\) 的一般线性群 \({\rm GL}(V)\) 的李群同态 \[ \rho:G\to{\rm GL}(V). \] 此时, \(G\) 在 \(V\) 上自然地有左作用 \(g\cdot v:=\rho(g)v\). 配丛(associated bundle) \(E:=P\times_\rho V\) 指的是 \(P\times V\) 商去等价关系 \[ (p,v)\sim(pg,g^{-1}\cdot v),\quad\forall g\in G,(p,v)\in P\times V. \] 记 \((p,v)\) 所在等价类为 \([p,v]\). 配丛有自然投射 \(\beta:E\to M\), \(\beta([p,v])=\pi(p)\). 这是良定义的, 因为 \[ \beta([pg,g^{-1}\cdot v])=\pi(pg)=\pi(p)=\beta([p,v]). \] 配丛 \(\beta:E\to M\) 上的线性结构定义为 \[ [p,v_1]+\lambda[p,v_2]=[p,v_1+\lambda v_2]. \] 因为 \(G\) 在 \(V\) 上的作用是线性的 (即 \(g\cdot(v_1+\lambda v_2)=g\cdot v_1+\lambda g\cdot v_2\)), 显然上式是良定义的. 在这个线性结构下, 配丛成为了一个向量丛.
Claim 31.1 设 \(G\)-主丛 \(\pi:P\to M\) 与有限维表示 \(\rho:G\to{\rm GL}(V)\), 则配丛 \(\beta:E\to M\) 是向量丛.
Pf 设 \(P\) 局部同构于 \(U\times G\), 考虑映射 \[ \Align{ \phi:(U\times G)\times_\rho V &\to U\times V \\ [(x,g),v] &\mapsto (x,g\cdot v). } \] 这是良定义的, 因为 \[ \phi\Big([(x,g)h,h^{-1}\cdot v]\Big) = \Big( x, (gh)h^{-1}v \Big) = (x, gv) = \phi\Big( [(x,g),v] \Big). \] 并且 \(\psi:U\times V\to(U\times G)\times_\rho V\), \(\psi(x,v)=[(x,e),v]\) 显然是 \(\phi\) 的逆映射. \(\phi,\psi\) 都是光滑的, 且保持纤维, 因此 \(\beta:E\to M\) 局部同构于 \(U\times V\).
容易验证, \(\phi\) 在纤维上的限制 \(\phi_x:(\{x\}\times G)\times_\rho V\to\{x\}\times V\) 是一个线性映射.
从证明过程可以发现, 配丛 \(\beta:E\to M\) 的纤维同构于线性空间 \(V\). 实际上, 任意 \(x\in M\) 和 \(p\in P_x\) 都能给出一个同构 \[ \Align{ f_p : V &\to E_x, \\ v &\mapsto [p,v]. } \] (证明中的同构是由 \((x,e)\) 给出的.)
Claim 31.2 记号承上. 则 \(f_p:V\to E_x\) 是线性同构. 此外, 若 \(g\in G\), 则 \(f_{pg}=f_p\circ\rho(g)\).
Pf 单射性. 若 \([p,v]=[p,w]\), 则 \((p,v)=(pg,g^{-1}\cdot w)\) 对于某 \(g\in G\). 因为 \(G\) 自由地作用于 \(P\), \(p=pg\) 导致 \(g=e\), 于是也有 \(v=w\).
满射性. 任给 \([q,w]\in E_x\), 则 \(q\in P_x\), 于是 \(q=pg\) 对于某 \(g\in G\). 进而 \[ [q,w]=[pg,w]=[p,g\cdot w]=f_p(g\cdot w). \] 最后, 注意上式左边等于 \(f_q(w)=f_{pg}(w)\), 右边等于 \(f_p(g\cdot w)=f_p(\rho(g)w)\). 两边相等给出 \(f_{pg}=f_p\circ\rho(g)\).
平凡表示 \(\rho:G\to{\rm GL}(V)\) 给出的配丛是平凡丛. 因为此时 \[ [p,v]=[pg,g^{-1}\cdot v]=[pg,v], \] 当 \(g\) 取遍 \(G\), \(pg\) 也取遍纤维 \(P_{\pi(p)}\), 这导致同一个纤维中的点全部认同. 具体的同构由下面的映射给出: \[ P\times_\rho V\to M\times V,\quad [p,v]\mapsto(\pi(p),v). \] 此时, \(f_p:V\to E_x=V\), \(v\mapsto[p,v]\) 是恒等映射.
