GTM218 | 4 切空间
GTM218 (Introduction to Smooth Manifolds) Chapter 3 的笔记.
5 The Tangent Bundle
5.1 The tangent bundle
将光滑流形 \(M\) 每一点处的切空间 \(T_pM\) 合在一起, 就构成了 \(M\) 的切丛 (tangent bundle): \[ TM := \coprod_{p\in M}T_pM \equiv \{(p,v)\mid p\in M,v\in T_pM\}. \] 切丛上有一个自然的投射 \(\pi:TM\to M\), \((p,v)\mapsto p\). 对于最特殊的欧氏空间 \(\R^n\), 切丛 \[ T\R^n = \coprod_{a\in\R^n}T_a\R^n \cong \coprod_{a\in\R^n} \R^n_a = \coprod_{a\in\R^n} \{a\}\times\R^n = \R^n\times\R^n \] 可以认同于乘积 \(\R^n\times\R^n\). 然而, 对于一般的光滑流形 \(M\), 切丛不能自然地认同于乘积, 因为不同的切空间没办法自然认同. 实际上, 我们将会看到, 不同的切空间只能 "局部地" 认同 (即在一个欧氏邻域内), 因此 \(TM\) "在局部上" 可以认同于乘积.
Proposition 5.1 (切丛的光滑结构) 设 \(n\) 维光滑流形 \(M\), 则切丛 \(TM\) 上有自然的拓扑结构与光滑结构, 使之成为 \(2n\) 维光滑流形. 此时, \(\pi:TM\to M\) 是光滑的.
Pf 我们的思路是构造 \(TM\) 的光滑坐标卡, 再利用光滑流形坐标卡引理 (Lemma 1.4). 取 \(M\) 的可数光滑图册 \(\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}\). 对于图册中的一个坐标卡 \((U,\varphi)\), 我们考虑 \(TM\) 的子集 \(\pi^{-1}(U)\) 及其到 \(\R^{2n}\) 子集的双射 \(\tilde\varphi:\pi^{-1}(U)\to\R^{2n}\), \[ \tilde\varphi\pqty{ p, v^i\eval{\pdv{x^i}}_p } := (x^1(p),\dots,x^n(p),v^1,\dots,v^n). \] 下面证明子集族 \(\{\pi^{-1}(U)\}\) 与 \(\{\tilde\varphi\}\) 满足 Lemma 1.4 的条件. 由构造, 条件 1, 4 是显然的.
条件 2: 首先注意到 \(\tilde\varphi(\pi^{-1}(U))=\varphi(U)\times\R^n\) 是 \(\R^{2n}\) 中的开集 (根据积拓扑). 设另一个坐标卡 \((V,\psi)\), 则 \[ \tilde\varphi(\pi^{-1}(U)\cap\pi^{-1}(V)) = \tilde\varphi(\pi^{-1}(U\cap V)) = \varphi(U\cap V)\times\R^n \] 是 \(\R^{2n}\) 中的开集. 对于 \(\tilde\psi(\pi^{-1}(U)\cap\pi^{-1}(V))\) 同理. 这验证了条件 2.
条件 3: 计算转移函数 \(\tilde\psi\circ\tilde\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\times\R^n\to\psi(U\cap V)\times\R^n\), \[ \Align{ (\tilde\psi\circ\tilde\varphi^{-1})(r^1,\dots,r^n,v^1,\dots,v^n) &= \tilde\psi\pqty{ p, v^i\eval{\pdv{x^i}}_p } \\ &= \pqty{\tilde{x}^1(r),\dots,\tilde{x}^n(r), v^j\eval{\pdv{\tilde{x}^1}{x^j}}_r,\dots, v^j\eval{\pdv{\tilde{x}^n}{x^j}}_r }, } \] 其中 \(r=(r^1,\dots,r^n)\in\varphi(U\cap V)\), \(p=\varphi^{-1}(r)\). 因此 \(\tilde\psi\circ\tilde\varphi^{-1}\) 是光滑函数.
