GTM218 | 7 子流形

GTM218 (Introduction to Smooth Manifolds) Chapter 5 的笔记.

"光滑子流形" 指的是作为光滑流形的子集的光滑流形. 光滑子流形上有两种拓扑, 一种是其自身作为光滑流形的拓扑, 一种是子空间拓扑.

最重要的一类光滑子流形是 "嵌入子流形", 即上述两种拓扑相同的子流形. 正如其名, 嵌入子流形恰好是光滑嵌入的像集. 另一类更一般的光滑子流形是 "浸入子流形", 它不要求两种拓扑相同. 浸入子流形恰好是单射浸入的像; 其在局部和嵌入子流形一样, 但整体上与子空间拓扑不同.

需要注意的是, 在有些书中, "光滑子流形" 特指 "嵌入子流形".

9 Submanifolds

9.1 Embedded submanifolds

设 (带边) 光滑流形 \(M\) 的子集 \(S\subset M\). 若 \(S\) 在子空间拓扑以及适当光滑结构下构成无边光滑流形, 使得包含映射 \(S\hookrightarrow M\) 是光滑嵌入, 则称 \(S\) 是 \(M\) 的一个嵌入子流形 (embedded submanifold) 或正则子流形 (regular submanifold). 此时, 称 \(\dim M-\dim S\) 为 \(S\) 在 \(M\) 中的余维数 (codimension). 余维数为 \(1\) 的嵌入子流形也称为嵌入超曲面 (embedded hypersurface).

最简单的嵌入子流形就是余维数为 \(0\) 的嵌入子流形. 回顾: (带边) 光滑流形 \(M\) 的开子流形指的是开子集 \(U\), 其拓扑为子空间拓扑, 光滑结构为 \(M\) 的坐标卡在 \(U\) 上的限制.

Proposition 9.1 (余维数 \(0\) 的嵌入子流形) 设光滑流形 \(M\), 则 \(M\) 的余维数为 \(0\) 的子流形恰为其开子流形.

Pf 设开子流形 \(U\subset M\), 则 \(U\) 是光滑流形且与 \(M\) 维数相等. 在局部坐标系下, 包含映射 \(\iota\) 是恒等映射, 因此是光滑浸入; 又 \(U\) 具有子空间拓扑, \(\iota\) 是拓扑嵌入, 进而是光滑嵌入.

反之, 设 \(U\subset M\) 是余维数 \(0\) 的嵌入子流形, 则包含映射 \(\iota\) 是光滑嵌入. 由 Corollary 7.4 的 2, \(\iota\) 是局部微分同胚, 进而是开映射, 故 \(U\) 是 \(M\) 的开子集.

下面的几个定理给出了构造嵌入子流形的其他办法.

Proposition 9.2 (作为光滑嵌入的像) 设 (带边) 光滑流形 \(M\), 光滑流形 \(N\), 光滑嵌入 \(F:N\to M\), 记 \(S=F(N)\). 则在子空间拓扑下, \(S\) 是拓扑流形, 且其上存在唯一的光滑结构, 使得 \(S\) 是 \(M\) 的嵌入子流形, 且 \(F\) 是 \(N\to S\) 的微分同胚.

Pf \(F\) 是光滑嵌入意味着 \(N\to S\) 是同胚, 进而将 \(N\) 的拓扑流形结构带到 \(S\). 要让 \(F\) 是到 \(S\) 的微分同胚, 可以这样定义 \(S\) 上的光滑结构: \({\cal A}_S:=\{(F(U),\varphi\circ F^{-1})\}\), 其中 \((U,\varphi)\) 是 \(N\) 的光滑图册; \({\cal A}_S\) 的光滑相容性由 \(N\) 的图册的光滑相容性保证. 显然 \(F\) 在该光滑结构下是一个微分同胚, 且这样的 \({\cal A}_S\) 是唯一的. 此时, 包含映射 \(\iota:S\hookrightarrow M\) 等于复合映射 \[ S \overset{F^{-1}}\longrightarrow N \overset{F}\longrightarrow M, \] 即微分同胚与光滑嵌入的复合, 因此 \(\iota\) 是光滑嵌入.

由定义, 任意嵌入子流形都是光滑嵌入的像 (考虑包含映射), 上面的定理表明反之亦然.

Proposition 9.3 (作为积流形的切片) 设光滑流形 \(M,N\), 点 \(p\in M\). 则 \(M\cong M\times\{p\}\) 是 \(M\times N\) 的嵌入子流形.

Pf \(M\times\{p\}\) 是光滑嵌入 \(x\mapsto(x,p)\) 的像.

Proposition 9.4 (作为光滑映射的图像) 设 \(m\) 维光滑流形 \(M\), \(n\) 维 (带边) 光滑流形 \(N\), 开集 \(U\subset M\), 光滑映射 \(f:U\to N\). 则 \(f\) 的图像 \[ \Gamma(f)=\{(x,y)\in M\times N\mid x\in U,y=f(x)\} \] 是 \(M\times N\) 的 \(m\) 维嵌入子流形.