伴丛是一种特殊的配丛. 若 \(G\) 的表示取为伴随表示 \(\operatorname{Ad}:G\to{\rm GL}({\frak g})\), 则配丛 \({\rm Ad}P:=P\times_{\rm Ad}{\frak g}\) 称为 \(P\) 的伴丛(adjoint bundle).
补充:
Claim 31.3 (配丛的转移函数) 设主丛 \(P\) 的平凡化开覆盖 \(\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}\) 具有转移函数 \(g_{\alpha\beta}:U_{\alpha\beta}\to G\), 则存在配丛的开覆盖 \(\{(U_\alpha,\psi_\alpha)\}\) 具有转移函数 \(\rho\circ g_{\alpha\beta}:U_{\alpha\beta}\to{\rm GL}(V)\).
Pf 主丛的平凡化 \(\phi_\alpha:P|_{U_\alpha}\to U_\alpha\times G\), \(p\mapsto(x,\bar{\phi}_{\alpha,x}(p))\) 诱导出配丛的平凡化 \[ \Align{ \psi_\alpha:P|_{U_\alpha}\times_\rho V &\to U_\alpha\times V \\ [p,v] &\mapsto (x,\bar\phi_{\alpha,x}(p)\cdot v), } \] 根据 Claim 31.1 的证明, \(\psi_\alpha\) 是良定义的. 于是 \[ (\psi_\alpha\circ\psi_\beta^{-1})(x,w) = (x, (\bar\phi_{\alpha,x}\circ\bar\phi_{\beta,x}^{-1})\cdot w), \] 转移函数 \(\rho(\bar\phi_{\alpha,x}\circ\bar\phi_{\beta,x}^{-1})=\rho\circ g_{\alpha\beta}\).
Example 标架丛的配丛.
设秩 \(r\) 的向量丛 \(E\to M\), 标架丛 \({\rm Fr}(E)\to M\). 任取表示 \(\rho:{\rm GL}(r,\R)\to{\rm GL}(r,\R)\), 给出的配丛为 \(F:={\rm Fr}(E)\times_\rho\R^r\), 配丛的纤维是 \(\R^r\).
实际上, \(F\) 自然地同构于 \(E\). 定义 \[ \Align{ \psi: F={\rm Fr}(E)\times_\rho\R^r &\to E \\ F_x \ni [e_x,v] &\mapsto \rho(e_x)v \in E_x } \] 我们断言这是一个丛同构.
单射: 设 \(\rho(e_x)v=\rho(\bar{e}_x)\bar{v}\in E_x\), 则 \(\bar{v}=\rho(\bar{e}_x^{-1})\rho(e_x)v\), 进而 \[ [\bar{e}_x,\bar{v}] = [\bar{e}_x,\rho(\bar{e}_x^{-1})\rho(e_x)v] = [e_x,v], \]
满射: 任给 \(x\in M\) 和 \(w\in E_x=\R^r\), 显然 \[ \psi([{\rm id}_x,w]) = \rho({\rm id}_x)w = {\rm id}\cdot w = w. \]
31.2 Tensorial forms
主丛 \(P\) 上的 \(V\) 值 \(k\)-形式 \(\varphi\) 称为关于 \(\rho\) 右等变的 (right-equivariant w.r.t. \(\rho\)), 如果 \[ r_g^*\varphi = \rho(g^{-1})\cdot\varphi,\quad\forall g\in G. \]
- 换言之, 对任意 \(p\in P\) 和 \(v_1,\dots,v_k\in T_pP\), \[ (r_g^*\varphi)(v_1,\dots,v_k) = \rho(g^{-1})\cdot\varphi_p(v_1,\dots,v_k). \]
主丛 \(P\) 上的 \(V\) 值 \(k\)-形式 \(\varphi\) 称为水平的(horizontal), 如果当任意一个输入为竖直向量时, \(\varphi\) 给出零.
主丛 \(P\) 上的 \(V\) 值 \(k\)-形式 \(\varphi\) 称为张量性的(tensorial), 如果它关于 \(\rho\) 右等变且水平. \(\rho\) 称为 \(\varphi\) 的类型(type).