条件 5: 任给 \((p,v),(q,w)\in TM\), 如果 \(p=q\), 则它们在同一个子集 \(\pi^{-1}(U)\) 中; 如果 \(p\neq q\), 则由 \(M\) 的 Hausdorff 性, \(p,q\) 可以被坐标邻域 \(U,V\) 分离, 则 \((p,q),(q,w)\) 被子集 \(\pi^{-1}(U),\pi^{-1}(V)\) 分离.
综上, 应用引理, 得到 \(TM\) 是一个光滑流形. 要证明 \(\pi:TM\to M\) 是光滑映射, 只需注意到 \(\pi\) 在坐标卡 \((\pi^{-1}(U),\tilde\varphi)\) 与 \((U,\varphi)\) 下的坐标表示是 \(\hat\pi(x,v)=x\).
Proposition 5.4 (切丛的光滑结构, 带边) 设 \(n\) 维带边光滑流形 \(M\), 则切丛 \(TM\) 上有自然的拓扑结构与光滑结构, 使之成为 \(2n\) 维带边光滑流形. 此时, \(\pi:TM\to M\) 是光滑的.
Pf 证明使用 Lemma 1.4 的带边版本. 对于 \(M\) 的内部坐标卡 \((U,\varphi)\) 来说, 构造和上面是完全一样的, 得到的 \((\pi^{-1}(U),\tilde\varphi)\) 是 \(TM\) 的内部坐标卡. 对于 \(M\) 的边界坐标卡 \((V,\psi)\) 来说, 上面的构造给出 \[ \tilde\psi(\pi^{-1}(V))=\psi(V)\times\R^n\subset\H^n\times\R^n, \] 通过坐标重排, \(\H^n\times\R^n\) 自然认同于 \(\H^{2n}\), 因此 \(\psi(V)\times\R^n\) 可以视作 \(\H^{2n}\) 中的开子集. 其中所有边界点恰好为 \((\psi(V)\cap\partial\H^n)\times\R^n\). 因此 \(\pi^{-1}(V)\) 中的所有边界点恰好为 \[ \pi^{-1}(V\cap\partial{M}). \] 总之, \((\pi^{-1}(V),\tilde\psi)\) 给出了边界坐标卡. 用同样的方法能验证所有坐标卡满足 Lemma 1.4 的条件.
Proposition 5.3 (切丛的局部平凡性) 设 \(n\) 维 (带边) 光滑流形 \(M\), 若 \(M\) 可被一个坐标卡覆盖, 则 \(TM\) 微分同胚于 \(M\times\R^n\).
Pf 若 \((M=U,\varphi)\) 是坐标卡, 此时 \(M\) 微分同胚于 \(\R^n\) 或 \(\H^n\) 的开子集 \(\hat{U}\). 从以上两个定理的证明中看出, 自然坐标 \(\tilde\varphi\) 给出了 \(TM\) 与 \(\hat{U}\times\R^n\) 的微分同胚. 因此 \(TM\cong \hat{U}\times\R^n\cong M\times\R^n\).
光滑流形 \(M\) 是 "局部平凡的", 即它局部微分同胚于 \(\R^n\) 中的开子集. 切丛 \(TM\) 也是 "局部平凡的", 即它局部同胚于 \(\R^n\) 的开子集 \(\hat{U}\) 与线性空间 \(\R^n\) 的乘积 \(\hat{U}\times\R^n\). 因此我们说, 切丛带有 "部分的线性结构". 在之后的章节中, 我们将这种带有部分线性结构的光滑流形推广 (光滑向量丛).
5.2 The global differential
既然切空间可以 "拼合" 起来, 切映射当然也能拼合起来. 设光滑映射 \(F:M\to N\), 其整体切映射 (global tangent map) 指的是 \(F_*:TM\to TN\), \[ F_*(p,v) := (F(p), F_{*,p}v)\in TN,\quad (p,v)\in TM. \] 整体切映射也叫做整体微分, 推前等.