Pf 定义映射 \(\gamma_f:U\to M\times N\), \(\gamma_f(x)=(x,f(x))\), 则 \(\gamma_f\) 是光滑的, 其像集等于 \(\Gamma(f)\). 注意到自然投射 \(\pi_M:M\times N\to M\) 是 \(\gamma_f\) 的光滑左逆, 因此对 \(x\in U\), 切映射 \((\gamma_f)_{*,x}\) 有左逆, 因此是单射, 故 \(\gamma_f\) 是光滑浸入. 此外, \(\pi_M|_{\Gamma(f)}\) 是 \(\gamma_f:U\to\Gamma(f)\) 的连续左逆, 因此 \(\gamma_f:U\to M\times N\) 是拓扑嵌入. 因此 \(\gamma_f\) 是光滑嵌入, 由 Proposition 9.2, \(\Gamma(f)\) 是嵌入子流形.

有时我们需要一种更强的嵌入子流形. 嵌入子流形 \(S\subset M\) 称为逆紧嵌入的 (properly embedded), 若包含映射 \(S\hookrightarrow M\) 是逆紧映射.

Proposition 9.5 (逆紧嵌入的充要条件) 设 (带边) 光滑流形 \(M\), 嵌入子流形 \(S\subset M\). 则 \(S\) 是逆紧嵌入的当且仅当 \(S\) 是 \(M\) 的闭子集. 特别地, 紧的嵌入子流形是逆紧嵌入的.

Pf 若 \(S\) 是逆紧嵌入, (到紧生成的 Hausdorff 空间的) 连续逆紧映射是闭映射, 故 \(S\) 是闭子集. 反之, 若 \(S\) 是闭子集, 像集闭的拓扑嵌入是逆紧的, \(\iota\) 是逆紧映射.

对于最后一句话, 只需注意到 Hausdorff 空间的紧子集是闭的.

Proposition 9.6 (整体光滑映射的图像是逆紧嵌入的) 设光滑流形 \(M\), (带边) 光滑流形 \(N\), 光滑映射 \(f:M\to N\), 则 \(\Gamma(f)\) 是 \(M\times N\) 的逆紧嵌入子流形.

Pf 自然投射 \(\pi_M:M\times N\to M\) 是嵌光滑入 \(\gamma_f:M\to M\times N\) 的光滑左逆, 故 \(\gamma_f\) 逆紧.

9.2 Slice charts

局部来看, 嵌入子流形就像欧氏空间 \(\R^k\) 到 \(\R^n\) 的标准嵌入, 即线性方程组的解集. 具体来说, 设 \(\R^n\) 的开子集 \(U\), 整数 \(k\in\{0,\dots,n\}\), 则子集 \[ S=\{(x^1,\dots,x^k,x^{k+1},\dots,x^n)\in U\mid x^{k+1}=c^{k+1},\dots,x^n=c^n\} \] 称为 \(U\) 的一个 \(k\) 维切片 (slice), 其中 \(c^{k+1},\dots,c^n\) 是常数. 切片 \(S\) 同胚于 \(\R^k\) 的开子集. 特别地, 当 \(k=n\) 时, \(S=U\).

对于光滑流形 \(M\) 的坐标卡 \((U,\varphi)\), 子集 \(S\subset U\) 称为该坐标卡的一个 \(k\) 维切片, 若 \(\varphi(S)\) 是 \(\varphi(U)\subset\R^n\) 的 \(k\) 维切片.

Theorem 9.7 (嵌入子流形的局部刻画) 设光滑流形 \(M\), 子集 \(S\subset M\).

1. 若 \(S\) 是 \(k\) 维嵌入子流形, 则 \(S\) 中任意一点附近存在 \(M\) 的坐标卡 \((U,\varphi)\), 使得 \(S\cap U\) 是 \(U\) 的 \(k\) 维切片. 此时我们称 \(S\) 满足局部 \(k\)-切片条件, 坐标卡 \((U,\varphi)\) 称为 \(S\) 在 \(M\) 中的切片坐标卡.
2. 若 \(S\) 满足局部 \(k\)-切片条件, 则 \(S\) 在子空间拓扑下构成拓扑流形, 且在适当光滑结构下构成嵌入子流形.

Pf 一, 设 \(S\) 是 \(k\) 维嵌入子流形. 任取 \(p\in S\). 因为 \(\iota:S\hookrightarrow M\) 是光滑浸入, 故存在 \(S\) 的以 \(p\) 为中心的坐标卡 \((U,\varphi)\) 和 \(M\) 的以 \(p\) 为中心的坐标卡 \((V,\psi)\), 使得 \(\iota|_U:U\to V\) 有标准形式 \[ (x^1,\dots,x^k)\mapsto(x^1,\dots,x^k,0,\dots,0). \] 因为 \(S\) 有子空间拓扑且 \(U\) 开, 则存在 \(M\) 的开子集 \(W\) 使得 \(U=S\cap W\). 令 \(V_0=W\cap V\), 则 \((V_0,\psi|_{V_0})\) 是一个以 \(p\) 为中心的坐标卡, 且 \(S\cap V_0=U\) 是 \(V\) 的切片.

二, 设 \(S\) 满足局部切片条件. 子空间 \(S\) 继承 \(M\) 的 Hausdorff 性与第二可数性. 对于局部欧氏性, 我们能利用 \(S\) 的局部 \(k\)-切片构造一个光滑图册.