- 主丛 \(P\) 上的所有 \(\rho\) 型 \(V\) 值光滑 \(k\)-形式的集合记作 \(\Omega^k_\rho(P,V)\), 是一个 \(C^\infty(P)\)-模.
- 联络 \(\omega\) 关于 \({\rm Ad}\) 右等变, 但不是水平的. 曲率 \(\Omega\) 关于 \({\rm Ad}\) 右等变, 并且是水平的, 所以是 \({\rm Ad}\) 型张量性形式.
张量性形式可以视作 \(M\) 上的 \(E=P\times_\rho V\) 值形式.
给定张量性形式 \(\varphi\in\Omega^k_\rho(P,V)\), 我们按如下方法定义 \(\varphi^\flat\in\Omega^k(M,E)\). 设 \(x\in M\), \(v_1,\dots,v_k\in T_xM\), 任给 \(p\in P_x\), \[ \varphi^\flat_x(v_1,\dots,v_k) := f_p(\varphi_p(u_1,\dots,u_k)) \in E_x, \] 其中 \(u_i\) 是 \(v_i\) 任意的提升, 即满足 \(\pi_*(u_i)=v_i\); 映射 \(f_p:V\to E_x\) 是前一小节定义的同构.
反过来, 给定 \(\psi\in\Omega^k(M,E)\), 能够定义 \(\psi^\sharp\in\Omega^k_\rho(P,V)\). 设 \(p\in P\), \(u_1,\dots,u_k\in T_pP\), 令 \(x=\pi(p)\), \[ \psi^\sharp_p(u_1,\dots,u_k) := f^{-1}_p(\psi(\pi_*u_1,\dots,\pi_*u_k)) \in V. \]
Claim 31.4 映射 \[ \Omega^k_\rho(P,V) \to \Omega^k(M,E),\quad \varphi\mapsto\varphi^\flat \] 是线性同构, 逆映射为 \(\psi\mapsto\psi^\sharp\).
Pf (一) 我们要证明 \(\phi^\flat\) 良定义, 就要说明如上定义不依赖于 ① \(p\in P_x\) 的选择, ② 提升 \(u_i\in T_pP\) 的选择. 先证明 ②. 设 \(u_1',\dots,u_k'\in T_pP\) 是另一组提升 \(v_i\) 的向量, 则 \(\pi_*(u_i-u_i')=0\), 即 \(u_i-u_i'\) 是竖直向量, 利用 \(\varphi\) 的水平性和 \(\R\)-线性性, \[ \Align{ \varphi_p(u_1',\dots,u_k') &= \varphi_p(u_1+\textsf{vertical},\dots,u_k+\textsf{vertical}) \\ &= \varphi_p(u_1,\dots,u_k). } \] 这说明 \(\varphi^\flat\) 不依赖于 \(u_i\) 的选择. 再证明 ①, 选择另一个点 \(pg\in P_x\). 因为 \(\pi\circ r_g=\pi\), \[ \pi_*(r_{g*}u_i) = \pi_*u_i = v_i, \] 因此 \(r_{g*}u_i\in T_{pg}P\) 是 \(v_i\) 的提升, \[ \Align{ f_{pg}\big(\varphi_{pg}(r_{g*}u_1\dots)\big) &= f_{pg}\big((r_g^*\varphi)_p(u_1\dots)\big) \\ &= f_{pg}\big(\rho(g^{-1})\circ\varphi_p(u_1\dots)\big) \\ &= f_p\circ\rho(g)\circ\rho(g^{-1})\circ\varphi_p(u_1\dots) \\ &= f_p(\varphi_p(u_1\dots)). } \] (其中第二个等号利用 \(\varphi\) 的等变性; 第三个等号利用 Claim 31.2) 这证明了 \(\varphi^\flat\) 不依赖 \(p\in P_x\) 的选取. 总之, \(\varphi^\flat\) 是良定义的.
