GTM218 | 5 光滑映射的局部性态
GTM218 (Introduction to Smooth Manifolds) Chapter 4 的笔记.
7 Maps of Constant Rank
7.1 The rank of a smooth map
秩是线性映射的一个关键的不变量. 实际上, 在定义域与陪域的基变换下, 秩是唯一的不变量.
流形间的光滑映射也有 "秩" 的概念. 设光滑映射 \(F:M\to N\), \(F\) 在点 \(p\in M\) 处的秩 (rank) 定义为切映射 \(F_{*,p}:T_pM\to T_{F(p)}N\) 的秩. 换言之, \(F\) 在 \(p\) 处的秩是任意坐标系下, \(\hat{F}\) 的 Jacobi 矩阵的秩. 如果 \(F\) 在每一点处的秩相同, 则称 \(F\) 是常秩的, 记 \(\rank{F}=r\).
线性映射的秩不高于定义域与陪域的维数的较小者, 因此 \(\rank{F_{*,p}}\leq\min\{\dim M,\dim N\}\). 如果 \(\rank{F_{*,p}}\) 取到最大值, 则称 \(F\) 在 \(p\) 处满秩. 如果 \(F\) 处处满秩, 则称 \(F\) 满秩. 满秩映射是最特殊的常秩映射, 可以分为两种:
- \(\rank{F}=\dim{N}\), 即 \(F_*\) 处处为单射, 称 \(F\) 是光滑浸入 (smooth immersion).
- \(\rank{F}=\dim{M}\), 即 \(F_*\) 处处为满射, 称 \(F\) 是光滑淹没 (smooth submersion).
Proposition 7.1 (满秩性是开性质) 设光滑映射 \(F:M\to N\), 点 \(p\in M\). 若 \(F_{*,p}\) 满秩, 则存在 \(p\) 的邻域 \(U\), 使得 \(F|_U\) 是满秩映射. 特别地, 若 \(F_{*,p}\) 为单射, 则 \(F|_U\) 是浸入; 若 \(F_{*,p}\) 为满射, 则 \(F|_U\) 是淹没.
Pf 取 \(p\) 和 \(F(p)\) 附近的坐标卡, 则 \(F\) 在 \(p\) 处的 Jacobi 矩阵是满秩的, 于是存在 \(r\times r\) 的子矩阵, 其行列式非零. 考虑复合映射 \[ \xymatrix@R=0em@C=3.5em{ M \ar[r] & M_{m,n}(\R) \ar[r] & \R, \\ p \ar@{|->}[r] & \displaystyle\pqty{\eval{\pdv{\hat{F}^j}{x^i}}_{\varphi(p)}} \ar@{|->}[r]^(.63){\textsf{相应位置的}}_(.63){\textsf{子矩阵的 }\det} & c \neq 0, } \] 根据 \(\hat{F}\) 的光滑性, 第一步是连续的, 第二步 \(\det\) 也是连续的, 因此复合映射连续. 进而存在 \(p\) 的邻域 \(U\), 使得在 \(U\) 上, \(r\times r\) 子矩阵的行列式非零, 进而 \(F_{*,p}\) 满秩.
- 注意常秩性不是开性质. 上面证明的最后一步中, \(r\times r\) 子式非零只能推出 \(\rank F|_U\geq r\), 而只有 \(r=\min\{\dim M,\dim N\}\) 时才有 \(\rank F|_U=r\).
可以得到推论:
Proposition 7.2 (满秩映射的复合) 满秩映射的复合是满秩映射.
Pf 设 \(F:M\to N\), \(G:N\to P\) 满秩, 则对于任意 \(p\in M\), 切映射 \(F_{*,p}\) 和 \(G_{*,F(p)}\) 都是满秩的, 于是 \(G_{*,F(p)}\circ F_{*,p}=(G\circ F)_{*,p}\) 也是满秩的. 根据上一个定理, \(G\circ F\) 在 \(p\) 的邻域 \(U\) 是满秩的. 由 \(p\) 的任意性, \(G\circ F\) 是满秩映射.
光滑浸入/淹没的例子:
光滑浸入的范本是包含 \(\iota:\R^n\hookrightarrow\R^{n+k}\).
光滑淹没的范本是投射 \(\pi_i:M_1\times\dots\times M_k\to M_i\).
(切丛的投射) 切丛的投射 \(\pi:TM\to M\) 是光滑淹没. 注意到其坐标式 \(\hat{\pi}(x,v)=x\).