任取 \(p\in S\), 存在 \(M\) 的以 \(p\) 为中心的坐标卡 \((U,\varphi)\), 使得 \(S\cap U\) 是 \(U\) 的 \(k\) 维切片. 设 \(\pi:\R^n\to\R^k\) 是向前 \(k\) 个坐标的自然投射. 令 \[ \Align{ V&=U\cap S, & \hat{V}&=(\pi\circ\varphi)(V), & \psi=\pi\circ\varphi|_V:V\to\hat{V}. } \] 要说明 \((V,\psi)\) 构成 \(S\) 的一个坐标卡, 我们要证明:

• \(\hat{V}\) 是 \(\R^k\) 的开集. 注意到 \(\varphi\) 是同胚, 而 \(\pi\) 是开映射, 故 \(\hat{V}\) 是开的.

• \(\psi\) 是同胚. 设 \(\varphi(V)\) 在 \(\varphi(U)\) 中由方程 \(x^{k+1}=c^{k+1},\dots,x^n=c^n\) 给出, 则 \(\psi:V\to\hat{V}\) 具有连续的逆映射 \(\varphi^{-1}\circ j|_{\hat V}:\hat{V}\to V\), 其中 \(j:\R^k\to\R^n\), \[ (x^1,\dots,x^k)\mapsto(x^1,\dots,x^k,c^{k+1},\dots,c^n). \]

接着验证这些坐标卡的光滑相容性. 设 \((U,\varphi)\) 和 \((U',\varphi')\) 是两个切片坐标卡, \((V,\psi)\) 和 \((V',\psi')\) 分别是对应的 \(S\) 的坐标卡, 则转移映射 (如下图) \[ \Align{ \psi'\circ\psi^{-1} &=(\pi\circ\varphi')\circ(\varphi^{-1}\circ j|_{\hat V}) \\ &=\pi\circ(\varphi'\circ\varphi^{-1})\circ j|_{\hat V} } \] 是三个光滑映射的复合, 故光滑.

在如上定义的光滑结构下, \(S\) 构成光滑流形. 并且在 \((U,\varphi)\) 与相应的 \((V,\psi)\) 下, 包含映射 \(\iota:S\hookrightarrow M\) 有形式 \((x^1,\dots,x^k)\mapsto(x^1,\dots,x^k,c^{k+1},\dots,c^n)\), 因此是一个光滑浸入. 又因为 \(S\) 有子空间拓扑, 所以 \(\iota\) 是拓扑嵌入, 因此是光滑嵌入. 故 \(S\) 是嵌入子流形.

后面我们将证明, 上面的证明中构造的光滑结构是唯一的 (只有它能让 \(S\) 成为 \(M\) 的嵌入子流形).

Theorem 9.8 (边界是逆紧嵌入的) 设带边光滑流形 \(M\), 则 \(\partial M\) 在子空间拓扑下构成 \((n-1)\) 维无边拓扑流形, 且在适当光滑结构下构成 \(M\) 的逆紧嵌入子流形.

Pf 我们已经知道 \(\partial{M}\) 是 \((n-1)\) 维子流形, 且为 \(M\) 的闭子集. 我们只需再证明 \(\partial{M}\) 是嵌入子流形, 进而由逆紧嵌入的充要条件 (Proposition 9.5), \(\partial{M}\) 是逆紧嵌入的.

根据边界的定义, 任给 \(p\in\partial{M}\), 存在以 \(p\) 为中心的界坐标卡 \((U,\varphi)\), 满足 \[ \partial{M}\cap U =\{(x^1,\dots,x^{n-1},x^n)\in\varphi(U)\mid x^n=0\}, \] 这恰恰说明 \(\partial{M}\) 满足局部 \((n-1)\)-切片条件. 由 Theorem 9.7, \(\partial{M}\) 是嵌入子流形.

9.3 Level sets

嵌入子流形可以由光滑映射的水平集给出. 在第一节的例子中, 我们看到光滑函数 \(\Phi:\R^n\supset U\to\R\) 的水平集 (满足某些条件) 构成光滑流形. 下面的定理是这个例子的强化版本.

Theorem 9.9 (常秩水平集定理) 设光滑流形 \(M,N\), 光滑映射 \(\Phi:M\to N\) 有常秩 \(r\). 则任意水平集 \(\Phi^{-1}(c)\) 都是 \(M\) 的逆紧嵌入子流形, 其余维数为 \(r\).

Pf 设 \(\dim{M}=m\), \(\dim N=n\). 任取 \(p\in\Phi^{-1}(c)\), 根据秩定理, 存在以 \(p\) 为中心的坐标卡 \((U,\varphi)\) 和以 \(c\) 为中心的坐标卡 \((V,\psi)\), 使得 \(\Phi\) 有局部标准型. 于是 \(\Phi^{-1}(c)\cap U\) 是切片 \[ \{ (x^1,\dots,x^r,x^{r+1},\dots,x^m)\in U\mid x^1=0,\dots,x^r=0 \}, \] 因此 \(\Phi^{-1}(c)\) 是余维数 \(r\) 的嵌入子流形. 因为 \(\{c\}\subset N\) 是闭子集, \(\Phi\) 连续, 因此 \(\Phi^{-1}(c)\) 是闭子集. 由逆紧嵌入的充要条件, \(\Phi^{-1}(c)\) 是逆紧嵌入的.