(二) 对于 \(\psi^\sharp\), 只需要说明其右等变性, 水平性即可. 水平性是显然的: 若 \(u_i\) 水平, 则 \(\pi_*u_i=0\), 由 \(\psi\) 的多重线性性, 结果为 \(0\). 右等变性: (其中第三个等号利用 Claim 31.2) \[ \Align{ (r_g^*\psi^\sharp)_p(u_1\dots) &= \psi^\sharp_{pg}(r_{g*}u_1\dots) \\ &= f_{pg}^{-1}(\psi(\pi_*r_{g*}u_1\dots)) \\ &= \rho(g^{-1})\cdot f_p^{-1}(\psi(\pi_*u_1\dots)) \\ &= \rho(g^{-1})\cdot \psi_p^\sharp(u_1\dots). } \] (三) 互逆性比较好证. 例如, 取 \(u_i\in T_pP\), 直接由定义, \[ \Align{ \varphi^{\flat\sharp}_p(u_1\dots) &= f_p^{-1}(\varphi^\flat_x(\pi_*u_1\dots)) \\ &= f_p^{-1}(f_p(\varphi_p(u_1\dots))) \\ &= \varphi_p(u_1\dots). } \] 同样有 \(\psi^{\sharp\flat}=\psi\).
Claim 31.4 中, 令 \(k=0\), 可以得到 \[ \Omega^0_\rho(P,V) \cong \Omega^0(M,E). \] 左边是所有 \(\rho\)-右等变的光滑函数 \(f:P\to V\), 这等价于 \(G\)-等变性: \[ f(pg) = (r_g^*f)(p) = \rho(g^{-1})f(p) = g^{-1}\cdot f(p). \] 右边是 \(E\) 的所有光滑截面的全体. 因此有推论:
Claim 31.5 存在一一对应关系 \[ \{ G\textsf{-等变映射 } f:P\to V \} \longleftrightarrow \{ \textsf{配丛 }P\times_\rho V\to M \textsf{ 的截面} \}. \]
主丛 \(\pi:P\to M\) 的投射 \(\pi\) 是淹没, 因此拉回映射 \(\pi^*:\Omega^*(M)\to\Omega^*(P)\) 是单射. 主丛 \(P\) 上的微分形式 \(\varphi\) 称为基本的(basic), 如果它是 \(M\) 上微分形式 \(\psi\) 的拉回 \(\pi^*\psi\); \(\varphi\) 称为 \(G\)-不变的 (\(G\)-invariant), 如果 \(r_g^*\varphi=\varphi\) 对任意 \(g\in G\).
- 注意区分右等变性 \(r_g^*\varphi=\rho(g^{-1})\cdot\varphi\) 和不变性 \(r_g^*\varphi=\varphi\). 特别地, 如果 \(\rho:G\to{\rm GL}(V)\) 是平凡表示, 即 \(\rho(g)\equiv{\rm id}\), 则等变性和不变性是等价的.
Claim 31.6 主丛 \(P\) 上的 \(V\) 值形式是基本的, 当且仅当它是 \(G\)-不变的水平形式.
Pf 取平凡表示 \(\rho\), 则所有的 \(G\)-不变水平形式就是 \(G\)-等变水平形式 \(\Omega^k_\rho(P,V)\). 因此我们只需证明 \(\Omega^k_\rho(P,V)\) 中的形式都形如 \(\pi^*\psi\) (\(\psi\in\Omega^k(M,V)\)).
平凡表示对应的 \(E=P\times_\rho V\) 是平凡丛 \(M\times V\), \(f_p:V\to E_x=V\) 是恒等映射. 此时, 同构映射 \[ \Align{ \Omega^k(M,E)=\Omega^k(M,M\times V)=\Omega^k(M,V) &\to\Omega^k_\rho(P,V), \\ \psi &\mapsto \psi^\sharp, } \] 由下式给出: \[ \psi^\sharp_p(u_1,\dots,u_k) = \psi_x(\pi_*u_1,\dots,\pi_*u_k) = (\pi^*\psi)_p(u_1,\dots,u_k). \] 即 \(\psi^\sharp=\pi^*\psi\).
31.3 Covariant derivative
现在我们设主丛 \(\pi:P\to M\) 上有联络的概念. 此时可以对切向量 \(X_p\in T_pP\) 作分解 \(X_p=vX_p+hX_p\). 这使得我们可以定义张量性形式的协变导数.
一个 \(V\) 值 \(k\)-形式 \(\alpha\in\Omega^k(P,V)\) 的水平分量(horizontal component) 指的是 \(\alpha^h\in\Omega^k(P,V)\) 满足 \[ \alpha^h_p(v_1,\dots,v_k) = \alpha_p(hv_1,\dots,hv_k), \quad\forall v_i\in T_pP, \] 这显然是一个水平形式.