(浸入曲线) 光滑曲线 \(\gamma:J\to M\) 构成浸入映射, 当且仅当 \(\gamma'(t)\neq0\) 对任意 \(t\in J\).
(浸入曲面) 光滑映射 \(X:\R^2\to\R^3\), \[ X(u,v)=\Big( (2+\cos2\pi u)\cos2\pi v,(2+\cos2\pi u)\sin2\pi v,\sin2\pi u \Big) \] 光滑浸入, 它的像是甜甜圈面, 即 \(yz\) 平面上的圆 \((y-2)^2+z^2=1\) 绕 \(z\) 轴转一圈形成的曲面.
7.2 Local diffeomorphisms
光滑浸入和光滑淹没的交集是一类性质更好的映射. 具体来说, 若 \(F:M\to N\) 既是光滑浸入, 也是光滑淹没, 则 \(\rank{F}=\dim{M}=\dim{N}\), 即 \(F_{*,p}\) 处处为同构. 对于无边流形, 下面的定理给出了这种映射的性质:
Theorem 7.3 (逆映射定理) 设光滑流形 \(M,N\), 光滑映射 \(F:M\to N\). 若某 \(p\in M\) 使得 \(F_{*,p}\) 是同构, 则存在 \(p\) 的连通邻域 \(U_0\), \(F(p)\) 的连通邻域 \(V_0\), 使得 \(F|_{U_0}:U_0\to V_0\) 是微分同胚.
Pf 因为 \(F_{*,p}\) 为同构, \(\dim{M}=\dim{N}=n\). 分别取以 \(p\) 为中心的坐标卡 \((U,\varphi)\) 和以 \(F(p)\) 为中心的坐标卡 \((V,\psi)\), 则 \[ \hat{F}_{*,0} = \psi_{*,F(p)}\circ F_{*,p}\circ(\varphi^{-1})_{*,0} \] 是同构映射. 由 \(\R^n\) 的逆映射定理, 存在 \(0\) 的连通邻域 \(\hat U_0\subset\hat U\), \(\hat V_0\subset\hat V\), 使得 \(\hat F|_{\hat U_0}:\hat U_0\to\hat V_0\) 是微分同胚. 此时 \(U_0=\varphi^{-1}(\hat U_0)\), \(V_0=\psi^{-1}(\hat V_0)\) 是 \(p,F(p)\) 的连通邻域, \(F|_{U_0}:U_0\to V_0\) 是微分同胚.
注意逆映射定理当 \(M\) 是带边流形时不成立 (考虑 \(\iota:\H^n\hookrightarrow\R^n\) 在边界点的微分即可), 但当 \(N\) 是带边流形时成立. 实际上, 我们能证明: 若 \(M\) 是光滑流形, \(N\) 是带边光滑流形, \(F_{*,p}\) 可逆, 则 \(F(p)\in{\rm Int}(N)\).
如果不然, 设在局部坐标系下 \(\hat{F}:\hat{U}\to\H^n\) 满足 \(\hat{F}(\hat{p})=0\). 注意到 \(\hat{F}(\hat{U})\subset\H^n\) 意味着 \(\hat{F}^n(x)\geq0\), 而 \(\hat{p}\) 处取到了极小值, 因此 \(\partial\hat{F}^n/\partial x^j|_p=0\), 导致 \((\partial\hat{F}^i/\partial x^j)|_{\hat p}\) 不可逆.
设 (带边) 光滑流形 \(M,N\). 映射 \(F:M\to N\) 称为局部微分同胚 (local diffeomorphism), 若对任意 \(p\in M\), 存在 \(p\) 的邻域 \(U\), 使得 \(F(U)\) 开, 且 \(F|_U:U\to F(U)\) 是微分同胚. 结合逆映射定理与上面的讨论, 我们有如下推论:
Corollary 7.4 (局部微分同胚 \(\iff\) 光滑浸入 \(+\) 淹没) 设光滑流形 \(M,N\) (后者可以带边), 光滑映射 \(F:M\to N\).
- \(F\) 是局部微分同胚, 当且仅当 \(F\) 既是光滑浸入, 又是光滑淹没.
- 若 \(\dim{M}=\dim{N}\), 若 \(F\) 是光滑浸入或光滑淹没, 则 \(F\) 是局部微分同胚.
