梁GR | 3 李导数, Killing场和超曲面
梁灿彬, 周彬《微分几何入门与广义相对论》第四章的笔记.
4 Lie Derivatives, Killing Fields and Hypersurfaces
4.1 Maps of manifolds
拉回与推前.
设\(\phi:M\to N\)为微分同胚, 那么这个点的映射可以诱导出张量场\(\mathcal{F}_M(k,l)\)与\(\mathcal{F}_N(k,l)\)之间的映射, 即拉回(pull back)\(\phi^*\)和推前(push forward)\(\phi_*\). 我们一步一步地来定义: (其中\(f,v,\omega\)是\(M\)上的场, \(g,w,\mu\)是\(N\)上的场, \(p\in M\), \(q\in N\))
标量场\({\cal F}_M\longleftrightarrow {\cal F}_N\).
- 拉回, \(\phi^*g:=g\circ\phi\).
- 推前, \(\phi_*f:=f\circ\phi^{-1}\).
矢量场\({\cal F}_M(1,0) \longleftrightarrow {\cal F}_N(1,0)\).
- 拉回, \((\phi^*w)|_p(f):=w|_{\phi(p)}(\phi_*f)\).
- 推前, \((\phi_*v)|_q(g):=v|_{\phi^{-1}(q)}(\phi^*g)\).
对偶矢量场\({\cal F}_M(0,1) \longleftrightarrow {\cal F}_N(0,1)\).
拉回, \((\phi^*\mu)|_p(v):=\mu|_{\phi(p)}(\phi_*v)\).
推前, \((\phi_*\omega)|_q(w):=\omega|_{\phi^{-1}(q)}(\phi^*w)\).
\((k,l)\)型张量场的推拉, 很容易借助矢量场和对偶矢量场的推拉来定义, 这里仅举出一例. 对于\(T^a{_b}\in{\cal F}_N(1,1)\), 其拉回定义为 \[ (\phi^*T)^a{_b} |_p (\omega_a v^b) := T^a{_b}|_{\phi(p)} (\phi_*\omega)_a (\phi_*v)^b. \]
容易验证, 定义出来的\(\phi^*v,\phi_*v\)等满足线性性和Leibniz律.
注: 如果\(\phi\)只是光滑映射而非同胚, 那么\(\phi^{-1}\)不存在, 拉回至多延拓到\(\phi^*:\mathcal{F}_N(0,l)\to\mathcal{F}_M(0,l)\); 推前只能逐点地定义, \(\phi_*:\mathcal{T}_{V_p}(k,0)\to\mathcal{T}_{V_{\phi(p)}}(k,0)\), 而不能推前张量场. 定义如下,
标量场的拉回, \(\phi^*:{\cal F}_N\to{\cal F}_M\), \((\phi^*g)|_p:=g(\phi(p))\).
切空间的推前, \(\phi_*:V_p\to V_{\phi(p)}\), \((\phi_*v)(g):=v(\phi^*g)\), 也称切映射(tangent map).
拉回的延拓, \(\phi^*:{\cal F}_N(0,l)\to{\cal F}_M(0,l)\), \[ (\phi^*T)_{a_1\dots a_l}|_{p} (v_1)^{a_1}\cdots(v_l)^{a_l}:= T_{a_1\dots a_l}|_{\phi(p)} (\phi_*v_1)^{a_1}\cdots(\phi_*v_l)^{a_l}. \]
推前的延拓, \(\phi_*:{\cal T}_{V_p}(k,0)\to{\cal T}_{V_{\phi(p)}}(k,0)\), \[ (\phi_* T)^{a_1\dots a_k} (\omega^1)_{a_1}\cdots(\omega^k)_{a_k} := T^{a_1\dots a_k} (\phi^*\omega^1)_{a_1}\cdots(\phi^*\omega^k)_{a_k}. \]
推前映射\(\phi_*:V_p\to V_{\phi(p)}\)也被称为\(\phi\)在\(p\)点的微分(differential).
