GTM218 | 1 光滑流形

GTM218 (Introduction to Smooth Manifolds) Chapter 1 的笔记.

我们已经学习了拓扑流形的相关理论. 对于拓扑流形, 人们关注的是其在同胚映射 (甚至同伦等价) 下不变的性质, 即 "拓扑不变性质".

为了在流形上运用强大的分析工具, 我们首先把 "光滑性" 的概念搬到流形上, 于是有了 "光滑流形" 和 "光滑映射" 的概念. 为了在流形上做微积分, 我们又发展出 "切空间" 与 "切映射" (分别是空间与映射的线性近似) 的概念... 利用分析学工具研究拓扑的学科叫做微分拓扑, 即研究流形在 "微分同胚" (光滑范畴中的同构) 甚至 "光滑形变" 下不变的性质. 和一般拓扑或者代数拓扑一样, 它们研究的都是空间的整体性质.

流形上还可以定义各种 "附加结构". 例如, 流形上的黎曼度量使得流形有了 "距离", "体积" 和 "曲率" 等概念; 拥有伪黎曼度量的流形则是广义相对论中的 "时空"; 拥有辛结构的流形则在经典力学中有大用处. 流形上不同的附加结构导向了不同的数学分支, 粗略地说, 它们统称微分几何学.

1 Smooth Manifolds

1.1 A Brief review of topological manifolds

回顾拓扑流形的定义: 一个 \(n\) 维拓扑流形指的是 Hausdorff, 第二可数, 局部 \(\R^n\) 的拓扑空间 \(M\). 根据维数不变性, \(M\) 的维数 \(n\) 是良定义的.

拓扑流形 \(M\) 的一个坐标卡 (coordinate chart) 指的是 \((U,\varphi)\), 其中 \(U\subset M\) 是开子集, \(\varphi:U\overset\sim\to\hat{U}\) 是同胚, \(\hat{U}\) 是 \(\R^n\) 的开子集.

• \(U\) 称为坐标域 (coordinate domain) 或点 \(p\in U\) 的坐标邻域 (coordinate neighborhood).
• 若 \(\varphi(U)\) 是 \(\R^n\) 中的开球, 则称 \(U\) 是坐标球.
• 若 \(\varphi(U)\) 是 \(\R^n\) 中的开立方体, 则称 \(U\) 是坐标立方体.

根据拓扑流形的定义, 每一点 \(p\in M\) 都包含于某个 \((U,\varphi)\) 的坐标域. 如果 \(\varphi(p)=0\), 则称 \((U,\varphi)\) 是以 \(p\) 为中心的坐标卡. 通过平移, 每一点 \(p\in M\) 都存在以之为中心的坐标卡.

• \(\varphi\) 称为 (局部) 坐标映射 (coordinate map). 记 \((r^1,\dots,r^n)\) 是 \(\R^n\) 上的标准坐标函数, 则 \[ x^i := r^i\circ\varphi : U\to\R \] 称为 \(U\) 上的坐标函数 (coordinate functions).

拓扑流形 \(M\) 的一个图册 (chart) \({\cal A}\) 指的是坐标开覆盖 \(\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}\).

拓扑流形的拓扑性质见拓扑流形笔记. 这里简要整理一些结论: 设 \(M\) 是拓扑流形,

1. \(M\) 局部道路连通.
2. \(M\) 连通当且仅当 \(M\) 道路连通.
3. \(M\) 有可数个分量, 每个分量都是 \(n\) 维拓扑流形.
4. \(M\) 具有可数正则坐标球基.
5. \(M\) 局部紧, 仿紧.
6. \(M\) 的基本群是可数集.

一个 \(n\) 维带边拓扑流形指的是 Hausdorff, 第二可数, 局部 \(\H^n\) 的拓扑空间.