- 注意 1 的 "\(\Leftarrow\)" 与 2 在 \(M\) 是带边流形时不成立. 例如, \(\iota:\H^n\hookrightarrow\R^n\) 的切映射处处同构, 因此既是光滑浸入, 又是光滑淹没, 但不是局部微分同胚 (在边界点处).
Proposition 7.5 (局部微分同胚的性质)
- 局部微分同胚是开的局部同胚.
- (复合) 局部微分同胚的复合是局部微分同胚.
- (有限积) 局部微分同胚的有限积是局部微分同胚.
- (限制) 局部微分同胚在 (带边) 开子流形是局部微分同胚.
- 局部微分同胚 \(+\) 双射 \(\iff\) 微分同胚.
Pf 只证明 5. 一方面, 微分同胚是双射的局部微分同胚; 另一方面, 设 \(F:M\to N\) 是双射的局部微分同胚, 只需证明 \(F^{-1}\) 是光滑的. 对于任意 \(q\in N\), \(F\) 是从 \(F^{-1}(q)\) 的邻域到 \(q\) 的邻域的微分同胚, 因此 \(F^{-1}\) 在 \(q\) 的邻域光滑. 因此 \(F^{-1}\) 光滑.
7.3 The rank theorem
常秩映射最重要的性质是它在局部有 "标准型" (可以看作是线性映射 "标准型" 的非线性推广).
Theorem 7.6 (秩定理) 设光滑流形 \(M,N\) 分别有维数 \(m,n\), 光滑映射 \(F:M\to N\). 若 \(F\) 常秩, 则对任意 \(p\in M\), 存在以 \(p\) 为中心的坐标卡 \((U,\varphi)\) 和以 \(F(p)\) 为中心的坐标卡 \((V,\psi)\), 满足 \(F(U)\subset V\), 且 \(F\) 的坐标表示为 \[ \hat F(x^1,\dots,x^r,x^{r+1},\dots,x^m)=(x^1,\dots,x^r,0,\dots,0). \] 特别地, 若 \(F\) 是光滑浸入, 则 \[ \hat F(x^1,\dots,x^m)=(x^1,\dots,x^m,0,\dots,0), \] 若 \(F\) 是光滑淹没, 则 \[ \hat F(x^1,\dots,x^n,x^{n+1},\dots,x^m)=(x^1,\dots,x^n). \]
Pf 定理是局部的, 因此不妨设 \(M,N\) 分别是开子集 \(U\subset\R^m\) 和 \(V\subset\R^n\). Jacobi 矩阵 \(DF|_p\) 的秩为 \(r\) 意味着存在 \(r\times r\) 可逆子矩阵, 通过坐标重排, 不妨设这是左上角的 \(r\times r\) 子矩阵. 记 \(\R^m\) 的标准坐标为 \((x,y)=(x^1,\dots,x^r,y^1,\dots,y^{m-r})\), \(\R^n\) 的标准坐标 \((v,w)=(v^1,\dots,v^r,w^1,\dots,w^{n-r})\). 通过适当的坐标平移, 不妨设 \(p=(0,0)\), \(F(p)=(0,0)\). 记 \(F(x,y)=(Q(x,y),R(x,y))\), 则我们的假设表明 \((\partial Q^i/\partial x^j)|_{(0,0)}\) 是可逆矩阵.