常秩水平集定理可以看作线性映射 "秩-零化度定理" 的推广. 设线性映射 \(L:\R^m\to\R^n\) 的秩为 \(r\), 则零空间 \(\ker{L}=L^{-1}(0)\) 是 \(\R^m\) 的线性子空间, 其余维数为 \(r\). 从解方程的角度看, 线性方程组 \(Lx=0\) 一共有 \(r\) 个线性无关的方程, 每个方程使 \(x\in\R^m\) 的自由度减少 \(1\), 因此总共减少了 \(r\) 自由度, 即 \(\ker{L}\) 的余维数为 \(r\). 对于常秩光滑映射 \(\Phi:M\to N\), 在局部上看, 方程 \(\Phi(x)=c\) 一共有 \(r\) 个线性无关的坐标分量, 在 \(\dim{M}\) 的基础上减少了 \(r\) 自由度.

常秩映射的两个特殊情况是光滑浸入和光滑淹没.

• 对于光滑浸入, \(r=\dim{M}\), 因此水平集是 \(M\) 的 \(0\) 维子流形, 即一些离散的点, 这当然没什么好研究的.
• 对于光滑淹没, \(r=\dim{N}\), 因此水平集是 \(M\) 的余维数等于 \(\dim{N}\) 的逆紧嵌入子流形.

实际上, 光滑淹没的条件是可以放松的. 因为我们只关心水平集 \(\Phi^{-1}(c)\) 上的 "淹没性", 因此 \(\Phi\) 不必是整体上的光滑淹没, 而只需在 \(\Phi^{-1}(c)\) 上是光滑淹没即可. 先引入几个概念. 对于光滑映射 \(\Phi:M\to N\), 点 \(p\in M\) 称为 \(\Phi\) 的正则点 (regular point), 若 \(\Phi_{*,p}:T_pM\to T_{\Phi(p)}N\) 是满射; 否则称为临界点 (critical point).

• 根据 Proposition 7.1, 正则点集是 \(M\) 的开子集.
• 若 \(\dim{M}<\dim{N}\), 则 \(M\) 的每个点都是临界点.
• \(M\) 的每个点都是正则点, 当且仅当 \(\Phi\) 是光滑淹没.

点 \(c\in N\) 称为正则值 (regular value), 若 \(\Phi^{-1}(c)\) 只包含正则点 (此时称 \(\Phi^{-1}(c)\) 为正则水平集); 否则称 \(c\) 为临界值 (critical value). 特别地, 若 \(\Phi^{-1}(c)=\emptyset\), 则 \(c\) 也是正则值.

Corollary 9.10 (正则水平集定理) 设光滑流形 \(M,N\), 光滑映射 \(\Phi:M\to N\). 若 \(c\in N\) 是 \(\Phi\) 的正则值, 则 \(\Phi^{-1}(c)\) 是 \(M\) 的逆紧嵌入子流形, 其余维数为 \(\dim{N}\).

Pf 由 Proposition 7.1, 满足 \(\rank{F_{*,p}}=\dim{N}\) 的点 \(p\) 组成的集合 \(U\) 是 \(M\) 的开子集. 根据假设, \(\Phi^{-1}(c)\subset U\). 因为 \(\Phi|_U:U\to N\) 是光滑淹没, 所以水平集 \(\Phi^{-1}(c)\) 是 \(U\) 的嵌入子流形. 又因为光滑嵌入的复合 \(\Phi^{-1}(c)\hookrightarrow U\hookrightarrow M\) 仍是光滑嵌入, 因此 \(\Phi^{-1}(c)\) 是 \(M\) 的嵌入子流形. \(\Phi^{-1}(c)\) 的闭性由 \(\Phi\) 的连续性保证.

正则水平集定理的应用:

• (球面) \(\mathbb{S}^n\) 是 \(\R^{n+1}\) 上的函数 \(f:\R^{n+1}\to\R\), \(f(x)=\|x\|^2\) 的水平集 \(f^{-1}(1)\). 计算 \(f\) 的切映射 \[ f_{*,x}(v) = 2\sum_i x^iv^i, \] 可见只要 \(x\neq0\), \(f_{*,x}\) 便是满射, 故对于任意 \(r>0\), 球面 \(S_r(0)=f^{-1}(r)\) 是 \(\R^{n+1}\) 的逆紧嵌入子流形.

• (嵌入超曲面) 设光滑流形 \(M\) 上的光滑函数 \(f:M\to\R\), 则 \(0\in\R\) 是 \(f\) 的正则值, 当且仅当 \(f\) 的 Jacobi 矩阵在 \(f^{-1}(0)\) 上处处秩为 \(1\), 也即 \(f_{*,p}\neq0\). 此时 \(f^{-1}(0)\) 是 \(M\) 的余维数 \(1\) 的逆紧嵌入子流形.