Proposition 5.4 (整体切映射的光滑性) 设光滑映射 \(F:M\to N\), 则 \(F_*:TM\to TN\) 是光滑的.
Pf 在 \(TM\) 与 \(TN\) 的自然坐标下, \[ F_*(x^1,\dots,x^n,v^1,\dots,v^n) = \pqty{ F^1(x),\dots,F^n(x), v^i\eval{\pdv{F^1}{x^i}}_x,\dots,v^i\eval{\pdv{F^n}{x^i}}_x }, \] 由光滑映射 \(F\) 与线性映射拼合而成.
利用 (局部) 切映射的性质不难推出:
Proposition 5.5 (整体切映射函子性) 设光滑映射 \(F:M\to N\), \(G:N\to P\), 则
- \((G\circ F)_*=G_*\circ F_*\).
- \(({\rm id}_M)_*={\rm id}_{TM}\).
- 若 \(F\) 是微分同胚, 则 \(F_*\) 也是微分同胚, 且 \((F_*)^{-1}=(F^{-1})_*\). (因此记号 \(F_*^{-1}\) 是良定义的.)
切丛与整体切映射构造可以视作光滑范畴 \(\sf Diff\) 到自身的协变函子, 称为切函子 (tangent functor), 它将光滑流形 \(M\) 映到 \(TM\), 将光滑映射 \(F:M\to N\) 映到光滑映射 \(F_*:TM\to TN\). 一般来说, 对切丛的研究是比较方便的, 因为切丛上有 "部分线性结构", 可以利用线性代数的工具研究它. 切函子与切空间函子能够将流形 \(M\) 上的问题转化为切丛/切空间 \(TM\) 上的问题.
6 *Alternative Definitions of the Tangent Space
6.1 Derivations of the space of germs
我们将切向量定义为 \(C^\infty(M)\) 上的导子, 之后证明了其局部性. 另一种最常见的定义基于 "函数芽" 的概念, 这种定义能够更好地刻画切向量的局部性.
光滑流形 \(M\) 上的光滑函数元 (smooth function element) 指的是有序对 \((f,U)\), 其中 \(U\) 是开子集, \(f:U\to\R\) 是光滑函数. 对于定义域包含 \(p\) 的两个光滑函数元 \((f,U)\), \((g,V)\), 定义 \[ (f,U)\sim(g,V)\iff\textsf{存在 $p$ 的邻域 }W\subset U\cap V, \textsf{ 使得 }f|_W=g|_W. \] 这是一个等价关系, \((f,U)\) 所在的等价类 \([f,U]\) 称为 \(f\) 在 \(p\) 处的芽 (germ of \(f\) at \(p\)). 所有 \(p\) 处的函数芽组成的集合记作 \(C^\infty_p(M)\). 其上有良定义的 \(\R\)-线性运算与乘法: \[ \Align{ c[f,U] &:= [cf,U], \\ [f,U] + [g,V] &:= [f+g,U\cap V], \\ [f,U][g,V] &:= [fg,U\cap V], } \] 使得 \(C^\infty_p(M)\) 成为一个 \(\R\)-交换代数. 为了简便, 我们将 \([f,U]\) 记作 \([f]_p\), 因为 \(f\) 在更小的邻域上的限制 \([f|_W,W]\) 和 \([f,U]\) 是同一个函数芽.
芽空间 \(C^\infty_p(M)\) 上的一个导子指的是 \(\R\)-线性映射 \(v:C^\infty_p(M)\to\R\), 满足 \[ v[fg]_p = v[f]_pg(p) + f(p)v[g]_p. \] 所有导子组成的 \(\R\)-线性空间记作 \({\cal D}_pM\), 有的书将 \({\cal D}_pM\) 定义为 \(M\) 在 \(p\) 处的切空间.
Proposition 6.1 (等价性) 映射 \(\Phi:{\cal D}_pM\to T_pM\), \((\Phi v)f:=v([f]_p)\) 是线性同构.