定义映射 \(\varphi:U\to\R^m\), \(\varphi(x,y):=(Q(x,y),y)\), 则其在 \((0,0)\) 处的 Jacobi 矩阵为 \[ D\varphi|_{(0,0)}=\pmqty{ \displaystyle\eval{\pdv{Q^i}{x^j}}_{(0,0)} & \displaystyle\eval{\pdv{Q^i}{y^j}}_{(0,0)} \\ 0 & \delta^i_j }, \] 根据假设, \(D\varphi|_{(0,0)}\) 是可逆矩阵. 由逆映射定理, 存在 \((0,0)\) 的连通邻域 \(U_0\subset\R^m\) 和 \(\varphi(0,0)=(0,0)\) 的连通邻域 \(\tilde U_0\subset\R^m\), 使得 \(\varphi|_{U_0}:U_0\to\tilde{U}_0\) 是微分同胚. 通过适当缩小 \(U_0,\tilde{U}_0\), 不妨设 \(\tilde{U}_0\) 是一个开立方体 \(\tilde{V}\times\tilde{W}\subset\R^r\times\R^{m-r}\). 记逆映射为 \(\varphi^{-1}(x,y)=(A(x,y),B(x,y))\), 其中 \(A:\tilde{U}_0\to\R^r\), \(B:\tilde{U}_0\to\R^{m-r}\) 光滑. 为了解出 \(A,B\), 计算 \[ \Align{ (x,y) = (\varphi\circ\varphi^{-1})(x,y) &= \varphi(A(x,y),B(x,y)) \\ &= \Big(Q\big(A(x,y),B(x,y)\big),B(x,y)\Big), } \] 因此 \(B(x,y)=y\), 进而 \(Q(A(x,y),y)=x\), 因此 \[ (F\circ\varphi^{-1})(x,y)=(x,\tilde{R}(x,y)), \] 其中 \(\tilde{R}:\tilde{U}_0\to\R^{n-r}\), \(\tilde{R}(x,y):=R(A(x,y),y)\). 这个复合映射的 Jacobi 矩阵为 \[ D(F\circ\varphi^{-1})|_{(x,y)} = \pmqty{ \delta^i_j & 0 \\ \displaystyle\eval{\pdv{\tilde{R}^i}{x^j}}_{(x,y)} & \displaystyle\eval{\pdv{\tilde{R}^i}{y^j}}_{(x,y)} }, \] 因为复合一个微分同胚不改变秩, 所以 \(D(F\circ\varphi^{-1})\) 在 \(\tilde U_0\) 中处处秩为 \(r\). 注意到该矩阵的前 \(r\) 列是线性无关的, 因此后 \((m-r)\) 列能由前 \(r\) 列线性表出. 然而矩阵右上角为 \(0\), 因此表出系数只能为 \(0\), 故 \(\partial\tilde{R}^i/\partial y^j\) 在 \(\tilde U_0\) 处处为零, 意味着 \(\tilde{R}\) 与 \(y^1,\dots,y^{m-r}\) 无关. 若令 \(S(x)=\tilde{R}(x,0)\), 则 \[ (F\circ\varphi^{-1})(x,y)=(x,S(x)). \] 最后, 我们定义 \((0,0)\in V\) 处的坐标卡来 "消去" \(S(x)\). 定义 \(V_0=\{(v,w)\in V\mid (v,0)\in\hat U_0\}\subset V\), 则 \(V_0\) 是 \((0,0)\) 的邻域. 因为 \(\tilde U_0\) 是开立方体, 有 \((F\circ\varphi^{-1})(\tilde U_0)\subset V_0\), 即 \(F(U_0)\subset V_0\). 定义 \(\psi:V_0\to\R^n\), \(\psi(v,w)=(v,w-S(v))\). 注意其逆映射由 \(\psi^{-1}(s,t)=(s,t+S(s))\) 给出, 因此 \(\psi\) 是到 \(\psi(V_0)\) 的微分同胚, 进而 \((V_0,\psi)\) 是光滑坐标卡. 有 \[ (\psi\circ F\circ\varphi^{-1})(x,y) = \psi(x,S(x)) = (x,0). \]
常秩映射的局部行为与其切映射相同, 反之亦然:
Corollary 7.7 (常秩映射的刻画) 设光滑流形 \(M,N\) 且 \(M\) 连通, 光滑映射 \(F:M\to N\). TFAE:
- \(F\) 常秩.
- 对任意 \(p\in M\), 分别存在包含 \(p,F(p)\) 的坐标卡, 使得 \(F\) 的坐标表示是线性的.
Pf 若 \(F\) 常秩, 则由秩定理得到 2. 反之, 若 2 成立, 即 \(F\) 有如下坐标表示: \[ \hat F(x^1,\dots,x^m) = (A^1_jx^j,\dots,A^n_jx^j), \] 其中 \(A^i_j\) 为常数, 则 \(F\) 在坐标域内常秩. 由 \(p\) 的任意性, \(F\) 常秩.
秩定理是局部的, 但是由它可以得到整体性的推论:
Theorem 7.8 (整体秩定理) 设光滑流形 \(M,N\), 光滑映射 \(F:M\to N\) 常秩.
- 若 \(F\) 是满射, 则它是光滑淹没.
- 若 \(F\) 是单射, 则它是光滑浸入.
- 若 \(F\) 是双射, 则它是微分同胚.
Pf 设 \(\dim{M}=m\), \(\dim{N}=n\), \(\rank{F}=r\).