还有一些反例:

• (X 形空间) 方程 \(x^2-y^2=0\) 的图像是 \(\R^2\) 中的两条相交直线, 它可以视作 \(f(x,y)=x^2-y^2\) 的水平集 \(f^{-1}(0)\). 计算 Jacobi 矩阵: \(DF|_{(x,y)}=(2x,-2y)\), 因此 \(DF\) 在 \((0,0)\) 处为零, 故原点是不是正则点, \(f^{-1}(0)\) 不是正则水平集.
• (尖曲线) 方程 \(x^2-y^3=0\) 的图像是 \(\R^2\) 中的一个带 "尖" 曲线. 计算表明 \(f(x,y)=x^2-y^3\) 在原点处的秩为零, 故 \(f^{-1}(0)\) 不是正则水平集.

光滑淹没的水平集是嵌入子流形. 反之, 嵌入子流形在局部上是光滑淹没的水平集.

Proposition 9.11 (嵌入子流形局部为水平集) 设 \(m\) 维光滑流形 \(M\) 的子集 \(S\), 则 \(S\) 是 \(k\) 维嵌入子流形, 当且仅当对 \(S\) 中任意一点 \(p\), 存在 \(p\) 在 \(M\) 中的邻域 \(U\), 使得 \(U\cap S\) 是某光滑淹没 \(\Phi:U\to\R^{m-k}\) 的水平集.

Pf 设 \(S\) 是 \(k\) 维嵌入子流形, 则 \(p\in S\) 的 \(M\)-邻域 \(U\) 上有切片坐标 \((x^1,\dots,x^m)\). 若定义光滑淹没 \(\Phi:U\to\R^{m-k}\), \(\Phi(x)=(x^{k+1},\dots,x^m)\), 则 \(U\cap S\) 由 \(\Phi^{-1}(0)\) 给出.

反之, 设 \(S\cap U\) 是光滑淹没 \(\Phi:U\to\R^{m-k}\) 的水平集, 根据常秩水平集定理, \(S\cap U\) 是 \(U\) 的 \(k\) 维嵌入子流形, 因而满足局部 \(k\)-切片条件, 进而也在 \(M\) 中满足局部 \(k\)-切片条件 (关键, \(U\) 是 \(M\) 的开子集).

9.4 Immersed Submanifolds

有时我们会遇到更广的一类子流形, 即浸入子流形. 设 (带边) 光滑流形 \(M\) 的子集 \(S\). 若 \(S\) 在适当的拓扑 (不要求是子空间拓扑) 以及适当光滑结构下构成无边光滑流形, 使得包含映射 \(S\hookrightarrow M\) 是光滑浸入, 则称 \(S\) 是 \(M\) 的一个浸入子流形 (immersed submanifold), 称 \(\dim M-\dim S\) 为 \(S\) 在 \(M\) 中的余维数 (codimension).

• 嵌入子流形是特殊的浸入子流形. 以后 “光滑子流形” 指 “浸入子流形”.
• 余维数为 \(1\) 的浸入子流形也称为光滑超曲面 (smooth hypersurface).

浸入子流形是单射浸入的像, 反之亦然.

Proposition 9.12 (作为单射浸入的像) 设 (带边) 光滑流形 \(M\), 光滑流形 \(N\), 单射光滑浸入 \(F:N\to M\), 记 \(S=F(N)\). 则 \(S\) 上存在唯一的拓扑和光滑结构, 使得 \(S\) 是 \(M\) 的光滑子流形, 且 \(F\) 是 \(N\to S\) 的微分同胚.

Pf 证明和 Proposition 9.2 是类似的, 只不过我们需要先构造 \(S\) 的拓扑.

之前研究浸入时我们举了两了例子, \(\R^2\) 中的 \(8\) 字形空间和 \(\Bbb{T}^2\) 上的稠密曲线. 他们都是单射浸入的像, 故都是光滑子流形.

• \(8\) 字形空间的像集存在自相交, 稠密曲线的像集是稠密的, 它们在子空间拓扑下都不构成拓扑流形, 故它们一定不是嵌入子流形.

光滑嵌入判定定理 (Proposition 8.1) 给出了一些嵌入子流形的判定定理, 我们可以得到如下推论:

Proposition 9.13 (光滑子流形成为嵌入子流形的条件) 设 (带边) 光滑流形 \(M\), 光滑子流形 \(S\subset M\). 若下列之一成立, 则 \(S\) 是嵌入子流形.

1. \(S\) 中的任意开集在 \(M\) 中开.
   • 反之是一定成立的, 由 \(\iota:S\hookrightarrow M\) 的连续性保证.
2. \(S\) 的余维数为 \(0\).
3. 包含映射 \(S\subset M\) 逆紧.
4. \(S\) 紧.

根据局部嵌入定理 (Theorem 8.2), 光滑子流形局部是嵌入子流形.

Proposition 9.14 (光滑子流形局部是嵌入子流形) 设 (带边) 光滑流形 \(M\), 光滑子流形 \(S\subset M\). 则对任意 \(p\in S\), 存在 \(p\) 在 \(S\) 中的邻域 \(U\), 使得 \(U\) 是 \(M\) 的嵌入子流形.

参数化...