设\(V_p\)和\(V_{\phi(p)}\)的坐标基矢\(\{(\pdv{x^\mu})^a\},\{(\pdv{y^\nu})^a\}\), 我们计算\((\pdv{x^\mu})^a\)的推前: 一方面, 因为推前是线性的, 有\(\phi_*\pqty{\pdv{x^\mu}}^a = A^\nu{_\mu}\pqty{\pdv{y^\nu}}^a\), 其中\(A^\nu{_\mu}\)为矩阵. 另一方面, 由推前的定义, \(\phi_*\pqty{\pdv{x^\mu}}^a = \pdv{}{x^\mu}\circ\phi^*\). 于是 \[ A^\nu{_\mu}\pdv{y^\nu} = \pdv{}{x^\mu}\circ\phi^*, \tag{$*$} \] 令\(\phi^\sigma=y^\sigma\circ\phi\), 即\(\phi\)借坐标系的体现. 将\((*)\)式两边作用于坐标函数\(y^\sigma\)给出 \[ A^\nu{_\mu}\pdv{y^\sigma}{y^\nu} = \pdv{(y^\sigma\circ\phi)}{x^\mu} \Rightarrow A^\sigma{_\mu} = \pdv{\phi^\sigma}{x^\mu}, \] 这说明, \(\phi_*\)(作为线性映射)的矩阵恰好是\(\phi\)(坐标分量式)的Jacobi矩阵. 所以, 推前可以看作是"导数"的推广.
Claim 1 推前和拉回的性质. 下面\(\phi\)为微分同胚.
- 互逆. \(\phi^*\circ\phi_*={\rm id}_{ {\cal F}_M(k,l)}\)且\(\phi_*\circ\phi^*={\rm id}_{ {\cal F}_N(k,l)}\).
- 和求逆可交换. \((\phi^*)^{-1}=(\phi^{-1})^*\).
- 保持张量积. \(\phi^*(TT')=\phi^*(T)\phi^*(T')\). (推前同理.)
- 与缩并可交换. \(\phi^*({\rm C}T)={\rm C}\phi^*(T)\). (推前同理.)
- 复合映射. \((\psi\circ\phi)^*=\phi^*\circ\psi^*\), 且\((\psi\circ\phi)_*=\psi_*\circ\phi_*\).
- 于对易子. \(\phi_*([v,u])=[\phi_*v,\phi_*u]\).
坐标的变换.
一个微分同胚\(\phi:M\to N\)不仅给出了点的变换, 还诱导出了:
- 坐标场和的推前和拉回(下图黄). 设\(M\)上的坐标卡\((O_1,\qty{x^\mu})\), 它可以被推前为\((\phi[O_1],\qty{x^\mu\circ\phi^{-1}})\).
- 张量场的推前和拉回(下图蓝).
一个自然的问题就是, 以上两者的变换是否是相容的? 即, 张量场的推前\(\phi_*T\)在\(\phi[O_1]\)的坐标分量, 是否等于变换前\(T\)在\(O_1\)的坐标分量?
回顾分量的定义, 要求分量就要求基矢, 而基矢是坐标线的切矢, 所以我们先证明以下引理.
Claim 2 曲线像的切矢 \(=\) 切矢的推前. (等价地, 曲线原像的切矢 \(=\) 像的切矢的拉回.)
Pf 对曲线\(c\)和微分同胚\(\phi\), 设\(T\)为\(c(t)\)在\(t_0\in I\)处的切矢, \(T'\)为\(\phi(c(t))\)在\(t_0\)处的切矢, 则 \[ (\phi_*T)(f) = T(\phi^* f) = T(f\circ\phi) = \dv{t}((f\circ\phi)\circ c) = \dv{t}(f\circ(\phi\circ c)). \] (多次使用切矢, 推前, 拉回的定义.) 上式左边为切矢的像, 右边为像的切矢.