Claim 31.7 设 \(\varphi\in\Omega^k(P,V)\) 是 \(\rho\)-右等变的, 则 \(\dd\varphi\) 和 \(\varphi^h\) 都是 \(\rho\)-右等变的.
Pf 给定 \(g\in G\). 因为 \(r_{g*}\varphi=\rho(g^{-1})\cdot\varphi\), 有 \[ \Align{ r_{g*}\dd\varphi = \dd(r_{g*}\varphi) = \dd(\rho(g^{-1})\cdot\varphi) = \rho(g^{-1})\dd\varphi. } \] (注意 \(\rho(g^{-1})\) 对于给定的 \(g\) 是一个常数.) 对于 \(\varphi^h\), 有 \[ \Align{ (r_g^*\varphi^h)_p(v_1\dots) &= \varphi_{pg}^h(r_{g*}v_1\dots) \\ &= \varphi_{pg}(hr_{g*}v_1\dots) \\ &= \varphi_{pg}(r_{g*}hv_1\dots) \\ &= (r_g^*\varphi)_p(hv_1\dots) \\ &= \rho(g^{-1})\varphi_p^h(v_1\dots). \\ } \] 其中第三个等号根据 Claim 28.3.
由 Claim 31.7, 若 \(\varphi\in\Omega^k(P,V)\) 是 \(\rho\)-右等变的形式, 则 \((\dd\varphi)^h\in\Omega^{k+1}(P,V)\) 是 \(\rho\)-右等变的水平形式, 即张量性形式, 称它为 \(\varphi\) 的协变导数(covariant derivative). 记作 \(D\varphi=(\dd\varphi)^h\).
Claim 31.8 (协变导数是反导子) 协变导数作用于张量性形式 \(D:\Omega^k_\rho(P,V)\to\Omega^{k+1}_\rho(P,V)\) 满足 \[ D(\omega\wedge\tau)=D\omega\wedge\tau+(-1)^{\deg\omega}\omega\wedge D\tau. \]
Pf 因为 \(\omega,\tau\) 是张量性形式, 所以 \(\omega^h=\omega\), \(\tau^h=\tau\). \[ \Align{ D(\omega\wedge\tau) &= (\dd(\omega\wedge\tau))^h \\ &= (\dd\omega\wedge\tau+(-1)^{\deg\omega}\omega\wedge\dd\tau)^h \\ &= (\dd\omega)^h\wedge\tau^h+(-1)^{\deg\omega}\omega^h\wedge(\dd\tau)^h\\ &= D\omega\wedge\tau+(-1)^{\deg\omega}\omega\wedge D\tau. } \]
Claim 31.9 对于 \(P\) 上的基本形式 \(\varphi\), \(\dd\varphi=D\varphi\).
Pf 因为投射 \(\pi:T_pP\to T_xM\) 将竖直向量映到零, 所以 \(\pi_*h=\pi_*\).
设 \(\varphi=\pi^*\tau\) 对于 \(\tau\in\Omega^k(M,E)\), 则 \[ \Align{ D\varphi(\cdots) &= (\dd\varphi)(h\cdots) \\ &= (\dd\pi^*\tau)(h\cdots) \\ &= (\pi^*\dd\tau)(h\cdots) \\ &= (\dd\tau)(\pi_*h\cdots) \\ &= (\dd\tau)(\pi_*\cdots) \\ &= (\pi^*\dd\tau)(\cdots) \\ &= \dd\varphi(\cdots). } \]
31.4 A formula of covariant derivative
李群表示 \(\rho:G\to{\rm GL}(V)\) 给出了李代数表示 \(\rho_*:{\frak g}\to{\frak gl}(V)\), 诱导出了 \(V\) 值形式的乘积的概念. 设 \(\tau\in\Omega^k(P,V)\), \(\varphi\in\Omega^l(P,V)\), 定义 \[ (\tau\cdot\varphi)_p(v_1,\dots,v_{k+l}) := \frac1{k!l!}\sum_{\sigma\in S_{k+l}} (\sgn\sigma) \rho_*\Big( \tau_p(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)}) \Big) \varphi_p(v_{\sigma(k+1)},\dots,v_{\sigma(k+l)}), \] 对于 \(p\in P\), \(v_1,\dots,v_{k+l}\in T_pP\). 容易验证 \(\tau\cdot\varphi\) 的交错性和多重线性性, 因此 \(\tau\cdot\varphi\in\Omega^{k+l}(P,V)\).