10 Restricting and Extending Smooth Maps

10.1 Restricting maps to submanifolds

本节我们考虑的是, 给定一个光滑映射 \(F:M\to N\), 如果限制其定义域 / 陪域为浸入 / 嵌入子流形, 它的光滑性能否保持?

对于限制定义域的情形, 答案总是肯定的, 这也与直觉相符.

Proposition 10.1 (限制定义域) 设 (带边) 光滑流形 \(M,N\), 光滑映射 \(F:M\to N\), 浸入或嵌入子流形 \(S\subset M\), 则 \(F|_S:S\to N\) 也是光滑的.

Pf 包含映射 \(\iota:S\to M\) 光滑, 而 \(F|_S=F\circ \iota\).

当限制陪域的时候, 得到的映射可能非光滑. 考虑 8 字形曲线 \(\beta:(-\pi,\pi)\to\R^2\), \(\beta(t)=(\sin{2t},\sin{t})\), 在 \(\beta\) 诱导的拓扑下, 曲线的像 \(S\) 是 \(\R^2\) 的浸入子流形. 考虑映射 \(G:\R\to\R^2\), \(G(t)=(\sin{2t},\sin{t})\), 则 \(G\) 作为 \(\R\to S\) 的映射甚至都不连续, 因为 \(\beta^{-1}\circ G\) 在 \(\pi\) 处不连续 (连续映射的复合是连续的).

• 直观地看, \(G\) 不连续的原因是 \(S\) 作为浸入子流形的开集比子空间拓扑的开集多一些集合 \(\beta((-\varepsilon,\varepsilon))\) 就是一例.^[1], 导致 \(G\) 作为到子空间的映射是连续的, 作为到浸入子流形的映射就是不连续的.

Proposition 10.2 (限制陪域) 设无边光滑流形 \(M\), 光滑映射 \(F:N\to M\), 浸入或嵌入子流形 \(S\subset M\), 且 \(F(N)\subset S\). 如果 \(F\) 作为 \(N\to S\) 的映射是连续的, 则 \(F:N\to S\) 也是光滑的.

特别地, 若 \(S\) 是嵌入子流形, 则根据子空间拓扑的特征性质, \(F:N\to S\) 连续, 进而光滑.

考虑另一个例子: 环面上的稠密曲线. 设环面 \(\mathbb{T}^2=\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1\), 曲线 \[ \gamma:\R\to\mathbb{T}^2,\qquad \gamma(t):=(\e^{2\pi\i t},\e^{2\pi\i\alpha t}), \] 其中 \(\alpha\) 是无理数, 则 \(\gamma(\R)\) 是 \(\mathbb{T}^2\) 的浸入 (且非嵌入) 子流形. 任给光滑映射 \(F:N\to\mathbb{T}^2\) 且 \(F(N)\subset S\), 我们下面证明 \(F\) 是 \(N\to S\) 的光滑映射. 由 Proposition 10.2, 我们只需证明连续性. 所有形如 \[ I_{t_0,\varepsilon} := \gamma((t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon)) \] 的子集构成 \(S\) 的拓扑基 (\(t_0\in\R\) 且 \(\varepsilon\) 充分小), 我们只需证明 \(F^{-1}(I_{t_0,\varepsilon})\) 在 \(N\) 中开. 设 \[ U = \{ (\e^{2\pi\i s}, \e^{2\pi\i t}) \in \Bbb{T}^2 \mid s\in(t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon), t\in\R \}, \] 则 \(U\cap S\) 是由无穷多段长度与 \(I_{t_0,\varepsilon}\) 相同的弧组成的, 且 \(I_{t_0,\varepsilon}\) 是 \(U\) 的一个连通分量. 因为 \(F\) 连续且 \(U\subset\Bbb{T}^2\) 开, 有 \(F^{-1}(U)\subset N\) 开. 又 \(F^{-1}(I_{t_0,\varepsilon})\) 由 \(F^{-1}(U)\) 的若干连通分量构成, 故 \(F^{-1}(I_{t_0,\varepsilon})\) 是开子集 (流形局部连通; 局部连通空间的分量是开子集).

总之, 尽管 \(S\) 并非 \(\Bbb{T}^2\) 的嵌入子流形, 但光滑映射在其上的限制仍旧是光滑的. 这样的子流形称为弱嵌入子流形 (weakly embedded submanifold). 在后面学习分布的时候我们会遇到更多的弱嵌入子流形.

10.2 Uniqueness of smooth structures

Theorem 10.3 (子流形上光滑结构的唯一性) 设光滑流形 \(M\).

1. 对于嵌入子流形 \(S\subset M\), 使之成为嵌入子流形的拓扑与光滑结构是唯一的 (即子空间拓扑与 Theorem 9.7 中的 “切片光滑结构”).
2. 对于弱嵌入子流形 \(S\subset M\), 使之成为浸入子流形的拓扑与光滑结构是唯一的.
3. 对于浸入子流形 \(S\subset M\), 给定 \(S\) 的拓扑之后, 存在唯一的光滑结构使之成为浸入子流形.

值得注意的是, 浸入 (非弱嵌入) 子流形上的拓扑和光滑结构并不唯一. 比如 8 字形空间有两种旋转的方向, 对应两种拓扑.