• \(\H^n=\{x\in\R^n\mid x^n\geq0\}\) 是闭上半平面, 定义 \(\H^n\) 的流形边界 \(\partial\H^n=\{x\in\R^n\mid x^n=0\}\), 流形内部 \({\rm Int}\H^n=\{x\in\R^n\mid x^n>0\}\). 特别地, 当 \(n=0\), \(\H^0=\R^0=\{0\}\), \(\partial\H^0=\emptyset\).
• 若坐标系 \((\varphi,U)\) 满足 \(\varphi(U)\subset{\rm Int}\H^n\), 则称之为内部坐标系, 此时 \(\varphi\) 也可视作到 \(\R^n\) 的映射, \(U\) 中的点称为内部点. 若 \(\varphi(U)\cap\partial\H^n\neq\emptyset\), 则称之为边界坐标系, \(\varphi^{-1}(\partial\H^n)\) 中的点称为边界点.

根据边界不变性, 一个点不能既是内部点, 也是边界点. 因此, 我们定义流形边界 \(\partial{M}\) 为边界点的集合. 流形内部为内部点的集合.

• 区分 "拓扑边界" 与 "流形边界": \(\H^n\) 作为拓扑空间来说, 它的拓扑边界为空; 然而其流形边界为 \(\R^{n-1}\).
• 一般来说, 带边流形不是流形. 为了区分, 后者有时也称为无边流形.
• 带边流形上坐标球的定义同拓扑流形; 坐标半球指的是满足 \(\varphi(U)=B_r(0)\cap\H^n\) 的坐标域 \(U\).

带边流形的一些基本结论: 设 \(M\) 是 \(n\) 维带边流形

1. \({\rm Int}M\) 是 \(M\) 的开子集, 是 \(n\) 维无边流形.
2. \(\partial{M}\) 是 \(M\) 的闭子集, 是 \((n-1)\) 维无边流形.
3. \(M\) 是无边流形当且仅当 \(\partial{M}=\emptyset\). 特别地, \(0\) 维带边流形都是无边流形.

带边流形的拓扑性质几乎同无边流形, 此处不再赘述.

下面的两小节, 我们给出 (带边) 光滑流形的定义, 出发点是尝试在 \(M\) 上定义函数 "光滑性" 的概念.

1.2 Smooth manifolds

设 \(M\) 是拓扑流形, 连续函数 \(f:M\to\R\). 我们给出 \(f\) 的 "光滑性" 的定义? 一个自然的想法是取 \(M\) 的一个图册 \({\cal A}=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}\), 这样 \(f:M\to\R\) 局部地体现为 \(f\circ\varphi_\alpha^{-1}\), 这是一个 \(\R^n\supset\hat{U}\to\R\) 的函数. 由此我们可以借 \(f\circ\varphi_\alpha^{-1}\) 的光滑性来定义 \(f\) 的光滑性.

这里有两个问题:

1. \(f\) 的 "光滑性" 是否依赖坐标卡 \((U_\alpha,\varphi_\alpha)\) 的选择? 换言之, 若 \((U,\varphi)\) 和 \((V,\psi)\) 是 \({\cal A}\) 中相交的坐标卡, 则 \(f\circ\varphi^{-1}\) 与 \(f\circ\psi^{-1}\) 是否具有相同的光滑性?
2. \(f\) 的 "光滑性" 是否依赖图册 \({\cal A}\) 的选择?

对于一般的 \(\cal A\), 问题 1 显然不能保证. 为此, 我们给出相容坐标卡的定义.

设坐标卡 \((U,\varphi)\) 和 \((V,\psi)\) 满足 \(U\cap V\neq\emptyset\), 映射 \(\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)\) 称为从 \(\varphi\) 到 \(\psi\) 的转移映射 (transition map). 作为同胚的复合, 转移映射是同胚. 两个坐标卡 \((U,\varphi)\) 和 \((V,\psi)\) 称为 \(C^k\) 相容的 (\(C^r\) compatible), 如果 \(U\cap V=\emptyset\), 或者转移映射 \(\psi\circ\varphi^{-1}\) 是 \(C^k\) 映射 (\(k\) 阶连续可微).

对于图册 \({\cal A}\), 若其中任意两个坐标卡都是 \(C^k\) 相容的, 则称 \({\cal A}\) 是 \(C^k\) 坐标卡. 一个 \(C^k\) 图册 \(\cal A\) 称为极大的 (maximal), 如果任意与 \(\cal A\) 相容 (即与 \(\cal A\) 中所有坐标卡相容) 的坐标卡都属于 \(\cal A\).