- 自然地有推论: \(M\)的坐标系推前的坐标基底 \(=\) 坐标基底的推前, 即 \[ \pdv{x'^\mu} = \phi_*\pdv{x^\mu}, \quad \dd{x}'^\mu = \phi_*\dd{x}^\mu, \] 其中\(x'^\mu=\phi_*x^\mu\). (等价地, \(N\)中坐标系拉回的坐标基底 \(=\) 坐标基底的拉回.)
Claim 3 设微分同胚\(\phi:M\to N\), \(M\)上坐标卡\((O_1,\qty{x^\mu})\)被推前为\((\phi[O_1],\qty{x^\mu\circ\phi^{-1}})\), \(T\)是\(M\)上的张量场, 则 \[ T^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} |_p = (\phi_*T)'^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} |_{\phi(p)}, \] 其中左边是\(T\)在\(O_1\)上的坐标分量, 右边是\(\phi_*T\)在\(\phi[O_1]\)上的坐标分量.
Pf 根据坐标分量的定义, \[ \Align{ (\phi_*T)'^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} |_{\phi(p)} &=(\phi_*T)|_{\phi(p)} \pqty{ \pdv{x'^{\mu_1}},\dots,\pdv{x'^{\mu_k}}; \dd{x'^{\nu_1}},\dots,\dd{x'^{\nu_l}} } \\ &=T|_p \pqty{ \phi^*\pdv{x'^{\mu_1}},\dots,\phi^*\pdv{x'^{\mu_k}}; \phi^*\dd{x'^{\nu_1}},\dots,\phi^*\dd{x'^{\nu_l}} } \\ &=T|_p \pqty{ \pdv{x^{\mu_1}},\dots,\pdv{x^{\mu_k}}; \dd{x^{\nu_1}},\dots,\dd{x^{\nu_l}} } \\ &=T^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} |_p, } \] 第三步利用了坐标基矢的变换关系.
微分同胚的两种观点.
看待微分同胚\(\phi:M\to N\)向来有两种观点,
主动观点(active viewpoint)认为, \(\phi\)表示点的变换(\(p\mapsto\phi(p)\))以及张量的变换(\(T\mapsto\phi_*T\)).
被动观点(passive viewpoint)认为, \(p\)点及上所有张量都没变, \(\phi:M\to N\)的结果只是坐标系发生变化:
取\(M\)上的\((O_1,\qty{x^\mu})\)和\(N\)上的\((O_2,\qty{y^\mu})\), 后者拉回为\((\phi^{-1}[O_2],\qty{x'^\mu})\), 因此\(M\)的坐标系从\(\qty{x^\mu}\)变为\(\qty{x'^\mu}\).
实际上, 两种观点是等价的. 在Claim 3中, 设\(N\)上的坐标系\(O_2\), 取系\(O_1\)为\(\phi^{-1}[O_2]\), 于是\(\phi[O_1]=O_2\), 因此有 \[ T'^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} |_p = (\phi_*T)^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} |_{\phi(p)}. \] 左边是老点\(p\)的老张量\(T\)在新系\(\phi^{-1}[O_2]\)下的分量, 右边是新点\(\phi(p)\)的新张量\(\phi_*T\)在老系\(O_2\)下的分量.
4.2 Lie derivatives
有了推前和拉回, 就可以在流形上搬运张量, 进而引出导数的概念. 在第二章我们已经知道, \(M\)上的一个光滑矢量场\(v^a\)会给出一个单参数微分同胚群 \[ \phi = \qty{\phi_t: \phi_t(p)\textsf{表示$p$点沿着$p$处的积分曲线走$t$单位} }, \] 群元\(\phi_t\)的拉回为\(\phi_t^*\). 给定光滑张量场\(T\), 则\(\phi^*_tT\)也是同型光滑张量场, 这两个场在\(p\)点的差值为\(\phi_t^*T|_p-T|_p\), 这可以看作张量场\(T\)的(沿着\(v\)的)变化量, \((\phi_t^*T|_p-T|_p)/t\)的极限则可以看作\(T\)在\(p\)点的某种导数. 于是我们定义 \[ {\cal L}_v T := \lim_{t\to0} \frac{\phi_t^*T-T}{t} \] 为张量场\(T\)沿着矢量场\(v\)的李导数(Lie derivative), 是一个与\(T\)同型的张量场. \({\cal L}_v\)是线性的, 而且与缩并可交换.