特别地, 对于伴随表示 \({\rm Ad}:G\to{\rm GL}({\frak g})\) 以及李代数的伴随表示 \({\rm ad}:{\frak g}\to{\frak gl}({\frak g})\), 有 \({\rm ad}_AB=[A,B]\). 于是 \[ (\tau\cdot\varphi)_p(v_1,\dots,v_{k+l}) := \frac1{k!l!}\sum_{\sigma\in S_{k+l}} (\sgn\sigma) \Big[ \tau_p(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)}), \varphi_p(v_{\sigma(k+1)},\dots,v_{\sigma(k+l)}) \Big], \] 此时将 \(\tau\cdot\varphi\) 记作 \([\tau,\varphi]\).
Claim 31.10 (协变导数公式) 设主丛 \(P\to M\) 上有联络 \(\omega\). 张量性形式 \(\varphi\in\Omega^k_\rho(P,V)\) 的协变导数 \[ D\varphi = \dd\varphi + \omega\cdot\varphi. \]
Pf 见书 p. 283.
Note 主丛上的联络和曲率.
设 \(G\)-主丛 \(\pi:P\to M\), 取 \(\rho\) 为 \(G\) 的伴随表示, 则 \(\omega\cdot\varphi=[\omega,\varphi]\). 根据 Claim 31.9, 对任意张量性形式 \(\varphi\in\Omega^k_{\rm Ad}(P,{\frak g})\), \[ D\varphi = \dd\varphi + [\omega,\varphi]. \] 注意曲率形式 \(\Omega\in\Omega^2_{\rm Ad}(P,{\frak g})\) 是一个张量性形式, 但是联络形式 \(\omega\in\Omega^1(P,{\frak g})\) 不是张量性形式 (不具有水平性), 所以 Claim 31.10 的求导公式不适用于 \(D\omega\).实际上, 根据曲率 \(\Omega\) 的定义, \[ \Omega=\dd\omega+\frac12[\omega,\omega], \] 由 Claim 30.3, \[ \Omega=(\dd\omega)^h=D\omega,\Omega=(\dd\omega)^h=D\omega, \] 结合以上两式得到 \[ D\omega=\dd\omega + \frac12[\omega,\omega]. \] 系数 \(1/2\) 意味着 \(\omega\) 不适用 Claim 31.10 的求导公式.
利用 \(D\Omega=\dd\Omega+[\omega,\Omega]\), 曲率的第二 Bianchi 恒等式 \(\dd\Omega=[\Omega,\omega]\) 等价于 \[ D\Omega = 0. \]
32 Characteristic Classes of Principal Bundles
32.1 Invariant polynomials
设 \(n\) 维线性空间 \(V\). 对称空间 \(S_k(V)\cong{\rm Sym}^k(V^\vee)\) 中的元素称为 \(V\) 上的 \(k\) 次多项式 (即对称的 \(k\) 重线性映射). 记对称代数 \(S(V)=\bigoplus_{i=0}^\infty S_k(V)\), 有可交换的乘法 \[ \Align{ (\alpha\cdot\beta)(v_1,\dots,v_{k+l}) = \sum_{\sigma\in S_{k+l}} \alpha(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)}) \beta(v_{\sigma(k+1)},\dots,v_{\sigma(k+l)}), \\ \alpha\in S_k(V),\beta\in S_l(V). } \] 设 \(V^\vee\) 的基底 \(\alpha^1,\dots,\alpha^n\). 函数 \(f:V\to\R\) 称为多项式函数, 若 \(f\) 可以展开为关于 \(\alpha^1,\dots,\alpha^n\) 的 \(k\) 次单项式之和: \[ f = \sum a_I \alpha^{i_1}\cdots\alpha^{i_k}. \] 换言之, 对于 \(v\in V\), \[ f(v) = \sum a_I\alpha^{i_1}(v)\cdots\alpha^{i_k}(v), \] 是一个关于 \(v\) 的 \(k\) 次齐次式. \(V\) 上 \(k\) 次多项式函数的全体记作 \(P_k(V)\). 记 \(P(V)=\bigoplus_{i=0}^\infty P_k(V)\) 为 \(V\) 上的多项式代数, 它是一个分次交换代数.