• 若 \(\cal A\) 是 \(C^k\) 图册, 则转移映射 \(\psi\circ\varphi^{-1}\) 是 \(C^k\) 的, 其逆映射 \(\varphi\circ\psi^{-1}\) (也是个转移映射) 也是 \(C^k\) 的.

拓扑流形 \(M\) 上的一个极大 \(C^k\) 图册 \(\cal A\) 称为一个 \(C^k\) 结构 (\(C^k\) structure). 拥有 \(C^k\) 微分结构的拓扑流形 \((M,{\cal A})\) 称为 \(C^k\) 流形 (\(C^k\) manifold).

• \(C^0\) 流形就是拓扑流形.
• \(C^\infty\) 流形称为光滑流形 (smooth manifold), \(C^\infty\) 图册称为光滑图册.
• \(C^\omega\) 流形称为实解析流形. 若 \(n=2m\), 认同 \(\R^n\cong\C^m\), 若转移映射都是复解析的, 则称为复流形.

本书研究的都是光滑流形, 通常将其简称为 "流形". 根据定义, 为了确定一个流形, 我们需要指定一个极大相容图册, 这显然很不方便. 幸运的是, 下面的定理表明, 我们只需要给出一个相容图册 (不必极大) 就够了.

Proposition 1.1 设拓扑流形 \(M\).

1. \(M\) 的任一光滑图册 \(\cal A\) 包含于唯一一个极大图册中, 称为 \(\cal A\) 确定的光滑结构.
2. \(M\) 的两个光滑图册确定同一个光滑结构, 当且仅当它们的并是光滑图册.

• 对于能够由单一坐标卡 \(\{(U,\varphi)\}\) 覆盖的拓扑流形 \(M\), 相容性是平凡的, \(M\) 自动是 \(C^k\) 流形.

现在可以给出函数 \(f\) 光滑性的定义了. 若 \((M,{\cal A})\) 是光滑流形, 我们称 \(f:M\to\R\) 光滑, 若对任意坐标卡 \((U,\varphi)\), 都有 \(f\circ\varphi^{-1}\) 光滑. \(\cal A\) 的 \(C^\infty\) 相容性保证光滑性是良定义的. 之后我们还会定义光滑流形间映射 \(f:M\to N\) 的光滑性.

对于问题 2, 实际上, 拓扑流形 \(M\) 上可以有许多不相容的光滑结构, 比如:

• \({\cal A}_1=\{(\R,{\rm id}_\R)\}\) 和 \({\cal A}_2=\{(\R,\psi)\}\), 其中 \(\psi:\R\to\R\), \(\psi(x)=x^3\). 因为 \({\rm id}_\R\circ\psi^{-1}\) 是三次根号 \(x\mapsto x^{1/3}\), 在原点处不光滑, 所以 \({\cal A}_1,{\cal A}_2\) 给出了不同的光滑结构. 恒等映射 \({\rm id}_\R\) 在 \((\R,{\cal A}_1)\) 上是光滑函数, 在 \((\R,{\cal A}_2)\) 上却不是.

拓扑流形上有正则坐标球的概念, 光滑流形上也有相应的光滑版本. 子集 \(B\subset M\) 称为正则坐标球, 若存在光滑坐标球 \(B'\supset\overline{B}\) 和光滑坐标映射 \(\varphi:B'\to\R^n\), 使得 \[ \varphi(B)=B_{r}(0),\quad \varphi(\overline{B})=\overline{B_r(0)},\quad \varphi(B')=B_{r'}(0), \] 其中 \(0<r<r'\). 此时 \(\overline{B}\cong\overline{B_r(0)}\) 紧, 于是 \(B\) 预紧.

Proposition 1.2 光滑流形存在正则坐标球组成的可数拓扑基.

1.3 Smooth manifolds with boundary

光滑结构的概念可以自然地推广到带边流形上. 设带边拓扑流形 \(M\) 上有极大光滑图册 (转移函数是光滑的), 则称之为带边光滑流形 (smooth manifold with boundary).