1, 假设 \(r<n\), 根据秩定理, 对任意 \(p\in M\), 存在 \(p\) 处坐标卡 \((U,\varphi)\) 与 \(F(p)\) 处坐标卡 \((V,\psi)\) 使得 \(F(U)\subset V\) 且 \(\hat{F}\) 有标准形式. 适当缩小 \(U\), 不妨假设 \(U\) 是正则坐标球, 且 \(F(\overline{U})\subset V\). 此时 \(F(\overline{U})\) 是 \(\{y\in V\mid y^{r+1}=\dots=y^n=0\}\) 的紧子集, 因此闭. 故 \(F(\overline{U})\) 是 \(N\) 的闭子集, 且不包含任何开集, 因此它的内部为空, 换言之, \(F(\overline{U})\) 无处稠密.
由第二可数性, 可数个这样的坐标卡 \(\{(U_i,\varphi_i)\}\) 覆盖 \(M\). 相应地, \(\{(V_i,\psi_i)\}\) 是 \(N\) 的可数覆盖. 因此 \(F(M)\) 是可数个无处稠密集合 \(F(\overline{U_i})\) 的并集, 由 Baire 纲定理, \(F(M)\) 的内部为空, \(F\) 不可能满.
2, 假设 \(r<m\), 则在 \(F\) 的局部标准形式中, \(\hat{F}(0,\dots,0,\varepsilon)=\hat{F}(0,\dots,0,0)\) 对于足够小的 \(\varepsilon\) 成立, 因此 \(F\) 不单.
3, 根据 1, 2 \(F\) 既是光滑淹没又是光滑浸入, 所以 \(F\) 是局部微分同胚. 又 \(F\) 是双射, 故为微分同胚.
7.4 The rank theorem for m.w.b
对于带边光滑流形, 如果 \(p,F(p)\) 都是内部点的话, 秩定理仍旧成立 (因为带边流形的内部是无边流形). 对于边界点来说, 有如下版本的秩定理:
Theorem 7.9 (带边流形的秩定理) 设带边光滑流形 \(M\), 光滑流形 \(N\) 分别有维数 \(m,n\), 常秩映射 \(F:M\to N\). 设 \(p\in\partial{M}\).
若 \(F\) 是光滑浸入, 则存在以 \(p\) 为中心的边界坐标卡 \((U,\varphi)\) 和以 \(F(p)\) 为中心的坐标卡 \((V,\psi)\), 满足 \(F(U)\subset V\), 且 \(F\) 有坐标表示 \[ \hat F(x^1,\dots,x^m)=(x^1,\dots,x^m,0,\dots,0). \]
若 \(\ker{F_{*,p}}\not\subset T_p(\partial M)\), 则存在以 \(p\) 为中心的边界坐标卡 \((U,\varphi)\) 和以 \(F(p)\) 为中心的坐标卡 \((V,\psi)\), 满足 \(F(U)\subset V\), 且 \(F\) 有坐标表示 \[ \hat F(x^1,\dots,x^r,x^{r+1},\dots,x^m)=(x^1,\dots,x^r,0,\dots,0). \]
Pf 定理是局部的, 不妨设 \(M,N\) 分别为 \(\H^n,\R^n\) 的开子集, 且 \(p=0\in\H^m\), \(F(p)=0\in\R^n\). 根据 \(\H^m\) 上光滑映射的定义, \(F\) 扩张到光滑映射 \(\tilde F:W\to\R^n\), 其中 \(W\subset\R^m\) 是 \(0\) 的邻域.
情形 1, 设 \(F\) 是光滑浸入.
由于 \(\tilde{F}_{*,0}=F_{*,0}\) 是单射, 适当缩小 \(W\), 可以使 \(\tilde{F}\) 是 \(W\to\R^n\) 的光滑浸入. 记 \(\R^m\) 的标准坐标为 \(x=(x^1,\dots,x^m)\), \(\R^n\) 的标准坐标为 \((v,w)=(v^1,\dots,v^m,w^1,\dots,w^{n-m})\). 根据秩定理, 存在以 \(0\in\R^m\) 为中心的坐标卡 \((U_0,\varphi_0)\) 和以 \(0\in\R^n\) 为中心的坐标卡 \((V_0,\psi_0)\), 使得 \(\hat{F}=\psi_0\circ\tilde F\circ\varphi_0^{-1}\) 具有光滑浸入的标准形式 \(\hat{F}(x)=(x,0)\).