- 多项式函数的定义不依赖基底. 若 \(f\) 在对偶基底 \(\{\alpha^i\}\) 下是多项式函数, 则在对偶基底 \(\{\beta^i\}\) 下也是多项式函数.
Claim 32.1 (多项式 \(=\) 多项式函数) 有分次代数同构 \[ \phi: S(V) \to P(V), \quad \phi(\alpha)(v) := \alpha(v,\dots,v). \]
Pf 显然 \(\phi\) 是分次代数同态. 可以验证, 其逆映射为 \[ \psi(f)(v_1,\dots,v_k) = \frac1{k!} \frac{\partial^k}{\partial t_1\cdots\partial t_k} f(t_1v_1+\dots+t_kv_k). \]
因此, 可以将 \(V\) 上的 \(k\) 次齐次函数 (多项式函数) 与对称的 \(k\) 重线性映射 (多项式) 认同.
设李群 \(G\) 的李代数 \(\frak g\). 多项式 \(f:{\frak g}\to\R\) 称为 \({\rm Ad}_G\)-不变的, 若 \[ f({\rm Ad}_gX) = f(X),\quad\forall X\in{\frak g},g\in G. \]
- \(\tr{X}\) 是 \({\frak gl}(n,\R)\) 上的 \(1\) 次多项式, \(\det{X}\) 是 \({\frak gl}(n,\R)\) 上的 \(n\) 次多项式. 它们都是 \({\rm Ad}_{{\rm GL}(n,\R)}\) 不变多项式.
32.2 The Chern-Weil homomorphism
设 \(G\)-主丛 \(\pi:P\to M\) 上的联络 \(\omega\) 与曲率 \(\Omega\). 给定 \({\frak g}\) 的基底 \(e_1,\dots,e_n\) 和对偶基底 \(\alpha^1,\dots,\alpha^n\), 则曲率可以展开为 \[ \Omega = \sum\Omega^ie_i, \] 其中 \(\Omega^i\in\Omega^2(P,\R)\). 设 \(k\) 次多项式 \(f:{\frak g}\to\R\), \(f=\sum a_I\alpha^{i_i}\cdots\alpha^{i_k}\), 则 \[ f(\Omega) = \sum a_I\Omega^{i_1}\wedge\cdots\wedge\Omega^{i_k}, \] 这是 \(P\) 上的一个 \({\frak g}\) 值 \(2k\) 次形式, 称为 Chern-Weil 形式.
Claim 32.2 如上定义的 \(f(\Omega)\) 不依赖 \(\frak g\) 的基底的选取.
Pf 设 \({\frak g}\) 的另一个基底 \(u_j\) 和对偶基底 \(\beta^j\), 与原基底的变换关系 \[ u_j = e_iA^i_j,\quad \beta^i=(A^{-1})^i_j\alpha^j. \] 将上式分别代入 \(f=\sum b_I\beta^{i_1}\cdots\beta^{i_k}\) 和 \(\Omega=\sum\Psi^ju_j\), 得到 \[ b_I = A^{j_1}_{i_1}\cdots A^{j_k}_{i_k} a_J \quad\textsf{和}\quad \Omega^i=A^i_j\Psi^j. \] 因此 \[ \Align{ \sum a_I\Omega^{i_1}\wedge\cdots\wedge\Omega^{i_k} &= \sum a_I(A^{i_1}_{j_1}\Psi^{j_1})\wedge\cdots\wedge (A^{i_k}_{j_k}\Psi^{j_k}) \\ &= \sum (a_IA^{i_1}_{j_1}\cdots A^{i_k}_{j_k}) \Psi^{j_1}\wedge\cdots\wedge\Psi^{j_k} \\ &= \sum b_J \Psi^{j_1}\wedge\cdots\wedge\Psi^{j_k}. } \]
Claim 32.3 设 \(G\)-主丛 \(\pi:P\to M\) 上的联络 \(\omega\) 与曲率 \(\Omega\), 以及 \(\frak g\) 上的 \(k\) 次 \({\rm Ad}_G\)-不变多项式 \(f\), 则
- \(f(\Omega)\) 是基本形式, 即存在 \(\Lambda\in\Omega^{2k}(M,{\frak g})\), 使得 \(f(\Omega)=\pi^*\Lambda\).
- \(\Lambda\) 是闭形式.
- de Rham 上同调类 \([\Lambda]\) 不依赖联络的选取.