• 设坐标卡 \((U,\varphi)\), \((V,\psi)\), 如果 \(\psi(U\cap V)\cap\partial\H^n\neq\emptyset\) , 则转移映射 \(\varphi\circ\psi^{-1}\) 的定义域不是 \(\R^n\) 中的开集. 我们称映射 \(F:A\to\R^k\) (\(A\) 是 \(\R^n\) 的任意子集) 是光滑的, 如果对 \(A\) 中任意一点 \(a\), \(F\) 都能延拓到 \(a\) 的某个邻域上的光滑映射.

  例如, 对于 \(f:\mathbb{B}^2\cap\H^2\to\R\), \(f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\), 它能够光滑地延拓到整个 \(\mathbb{B}^2\) 上, 因此是光滑函数. 但是 \(g:\H^2\to\R\), \(g(x,y)=\sqrt{y}\) 不是光滑函数, 因为 \(g\) 在 \(\partial\H^2\) 中的任意一点不存在光滑延拓.

带边光滑流形上的正则坐标半球指的是光滑坐标半球 \(B\subset M\), 满足存在光滑坐标半球 \(B'\supset\overline{B}\) 和光滑坐标映射 \(\varphi:B'\to\H^n\), 使得 \[ \varphi(B)=B_{r}(0)\cap\H^n,\quad \varphi(\overline{B})=\overline{B_r(0)}\cap\H^n,\quad \varphi(B')=B_{r'}(0)\cap\H^n, \] 其中 \(0<r<r'\).

Proposition 1.3 带边光滑流形存在正则坐标球, 正则坐标半球组成的可数拓扑基.

1.4 Examples

光滑流形的简单例子:

• (\(0\) 维流形) \(0\) 维拓扑流形是可数的离散空间, 点 \(p\) 的欧氏邻域就是 \(\{p\}\cong\R^0\). 这些坐标邻域互不相交, 自然构成了相容图册.
• (欧氏空间) 单个坐标卡 \((\R^n,{\rm id}_{\R^n})\) 确定的光滑结构称为 \(\R^n\) 的标准光滑结构.
• (另一种光滑结构) 在前一小节我们考虑了 \(\R\) 上两种不同的光滑结构: \((\R,{\rm id}_{\R})\) 和 \((\R,\psi)\), \(\psi(x)=x^3\). 利用这种思路, 可以为任意光滑流形构造不同的光滑结构.
• (有限维线性空间) \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的任何范数诱导出相同拓扑. 在这种拓扑下, \(V\) 构成 \(n\) 维光滑流形. 任取基底 \(\{E_1,\dots,E_n\}\), 定义同胚 \(E:\R^n\to V\), \(E(x)=x^iE_i\), 于是 \((V,E^{-1})\) 是一个坐标卡. 对于任意两个基底对应的坐标卡 \((V,E)\), \((W,F)\), 其转移映射 \(E\circ F^{-1}\) 是一个可逆线性映射, 因此两个坐标卡 \(C^\infty\) 相容. 这些坐标卡确定的光滑结构称为 \(V\) 上的标准光滑结构.
• (矩阵空间) \(m\times n\) 的实矩阵组成的集合 \(M_{m,n}(\R)\) 认同于 \(\R^{mn}\), 而 \(m\times n\) 复矩阵组成的集合 \(M_{m,n}(\C)\) 认同于 \(\R^{2mn}\), 因此它们都是光滑流形.

光滑流形的一些构造:

• (开子流形) 光滑 (带边) 流形 \((M,{\cal A})\) 的开子集 \(U\) 自然的继承 \(M\) 的光滑结构: \[ {\cal A}_U:=\{(V,\varphi)\in{\cal A}\mid V\subset U\} \] 根据 \({\cal A}\) 的极大性, 所有形如 \((W\cap U,\varphi|_V)\) 的坐标卡都在 \({\cal A}_U\) 中 (其中 \((W,\varphi)\) 是 \(M\) 的坐标卡), 因此 \({\cal A}_U\) 是一个极大图册. 在这个光滑结构下, \(U\) 称为 \(M\) 的 (带边) 开子流形.

• (积流形) 设 \(M_1,\dots,M_k\) 分别是 \(n_1,\dots,n_k\) 维光滑流形, 则 \(M_1\times\dots\times M_k\) 是 \(n_1+\dots+n_k\) 维拓扑流形, 其图册形如 \((U_1\times\dots\times U_k,\varphi_1\times\dots\times\varphi_k)\), 容易验证它们是相容图册. 其确定的光滑结构称为积光滑结构.