Pf 线性性略. 单射性: 若 \((\Phi v)f=0\) 对任意 \(f\in C^\infty(M)\), 则 \(v\) 是零映射. 满射性: 任给 \(v\in T_pM\), 定义 \(w\in{\cal D}_pM\), \(w[f]_p:=v(f)\). 根据切向量的局部性, \(w[f]_p\) 的值不依赖代表元 \(f\) 的选取, 因此是良定义的. 显然 \(\Phi(w)=v\).
这个定义很直接地刻画了切向量的局部性, 无需依赖鼓包函数去证明. 实际上, 因为不存在解析的鼓包函数, 所以实解析流形/复流形上的切空间只能用芽空间 \(C^\infty_p(M)\) 上的导子去定义. 该定义的一个缺点是比较抽象.
6.2 Equivalence classes of curves
我们证明过, 切空间中的所有切向量都是某条光滑曲线的速度, 这启发出切向量的另一种定义.
设光滑流形 \(M\) 中一点 \(p\). 任给两条从 \(p\) 开始的光滑曲线 \(\gamma_1:J_1\to M\), \(\gamma_2:J_2\to M\), 定义 \[ \gamma_1\sim\gamma_2\iff (f\circ\gamma_1)'(0)=(f\circ\gamma_2)'(0), \quad\forall f\textsf{ 是 $p$ 的某邻域上的光滑函数}. \] 这构成所有从 \(p\) 开始的光滑曲线的集合上的等价关系. 等价类组成的集合记作 \({\cal V}_pM\), 这也可以作为切空间的等价定义, 好处是几何上非常直观.
此时, 光滑映射 \(F:M\to N\) 的微分可以定义为将 \([\gamma]\in{\cal V}_pM\) 映到 \([F\circ\gamma]\in{\cal V}_{F(p)}N\) 的线性映射; 曲线 \(\gamma\) 在 \(t=0\) 的速度可以定义为 \([\gamma]\in{\cal V}_{\gamma(0)}M\); 在 \(t_0\neq0\) 处的速度定义为曲线 \(\gamma_{t_0}(t)=\gamma(t_0+t)\) 在 \(0\) 处的速度.
这种定义的一个缺点是, \({\cal V}_pM\) 上的 \(\R\)-线性结构不是很直接, 一种方法是建立 \({\cal V}_pM\) 与 \(T_pM\) 的双射.
Proposition 6.2 (等价性) 映射 \(\Psi:{\cal V}_pM\to T_pM\), \(\Psi[\gamma]:=\gamma'(0)\) 是良定义的双射.
Pf 良定义: 若 \(\gamma_1\sim\gamma_2\), 我们只需证明对任意 \(f\in C^\infty(M)\), 有 \(\gamma_1'(0)f=\gamma_2'(0)f\). 由定义, \[ \gamma_1'(0)f = \eval{\dv{t}}_0 (f\circ\gamma_1) = \eval{\dv{t}}_0 (f\circ\gamma_2) = \gamma_2'(0)f. \] 单射性: 若 \(\gamma_1'(0)\neq\gamma_2'(0)\), 则存在 \(f\in C^\infty(M)\), 使得上式不成立, 说明 \(\gamma_1\not\sim\gamma_2\). 满射性: 因为任意切向量都是某条曲线的速度.
6.3 Equivalence classes of \(n\)-tuples
切向量最古老的定义是依赖于坐标系的, 可以认为是 \(\R^n\) 中向量概念的直接延申. 对于 \(p\in M\), 我们为每个包含 \(p\) 的坐标卡 \((U,\varphi)\) 指定一个 \(n\) 元有序数组 \((v^1,\dots,v^n)\in\R^n\), 并且不同坐标系下的数组应当满足 Proposition 4.12 的变换律. 因此, 这些有序数组是 "同一个向量在不同坐标系下的分量". 有的书以这些有序数组作为切向量的定义.
在该定义下, 切向量与切映射分别定义为其坐标表示 (要说明这两个定义不依赖坐标系, 需要一些非平凡的计算).