Claim 1 \({\cal L}_vf=v(f)\), 对于\(f\in{\cal F}_M\).
Pf 任取\(p\in M\), 设\(c(t)\)为矢量场\(v^a\)从\(p\)出发的积分曲线, 于是有\(c(0)=p\), \(c(t)=\phi_t(p)\), 所以 \[ \Align{ {\cal L}_vf |_p =\lim_{t=0} \frac{\phi^*_tf|_p-f|_p}{t} =\lim_{t=0} \frac{f\circ\phi_t|_p-f|_p}{t} =\lim_{t=0} \frac{f(c(t))-f(c(0))}{t} =\dv{(f\circ c)}{t}\Big|_p } \] 根据曲线切矢的定义, 右边就是\(T(f)|_p\), 也就是\(v(f)|_p\).
下面介绍一种对计算李导数很有用的坐标系, 称为矢量场\(v^a\)的适配坐标系(adapted coordinate system). 选定\(v^a\)的积分曲线作为\(x^1\)的坐标曲线(以\(t\)充当\(x^1\)), 再选定另一组与这组曲线相截(交点上切矢不平行)的曲线作为\(x^2\)的坐标曲线, 以此类推. 可以看出\(v^a=(\pdv{t})^a=(\pdv{x^1})^a\).
Claim 2 张量场\(T\)沿\(v\)的李导数在\(v\)适配的坐标系下的分量 \[ ({\cal L}_vT)^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} = \pdv{T^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}}}{x^1}. \]
- 需要注意的是, 上面的等式只在适配的坐标系下成立, 不服从张量变换律, 故不能写成张量等式.
Pf 取适配坐标系包含\(p,q=\phi_t(p)\)两点, 另注意到\(\phi^*_t=(\phi^{-1}_t)_*=\phi_{-t*}\), 有 \[ \Align{ ({\cal L}_vT)^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} |_p &= \lim_{t\to0}\frac{ (\phi_{-t*}T)^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}}|_p - T^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}}|_p }{t}. \tag{a} } \] 计算第一项, 由上一节"主被动观点的等价性"(同胚映射为\(\phi_{-t}\))有 \[ \Align{ (\phi_{-t*}T)^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}}|_p &= T'^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}}|_q \\ &= \pqty{ \pdv{x'^{\mu_1}}{x^{\rho_1}}\dots\pdv{x'^{\mu_k}}{x^{\rho_k}} \pdv{x^{\sigma_1}}{x'^{\nu_1}}\dots\pdv{x^{\sigma_l}}{x'^{\nu_l}} } T^{\rho_1\dots\rho_k}{_{\sigma_1\dots\sigma_l}} \bigg|_q. \tag{b} } \] (第二步用了张量的坐标变换律) 现在要搞清楚\(x\)和\(x'\)的变换关系, 其中\(x\)是\(q\)点老适配坐标系, \(x'\)是\(p\)点适配坐标系推前到\(q\)点. 在\(p,q\)的邻域中任取点\(\bar{q},\bar{p}=\phi_{-t}(\bar{q})\), 根据适配坐标系的定义有\(x^1(\bar{q})=x^1(\bar{p})+t\), \(x^\tau(\bar{q})=x^\tau(\bar{p})\)(\(\tau=2,\dots,n\)). 