• (带边流形的积) 带边流形的积一般不是带边流形, 因为 \(\H^n\times\H^m\) 不是带边流形 (它是一个带 "角" 的流形). 但是, 若 \(M_i\) 是无边流形, \(N\) 是带边流形, 则 \(M_1\times\dots\times M_k\times N\) 是一个带边流形, 其流形边界为 \(M_1\times\dots\times M_k\times\partial{N}\).

光滑流形的更多例子:

• (一般线性群) 一般线性群 (general linear group) \({\rm GL}(n,\R)\) 为 \(n\) 阶可逆实方阵乘法群. 作为行列式函数的原像集 \(\det^{-1}((-\infty,0)\cup(0,+\infty))\), \({\rm GL}(n,\R)\) 是 \(M_{n}(\R)\) 的开子流形.

• (满秩矩阵空间) 作为前例的推广, 考虑 \(M_{m,n}(\R)\) 中满秩矩阵组成的集合. 对于 \(m>n\), 记 \(M_{m,n}^m(\R)\) 是秩为 \(m\) 的满秩矩阵组成的集合. 若 \(A\in M^m_{m,n}(\R)\), 则 \(A\) 有一个可逆的 \(m\times m\) 子矩阵. 根据 \(\det\) 的连续性, 存在 \(A\) 在 \(M_{m,n}(\R)\) 中的邻域 \(U\), 使得对 \(U\) 中的矩阵 \(B\), 其相同位置上的子矩阵是可逆的. 因此 \(A\in U\subset M^m_{m,n}(\R)\), 说明 \(M^m_{m,n}(\R)\) 是开集, 进而是 \(M_{m,n}(\R)\) 的开子流形. 类似地, 对于 \(m<n\), \(M^n_{m,n}(\R)\) 也是开子流形.

• (光滑映射的图像) 设开集 \(U\subset\R^n\), 光滑函数 \(f:U\to\R^k\) 的图像 (graph) 定义为 \[ \Gamma(f)=\{(x,y)\in U\times\R^k\mid y=f(x)\}. \] 在 \(\R^{n+k}\) 的子空间拓扑下, \(\Gamma(f)\) 是一个 \(n\) 维拓扑流形. 它可以被单一坐标卡 \((\Gamma(f),\pi_1)\) 覆盖, 这使得 \(\Gamma(f)\) 成为一个光滑流形.

• (光滑函数的水平集) 设开集 \(U\subset\R^n\), 光滑函数 \(\Phi:U\to\R\). 对于 \(c\in\R\), 原像集 \(\Phi^{-1}(c)\) 称作 \(f\) 的水平集 (level set). 记 \(M=\Phi^{-1}(c)\), 如果对于任意 \(a\in M\), 全微分 \(Df(a)\) (作为 \(n\times1\) 矩阵) 不为零. 因此, 任给 \(a\in M\), 某偏导数 \(\partial\Phi/\partial x^i(a)\neq0\). 根据隐函数定理 (见 7.5 节), 存在 \(a\) 的邻域 \(U_0\), 使得 \(U_0\cap M\) 是某个光滑 \(f\) 函数的图像: \[ x^i = f(x^1,\dots,\widehat{x^i},\dots,x^n). \]

  记投影映射 \(\varphi:\Gamma(f)\to\R^{n-1}\). 如果 \(\psi\) 是另一个这样的投影映射, 则转移函数 \[ (\varphi\circ\psi^{-1})(u^1,\dots,u^{n-1}) =(u^1,\dots,\widehat{u^i},\dots,f(u^1,\dots,u^{n-1}),\dots,u^{n-1}) \] 是光滑的. 因此, 坐标映射族 \(\{\varphi\}\) 使得 \(M\) 成为 \((n-1)\) 维光滑流形.

