GTM218 | 光滑流形笔记

主要参考:

• Introduction to Smooth Manifolds (GTM218) by John M. Lee.
• An Introduction to Manifolds by Loring W. Tu.
• 王作勤老师的微分流形讲义.

第一部分: 光滑流形与光滑映射.

1. 光滑流形: 光滑流形的定义与例子.
2. 光滑映射与单位分解: 光滑映射, 单位分解及其应用.
3. 切空间: 切空间与切映射, 切映射的坐标形式, 曲线的切向量.
4. 切空间: 切丛; 切空间的其他定义.
5. 光滑映射的局部行为: 常秩映射 & 满秩映射, 局部微分同胚, 秩定理.
6. 光滑映射的局部行为: 三种特殊的常秩映射 (光滑嵌入, 光滑淹没, 光滑覆叠映射).
7. 子流形: 嵌入子流形与浸入子流形.
8. 子流形
9. Sard 定理
10. 李群初步

第二部分: 流形上的张量场.

• 向量场
• 积分曲线与流
• 向量丛
• 张量场

第三部分: 微分形式与积分.

• 微分形式
• 分布与可积性
• 流形的定向
• 流形上的积分

第四部分: 李群.

• 指数映射
• 商流形

第五部分: de Rham 上同调.

• de Rham 上同调
• de Rham 定理