而按照定义, \(\phi_{-t}\)在\(\bar{q}\)诱导的新坐标为\(x'^1(\bar{q})=x^1(\bar{p})\), \(x'^\tau(\bar{q})=x^\tau(\bar{p})\), 因此\(x'^1(\bar{q})=x^1(\bar{q})-t\), \(x'^\tau(\bar{q})=x^\tau(\bar{q})\), 根据\(\bar{p}\)的任意性有 \[ x'^1 = x^1-t,\quad x'^\tau=x^\tau, \] 求导得\(\displaystyle\pdv{x'^\mu}{x^\rho}=\delta^\mu{_\rho},\pdv{x^\sigma}{x'^\nu}=\delta^\sigma{_\nu}\), 代入\(({\rm b})\)式得到 \[ \Align{ (\phi_{-t*}T)^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}}|_p &= \pqty{ \delta^{\mu_1}{_{\rho_1}}\dots\delta^{\mu_k}{_{\rho_k}} \delta^{\sigma_1}{_{\nu_1}}\dots\delta^{\sigma_l}{_{\nu_l}} } T^{\rho_1\dots\rho_k}{_{\sigma_1\dots\sigma_l}} |_q \\ &= T^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} |_q, } \] 将其代回\(({\rm a})\)式, 再由\(t=x^1\)即证. \[ \Align{ ({\cal L}_vT)^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}} |_p = \lim_{t\to0}\frac{ T^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}}|_q - T^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}}|_p }t = \pdv{T^{\mu_1\dots\mu_k}{_{\nu_1\dots\nu_l}}}{x^1} \bigg|_p. } \]
- 推论: \({\cal L}_v\)满足Leibniz律, \({\cal L}_v(ST)=({\cal L}_vS)T+S({\cal L}_vT)\).
Claim 3 与导数算符的关系. (以下\(\nabla_a\)为任意无挠导数算符.)
(矢量场) \({\cal L}_vu^a=[v,u]^a\)(\(=v^b\nabla_bu^a-u^b\nabla_bv^a\)).
(对偶矢量场) \({\cal L}_v\omega_a=v^b\nabla_b\omega_a+\omega_b\nabla_av^b\).
(任意张量场) \[ \Align{ ({\cal L}_vT)^{a_1\dots a_k}{_{b_1\dots b_l}} = v^c\nabla_c T^{a_1\dots a_k}{_{b_1\dots b_l}} &-\sum_{i=1}^k T^{a_1\dots c\dots a_k}{_{b_1\dots b_l}} \nabla_c v^{a_i} \\ &+\sum_{j=1}^l T^{a_1\dots a_k}{_{b_1\dots c\dots b_l}} \nabla_{b_j} v^c. } \]
Pf 第1个. 只需证明两个张量在某坐标系下分量相等. 取\(v^a\)的适配坐标系以及普通导数算符, \[ \Align{ [v,u]^\mu &=(\dd{x}^\mu)_a [v,u]^a \\ &=(\dd{x}^\mu)_a (v^b\partial_b u^a - u^b\partial_b v^a) \\ &=(\dd{x}^\mu)_a (v^b\partial_b u^a) = v^b\partial_b u^\mu = v(u^\mu) = \pdv{u^\mu}{x^1} = ({\cal L}_v u)^\mu, } \] 其中第三步是因为\(\partial_b v^a=\partial_b(\pdv{}{x^1})^a=0\), 第五步用到了导数算符的定义.
Claim 4 设矢量场\(v,u\), 则\([{\cal L}_v,{\cal L}_u]={\cal L}_{[v,u]}\)作用于任意张量场都成立, 其中\([{\cal L}_v,{\cal L}_u]:={\cal L}_v{\cal L}_u-{\cal L}_u{\cal L}_v\).
4.3 Killing fields
现在为流形\(M\)附加一个度规场\(g_{ab}\). 在所有的微分同胚\(\phi:M\to M\)中, 我们称那些保持度规的同胚为等度规映射, 简称等度规(isometry), 即满足\(\phi^*g_{ab}=g_{ab}\)的\(\phi\).
- 两边作用于矢量就是\((\phi^*g)_{ab}v^av^b=g_{ab}v^av^b\), 即\(g_{ab}(\phi_*v)^a(\phi_*v)^b=g_{ab}v^av^b\).
- \(\phi\)等度规 \(\iff\phi^{-1}\)等度规.