10.3 Extending functions from submanifolds

Lemma 10.4 (光滑子流形上函数的扩张) 设光滑流形 \(M\) 的光滑子流形 \(S\), 函数 \(f\in C^\infty(S)\).

1. 若 \(S\) 是嵌入子流形, 则存在 \(S\) 的邻域 \(U\) 和 \(\tilde{f}\in C^\infty(U)\), 使得 \(\tilde{f}|_S=f\).
2. 若 \(S\) 是逆紧嵌入子流形, 则 \(U\) 可以取为 \(M\).

11 The Tangent Space to a Submanifold

11.1 Characterizations

一个很自然的想法, 子流形的切空间应当是原流形切空间的子空间. 设光滑子流形 \(S\subset M\), 由于包含映射 \(\iota:S\hookrightarrow M\) 是光滑浸入, 我们有线性单射 \(\iota_{*,p}:T_pS\to T_pM\). 取切向量 \(v\in T_pS\), 我们将 \(v\) 与 \(\tilde{v}=\iota_{*,p}v\) 认同, 于是 \(T_pS\) 就成了 \(T_pM\) 的线性子空间.

具体来说, \(\tilde{v}\) 在 \(M\) 上光滑函数的作用为 \[ \tilde{v}f = (\iota_{*,p}v)(f) = v(f\circ\iota) = v(f|_S), \] 即 \(\tilde{v}\) 只关心 \(f\) 在 \(S\) 上的取值.

Proposition 11.1 (子流形切空间的曲线刻画) 设 (带边) 光滑流形 \(M\), 光滑子流形 \(S\subset M\), 点 \(p\in S\). 取 \(v\in T_pM\), 则 \(v\in T_pS\) 当且仅当存在光滑曲线 \(\gamma:I\to M\), 满足 \(\gamma(I)\subset S\), 且 \(\gamma\) 是 \(I\to S\) 的光滑映射, 并且 \(\gamma(0)=p\), \(\gamma'(0)=v\).

Pf \(\Leftarrow\) 是平凡的.

\(\Rightarrow\), 取 \(S\) 中的光滑曲线 \(\gamma:I\to S\), 满足 \(\gamma(0)=p\) 和 \(\gamma'(0)=v\) (根据 Proposition 4.13, 这样的曲线存在), 则 \(\tilde\gamma:=\iota\circ\gamma:I\to M\) 是 \(M\) 中的光滑曲线, 且 \(\tilde\gamma(0)=p\), \[ \tilde\gamma'(0) = \iota_{*,p}(\gamma'(0)) = v. \]

关于定理中 “\(\gamma\) 是 \(I\to S\) 的光滑映射” 的条件:

• 如果 \(S\) 是嵌入子流形, 则该条件是多余的 (Proposition 10.2).
• 如果 \(S\) 仅仅是浸入子流形, 则该条件是必需的, 不能删去. 反例可由 8 字形曲线构造.

下面的两个定理只适用于嵌入子流形.

Proposition 11.2 (嵌入子流形) 设光滑流形 \(M\), 嵌入子流形 \(S\subset M\), 点 \(p\in S\), 则 \[ T_pS = \{v\in T_pM \mid vf=0 \,\textsf{只要}\, f\in C^\infty(M) \,\textsf{且}\, f|_S=0 \}. \]

对于某些浸入子流形, 该定理不成立. 考虑 \(\Bbb{T}^2\) 上的稠密曲线 \(S\), 这是一个一维浸入子流形. 我们取 \(v\in T_pM\) 满足 \(vf=0\) 只要 \(f\in C^\infty(M)\) 且 \(f|_S=0\). 注意 \(S\) 是稠密的, 故 \(f\equiv0\) 在 \(M\) 上恒成立, 因此 \(v\) 可以是 \(T_pM\) 中的任意向量, 而非仅仅是 \(T_pS\) 中的向量.

Proposition 11.3 (作为局部水平集的嵌入子流形) 设光滑流形 \(M\), 嵌入子流形 \(S\subset M\). 若存在光滑映射 \(\Phi:U\to N\) 满足 \(S\cap U\) 是 \(\Phi\) 的常秩水平集, 则 \(T_pS=\ker\Phi_{*,p}\), 对任意 \(p\in S\cap U\).

Pf 由于 \(\Phi\circ\iota:S\to N\) 常值, 切映射 \(\Phi_{*,p}\circ\iota_{*,p}=0\), 即 \(\im\iota_{*,p}\subset\ker\Phi_{*,p}\). 结合秩-零化度定理以及常秩水平集定理, \[ \dim\ker\Phi_{*,p} = \dim T_pM - \rank\Phi_{*,p} = \dim T_pS = \dim \im\iota_{*,p}, \] 这表明 \(\im\iota_{*,p}=\ker\Phi_{*,p}\), 也即 \(T_pS=\ker\Phi_{*,p}\).

11.2 The tangent space at boundary

下面我们研究带边光滑流形的切空间. 直观地看, 边界点 \(p\in\partial M\) 的切向量有三种: 指向 \(M\) 内部的, 指向 \(M\) 外部的, 和与边界相切的.