Pf 1 的证明见书 p. 288. 书上 2, 3 的证明是错的, 可参考 S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, John Wiley and Sons, 1963 的 vol. 2, p. 295.
上同调类 \([\Lambda]\in H^{2k}(M)\) 称为主丛 \(P\) 的一个示性类(characteristic class). 记 \({\frak g}\) 上的所有 \({\rm Ad}_G\)-不变多项式的全体组成的代数为 \({\rm Inv}({\frak g})\), 则映射 \[ \Align{ w_P(-):{\rm Inv}({\frak g}) &\to H^*(M) \\ f &\mapsto [\Lambda],\quad f(\Omega)=\pi^*\Lambda, } \] 是一个代数同态, 称为 Chern-Weil 同态.
Claim 32.4 映射 \(w\) 是代数同态.
Pf 设 \(f,g\in{\rm Inv}({\frak g})\), \(w(f)=[\Lambda_1]\), \(w(g)=[\Lambda_2]\), 则 \[ f(\Omega) = \pi^*\Lambda_1,\quad g(\Omega) = \pi^*\Lambda_2. \] 两式相乘得到 \[ (fg)(\Omega) = f(\Omega)\wedge g(\Omega) = (\pi^*\Lambda_1)\wedge(\pi^*\Lambda_2) = \pi^*(\Lambda_1\wedge\Lambda_2), \] 即 \(w(fg)=w(f)w(g)\).
任给 \(G\)-主丛同态 \[ \xymatrix{ P \ar[r]^\phi \ar[d]_\pi & P' \ar[d]^{\pi'} \\ M \ar[r]_{\underline\phi} & M', } \] 主丛 \(\pi:P\to M\) 上的联络 \(\omega\) 的拉回 \(\phi^*\omega\) 是 \(\pi':P'\to M'\) 上的联络 (可以验证它满足联络的性质). 拉回联络的曲率为 \[ \Omega' = \dd(\phi^*\omega) + \frac12[\phi^*\omega,\phi^*\omega] = \phi^*\Omega. \] 设多项式 \(f\in{\rm Inv}({\frak g})\). 因为 \(\phi\) 是主丛同态, \(\pi'\circ\phi=\underline\phi\circ\pi\), 进而 \(\phi^*\pi'^*=\pi^*\underline\phi^*\), 有 \[ \Align{ f(\Omega') &= f(\phi^*\Omega) \\ &= \phi^*f(\Omega) \\ &= (\phi^*\pi^*)\Lambda = \pi^*(\underline\phi^*\Lambda), } \] 即 \(f(\Omega')\) 对应的 \(M\) 上的闭形式是 \(\underline\phi^*\Lambda\). 因此 \[ w_{P'}(f) = \underline{\phi}^* w_P(f), \] 这称为示性类的自然性. 总结为如下定理.
Claim 32.5 (自然性) 记 \({\rm PBund}_G(M)\) 为 \(M\) 上的 \(G\)-主丛组成的范畴. 给定 \(f\in{\rm Inv}({\frak g})\), 定义 \[ \Align{ c_M:{\rm PBund}_G(M) &\to H^*(M) \\ (\pi:P\to M) &\mapsto [\Lambda],\quad f(\Omega)=\pi^*\Lambda. } \] 则有自然变换 \(c:{\rm PBund}_G(\cdot)\to H^*(\cdot)\), 即 \(c\) 使得下图交换: \[ \xymatrix{ M & {{\rm PBund}_k(M)} \ar[r]^(.55){c_M} \ar[d]_{\phi^*} & H^*(M) \ar[d]^{\underline\phi^*} \\ N \ar[u]^{\underline\phi} & {{\rm PBund}_k(N)} \ar[r]_(.55){c_N} & H^*(N), } \] 其中 \(\phi\) 是任意覆盖 \(\underline\phi\) 的映射.
Example 主丛上的示性类.
若 \(G={\rm GL}(r,\C)\), 则 \({\rm Inv}({\frak g})\) 由所有的特征多项式系数 \(f_k(X)\) 生成. 由 \(f_k(X)\) 确定的示性类称为 Chern 类.
对于实数的情形 \(G={\rm GL}(r,\R)\), \(f_k(X)\) 确定的示性类称为 Pontrjagin 类. 对于标架丛来说, 若 \(k\) 为奇数, 则 \(f_k(\Omega)=0\).