称矢量场\(\xi^a\)为Killing矢量场, 如果它给出的单参微分同胚群是等度规群. 可知, \(\xi^a\)为Killing场当且仅当\({\cal L}_\xi g_{ab}=0\). 根据上一节Claim 2, 如果\(\displaystyle\pdv{g_{\mu\nu}}{x^1}=0\), 则\(\displaystyle\pqty{\pdv{x^1}}^a\)是坐标域上的Killing场.
Claim 1 \(\xi^a\)为Killing场的充要条件是满足下面的Killing方程, (其中\(\nabla_cg_{ab}=0\)) \[ \nabla_a\xi_b+\nabla_b\xi_a=0, \quad\textsf{或}\, \nabla_{(a}\xi_{b)}=0, \quad\textsf{或}\, \nabla_{a}\xi_{b}=\nabla_{[a}\xi_{b]}, \] Claim 2 设Killing场\(\xi^a\), 测地线切矢\(T^a\), 则两者内积沿测地线不变, 即\(T^a\nabla_a(T^b\xi_b)=0\). (其中\(\nabla_cg_{ab}=0\).)
Pf \(T^a\nabla_a(T^b\xi_b)=T^a\xi_b\nabla_aT^b+T^aT^b\nabla_a\xi_b=\xi_b(T^a\nabla_aT^b)+T^{(a}T^{b)}\nabla_{[a}\xi_{b]}=0\).
Claim 3 (与曲率的关系) 设\((M,g_{ab})\)的Killing场\(\xi^a\), 黎曼张量\(R_{abc}{^d}\), 里奇张量\(R_{ac}\), 则
- \(\nabla_a\nabla_b\xi_c=-R_{bca}{^d}\xi_d\).
- \(\nabla^a\nabla_a\xi_c=-R_{cd}\xi^d\).
Claim 4 设\(\xi^a,\eta^a\)为\((M,g_{ab})\)的两个Killing场, 则
- 线性组合\(\alpha\xi^a+\beta\eta^a\), 对易子\([\xi,\eta]^a\)也都是Killing场.
- 推前\(\phi_*\xi^a\)也是Killing场, 其中\(\phi:M\to M\)等度规.
Pf 第1条, \(\alpha\xi^a+\beta\eta^a\)的Killing性由Killing方程的线性性即得; 而利用上一节Claim 4容易得到 \[ {\cal L}_{[\xi,\eta]}g_{ab} = [{\cal L}_\xi,{\cal L}_\eta]g_{ab} = {\cal L}_\xi({\cal L}_\eta g_{ab})-{\cal L}_\eta({\cal L}_\xi g_{ab}) = {\cal L}_\xi(0)-{\cal L}_\eta(0) = 0 \] 第2条, 设\(\xi^a\)给出同胚\(\psi_t\), 先证明\(\phi_*\xi^a\)给出同胚\(\phi\circ\psi_t\), 再证明\(g_{ab}\)沿\(\phi_*\xi^a\)的李导数为零即可.
由第1条可见, 所有的Killing矢量场构成一个线性空间\({\cal K}\). 实际上, 作为线性空间, \(\dim{\cal K}\leq\dfrac{n(n+1)}2\). 一个Killing场等同于一类等度规变换, 也就是\((M,g_{ab})\)上的一类对称性, 我们称\(\dim{\cal K}=n(n+1)/2\)的广义黎曼空间为最高对称空间.
Example 1
欧氏空间\((\R^2,\delta_{ab})\). 坐标系\(\qty{x,y}\)下, \(\dd{s}^2=\dd{x}^2+\dd{y}^2\), 度规分量全部为常数, 有\(\pdv{g_{\mu\nu}}{x}=\pdv{g_{\mu\nu}}{y}=0\), 对应两个独立的Killing场\((\pdv{x})^a\), \((\pdv{y})^a\), 它们表示平移对称性, 积分曲线是\(x\)和\(y\)坐标曲线. 为了找到第三个, 我们采用极坐标\(\qty{r,\varphi}\), 有\(\dd{s}^2=\dd{r}^2+r^2\dd{\varphi}^2\), 度规分量与\(\varphi\)无关, 于是\((\pdv{\varphi})^a=-y(\pdv{x})^a+x(\pdv{y})^a\)也是Killing场, 它表示旋转对称性, 积分曲线是以原点为圆心的圆.