具体来说, 切向量 \(v\in T_pM\setminus T_p\partial M\) 称为指向内部的 (inward-pointing), 若存在光滑曲线 \(\gamma:[0,\varepsilon)\to M\) 使得 \(\gamma(0)=p\) 且 \(\gamma'(0)=v\). 切向量 \(v\) 称为指向外部的 (outward-pointing), 若 \(-v\) 是指向内部的.

• 回顾: 边界坐标系指的是以边界上一点 \(p\) 为中心的, 到上半平面 \(\Bbb{H}^n\) 的同胚. 在边界坐标系下, 指向内部的切向量的 \(x^n\) 分量 (即 \(v^n=v(x^n)\)) 为正; 指向外部的切向量的 \(x^n\) 分量为负.

带边光滑流形 \(M\) 的边界定义函数 (boundary defining function) 指的是光滑函数 \(f:M\to[0,+\infty)\), 其满足 (1) \(f^{-1}(0)=\partial M\), (2) \(f_{*,p}\neq0\) 对任意 \(p\in\partial M\).

• 闭单位球 \(\overline{\Bbb{B}^n}\) 的一个边界定义函数为 \(f(x)=1-\|x\|^2\).

Proposition 11.4 任意带边光滑流形存在边界定义函数.

下面的定理用边界定义函数刻画了边界处的切向量. 如果将切向量当作方向导数的话, 结论是很直观的.

Proposition 11.5 设带边光滑流形 \(M\) 的边界定义函数 \(f\), 点 \(p\in\partial M\). 则切向量 \(v\in T_pM\) 是指向内部的当且仅当 \(vf>0\); 指向外部的当且仅当 \(vf<0\); 切于 \(\partial M\) 当且仅当 \(vf=0\).

Note 给定光滑子流形 \(M\) 和子集 \(S\subset M\), 要如何判断 \(S\) 是否构成嵌入 / 浸入子流形?

嵌入子流形的判断是比较简单的. 由于 \(S\) 必须在子空间拓扑和 “切片光滑结构” 下才能构成嵌入子流形, 只需直接验证即可.

浸入子流形比较棘手. 如果要证明 \(S\) 是浸入子流形, 我们需要构造出合适的拓扑和光滑结构. 如果要证明 \(S\) 不能构成浸入子流形, 我们则需要证明它在任意拓扑和光滑结构下都不构成浸入子流形, 这显然很困难. 可以考虑反证法, 用如下结论推出矛盾:

• 任意一点 \(p\) 处的切空间 \(T_pS\) 是 \(T_pM\) 的线性子空间.
• \(S\) 的切向量是 \(S\) 中光滑曲线的速度.
• \(S\) 的切向量零化在 \(S\) 上常值的光滑函数.

之后会给出几个例子.

尖尖的曲线. 考虑 \(\R^2\) 的子集 \(S=\{(x,y)\mid y=|x|\}\).

• 由于 \(S\setminus\{(0,0)\}\) 是 \(\R^2\) 的一维嵌入子流形, 所以如果 \(S\) 构成光滑子流形的话, 也必定是一维的 (维数的拓扑不变性: 一维情形). 因此 \(T_{(0,0)}S\) 是 \(T_{(0,0)}\R^2\) 的一维子空间.
• 根据 Proposition 11.1, 存在光滑曲线 \(\gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\to\R^2\), 其像包含于 \(S\), 且 \(\gamma(0)=(0,0)\), \(\gamma'(0)\neq0\). 记 \(\gamma(t)=(x(t),y(t))\), 注意到 \(t=0\) 是 \(y(t)\) 的极小值点, 有 \(y'(0)=0\). 又因为曲线上的点满足 \(x(t)^2=y(t)^2\), 两边求二阶导数并令 \(t=0\) 得到

\[ 2x'(0)^2=2y'(0)^2=0, \]

进而 \(\gamma'(0)=(0,0)\) 矛盾. 因此 \(S\) 无法构成 \(\R^2\) 的光滑子流形.

X 形空间. 考虑 \(\R^2\) 的子集 \(S=\{(x,y)\mid x^2=y^2\}\) (前文的一个反例). 同上, 它如果构成光滑子流形的话, 也必定是一维的.

• 首先, \(S\) 不是 \(\R^2\) 的嵌入子流形, 因为在子空间拓扑下, \((0,0)\) 的所有邻域都包含了一个 “X”, 不能与 \(\R\) 的任何开子集同胚.

• 此外, \(S\) 也不构成光滑子流形. 考虑两条曲线 \[ \Align{ \gamma_1:(-\varepsilon,\varepsilon)&\to\R^2, & \gamma_1(t)&=(t,t), \\ \gamma_2:(-\varepsilon,\varepsilon)&\to\R^2, & \gamma_2(t)&=(t,-t), \\ } \] 则 \(\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=(0,0)\), 且 \(\gamma_1'(0)=(1,1)\) 和 \(\gamma_2'(0)=(1,-1)\) 都是 \(T_{(0,0)}S\) 的元素. 然而这两个向量线性无关, 与 \(\dim T_{(0,0)}S=1\) 矛盾.

12 Submanifolds with Boundary

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1. 集合 \(\beta((-\varepsilon,\varepsilon))\) 就是一例.↩︎