唯一的问题是 \((U,\varphi_0)\) 在 \(\H^m\) 上的限制不一定是边界坐标卡. 为此, 我们重新构造 \(0\in\R^n\) 的坐标卡. 因为 \(\varphi_0\) 是 \(U_0\) 到 \(\hat{U}_0=\varphi(U_0)\) 到的微分同胚, 所以 \(\varphi_0^{-1}\times{\rm id}_{\R^{n-m}}\) 是 \(\hat U_0\times\R^{n-m}\) 到 \(U_0\times\R^{n-m}\) 的微分同胚. 令 \(\psi=(\varphi_0^{-1}\times{\rm id}_{\R^{n-m}})\circ\psi_0\) 是 \(V\) 中 \(0\) 的某邻域 \(V_0\) 到 \(\R^n\) 中 \(0\) 的某邻域的微分同胚. 在坐标卡 \((\H^m,{\rm id}_{\H^m})\) 以及 \((\psi,V_0)\) 下, 有 \[ \Align{ (\psi\circ F)(x) &= \Big( (\varphi_0^{-1}\times{\rm id}_{\R^{n-m}})\circ \psi_0\circ F\circ\varphi_0^{-1} \circ\varphi_0 \Big)(x) \\ &= \Big( (\varphi_0^{-1}\times{\rm id}_{\R^{n-m}})\circ \hat{F} \Big)(\varphi_0(x)) \\ &= (\varphi_0^{-1}\times{\rm id}_{\R^{n-m}})(\varphi_0(x),0) \\ &= (x,0), } \] 因此该坐标卡即为所求.
情形 2, 设 \(F\) 常秩 \(r\), 且 \(\ker{F_{*,0}}\not\subset T_0(\partial M)\).
同秩定理的证明, 记 \(\R^m,\R^n\) 的标准坐标分别为 \((x,y),(v,w)\), 记 \(\tilde{F}(x,y)=(Q(x,y),R(x,y))\). 因为 \(DF|_{(0,0)}=D\tilde F|_{(0,0)}\), 因此后者也有秩 \(r\). 通过坐标重排, 假设左上角的 \(r\times r\) 子矩阵可逆. 根据假设 \(\ker{F_{*,0}}\not\subset T_0(\partial M)\), 该过程可以通过对第 \(1,\dots,m-1\) 列重排来实现, 此时重排后的坐标系仍旧是 \(\H^m\) 的边界坐标.
定义映射 \(\varphi:W\to\R^m\), \(\varphi(x,y):=(Q(x,y),y)\), 则 \(D\varphi|_{(0,0)}\) 可逆. 由逆映射定理, 存在 \((0,0)\) 的连通邻域 \(U_0\subset\R^m\) 和 \(\varphi(0,0)=(0,0)\) 的连通邻域 \(\tilde U_0\subset\R^m\), 使得 \(\varphi|_{U_0}:U_0\to\tilde{U}_0\) 是微分同胚. 通过适当缩小 \(U_0,\tilde{U}_0\), 不妨设 \(\tilde{U}_0\) 是一个开立方体. 注意到 \(\varphi\) 保持最后一个坐标不变, 因此 \(\varphi\) 可以限制为 \(U_0\cap\H^m\) 到 \(\tilde U_0\cap\H^m\) 的微分同胚, 即 \((\varphi|_{U_0\cap\H^m},U_0\cap\H^m)\) 构成 \(M\) 的边界坐标卡.
同秩定理的证明, 计算得到 \((F\circ\varphi^{-1}|_{\tilde U_0\cap\H^m})(x,y)=(x,R(x,y))\), 其中 \(\tilde R:\tilde U_0\cap\H^m\to\R^{n-r}\) 光滑. 利用 \(F\) 的常秩性, 可以证明 \(R\) 与 \(y\) 无关, 即 \(R(x,y)=S(x)\). 最后仿照秩定理的证明, 适当选择 \(N\) 的坐标卡 \((V_0,\psi)\) 来消去 \(S(x)\). (注意 \(N\) 是 \(\R^n\) 的开子集, 即无边流形, 因此过程是完全相同的.)
然而, 如果 \(N\) 是带边流形的话, 由于 \(F\) 的像集与 \(\partial{N}\) 交集可以十分复杂, 因此一般不能将 \(F\) 写成简单的标准型.