• (球面) \(\mathbb{S}^n\) 是光滑函数 \(\Phi(x^0,\dots,x^n)=(x^0)^2+\dots+(x^n)^2-1\) 的水平集 \(\Phi^{-1}(0)\), 并且 \(D\Phi\) 在水平集上恒不为零, 因此 \(\mathbb{S}^n\) 是一个光滑 \(n\) 维流形. 特别地, 我们考虑光滑图册 \(\{(U_i^\pm,\varphi_i^\pm)\}\), 其中 \[ \Align{ \varphi_i^+:U_i^+ &\to \R^n, \\ (x^0,\dots,x^n) &\mapsto (x^0,\dots,\widehat{x^i},\dots,x^n), } \] 坐标域 \(U_i^+=\{(x^0,\dots,x^n)\in\mathbb{S}^n\mid x^i>0\}\). (对于 \((U_i^-,\varphi_i^-)\) 同理.) 转移函数 (不妨设 \(i<j\)) \[ \varphi_i^\pm\circ(\varphi_j^\pm)^{-1}(u^1,\dots,u^n) = \pqty{u^1,\dots,\widehat{u^i},\dots, \pm\sqrt{1-\|u\|^2},\dots,u^n} \] 是光滑的. \(\{(U_i^\pm,\varphi_i^\pm)\}\) 确定的光滑结构称为 \(\mathbb{S}^n\) 的标准光滑结构.

  • 球极投影也可以给出相同的光滑结构.

• (实射影空间) 实射影空间 \(\mathbb{RP}^n\) 定义为 \(\R^{n+1}\setminus\{0\}\) 的商空间, 等价关系为 \(x\sim\lambda x\) (\(\lambda\neq0\)). \(\mathbb{RP}^n\) 是一个 \(n\) 维拓扑流形, 它的一个图册是 \(\{(U_i,\varphi_i)\}\), 其中坐标映射 \[ \Align{ \varphi_i: U_i &\to \R^n, \\ [x^0,\dots,x^n] &\mapsto \pqty{ \frac{x^0}{x^i},\dots,\frac{x^{n+1}}{x^i} }, } \] 坐标域 \(U_i=\{[x^0,\dots,x^n]\in\mathbb{RP}^n\mid x^i\neq0\}\). 这个图册的转移函数是 (不妨设 \(i<j\)) \[ (\varphi_j^{-1}\circ\varphi_i)(u_1,\dots,u_n) = \pqty{ \frac{u^1}{u^j},\dots,\frac{u^{j-1}}{u^j},\frac{u^{j+1}}{u^j}, \dots, \frac{u^{i-1}}{u^j},\frac1{u^j},\frac{u^i}{u^j}, \dots, \frac{u^n}{u^j} }, \] 显然是 \(\varphi_i(U_i\cap U_j)\to\varphi_j(U_i\cap U_j)\) 的光滑双射. 因此 \({\cal A}=\{(U_i,\varphi_i)\}\) 是一个光滑图册, 其确定的光滑结构成为 \(\mathbb{RP}^n\) 的标准光滑结构.

• (环面) 光滑积流形 \(\mathbb{T}^n=\mathbb{S}^1\times\dots\times\mathbb{S}^1\).

以上的例子中, 我们要证明一个拓扑空间是光滑流形, 我们得先证明它是拓扑流形, 再构造一个光滑图册. 实际上, 这两步可以合二为一. 根据下面的引理, 我们只需构造一个合适的相容图册即可.

Lemma 1.4 (光滑流形坐标卡引理) 设集合 \(M\), 给定 \(M\) 的子集族 \(\{U_\alpha\}\) 与映射 \(\varphi_\alpha:U_\alpha\to\R^n\), 满足

1. \(\varphi_\alpha\) 是到 \(\varphi_\alpha(U_\alpha)\subset\R^n\) 的双射.
2. 集合 \(\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\) 和 \(\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)\) 是 \(\R^n\) 的开子集.
3. 若 \(U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset\), 则 \(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)\) 是光滑的.
4. 至多可数个 \(U_\alpha\) 覆盖 \(M\).
5. 若 \(p,q\in M\) 是不同的点, 则它们或者包含于同一个 \(U_\alpha\) 中, 或者被不交的 \(U_\alpha,U_\beta\) 分离.

则 \(M\) 上存在唯一光滑结构使得 \(\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}\) 是光滑图册.

• 将引理中的 \(\R^n\) 换成 \(\H^n\), 就得到了光滑带边流形 \(M\).