二维欧氏空间有3个独立Killing场, 是最高对称空间. 相似地, 三维欧氏空间有6个独立Killing场, 包括3个平移和3个旋转.
闵氏空间\((\R^2,\eta_{ab})\). 坐标系\(\qty{t,x}\)下, \(\dd{s}^2=-\dd{t}^2+\dd{x}^2\), 同样有两个平移场\((\pdv{x})^a\), \((\pdv{y})^a\). 现在采用新坐标\(\qty{\psi,\eta}\): \[ x=\psi\cosh\eta,\quad y=\psi\sinh\eta,\quad \psi\in(0,+\infty),\eta\in(-\infty,+\infty), \] 线元\(\dd{s}^2=\dd{\psi}^2-\psi^2\dd{\eta}^2\), 可看出\((\pdv{\eta})^a\)是第三个Killing场, 它表示伪转动(boost), 积分曲线是双曲线.
四维闵氏时空有10个独立的Killing场, 分为4个平移, 3个转动和3个伪转动.
Example 2 考虑二维球面\(S^2\), 坐标\(\qty{\theta,\phi}\)下\(\dd{s}^2=R^2\dd\theta^2+R^2\sin^2\theta\dd\phi^2\). 现在我们尝试通过解方程求出Killing场\(\xi^a\). 我们已经计算过克氏符的分量, 现在直接把公式\(\nabla_a\xi_b=\partial_a\xi_b-\Gamma^c{_{ab}}\xi_c\)代入Killing方程, 得到 \[ \partial_{(a}\xi_{b)}-\Gamma^c{_{(ab)}}\xi_c = 0, \quad\textsf{即}\, \partial_{(\mu}\xi_{\nu)}-\Gamma^\sigma{_{(\mu\nu)}}\xi_\sigma = 0, \quad (\mu,\nu=\theta,\phi) \] 其中Killing场的分量\(\xi_\theta(\theta,\phi),\xi_\phi(\theta,\phi)\)都是关于坐标的函数. 将右边的方程写开, 得到 \[ \left\{\Align{ &\partial_\theta\xi_{\theta}=0, \\ &\partial_\phi\xi_\phi+\sin\theta\cos\theta\xi_\theta=0, \\ &\partial_\phi\xi_\theta+\partial_\theta\xi_\phi-2\cot\theta\xi_\phi=0, }\right. \]
解得\(\Cases{\xi_\theta=A\sin\phi+B\cos\phi\\\xi_\phi=A\sin\theta\cos\theta\cos\phi-B\sin\theta\cos\theta\sin\phi+C\sin^2\theta}\), 其中\(A,B,C\)为常数, 用度规升指标得到\(\Cases{\xi^\theta=A\sin\phi+B\cos\phi\\\xi^\phi=A\cos\phi\cot\theta-B\sin\phi\cot\theta+C}\), 分别令\(A,B,C\)为\(1\)(其余为\(0\)), 可以得到三个独立的Killing场: \[ \Align{ \xi_1^a &= \sin\phi\pqty{\pdv{\theta}}^a +\cos\phi\cot\theta \pqty{\pdv{\phi}}^a, \\ \xi_2^a &= \cos\phi\pqty{\pdv{\theta}}^a -\sin\phi\cot\theta \pqty{\pdv{\phi}}^a, \\ \xi_3^a &= \pqty{\pdv{\phi}}^a. } \] 可见二维球面是最高对称空间. 将\(\xi_1,\xi_2,\xi_3\)画出来(如下图), 可以看出它们分别表示绕\(x,y,z\)轴的旋转.
4.4 Hypersurfaces
嵌入子流形, 超曲面, 法矢和法余矢.
设\(M,S\)为流形, \(\dim{S}\leq\dim{M}=n\), 映射\(\phi:S\to M\)称为嵌入(embedding), 若\(\phi\)是光滑的单射, 且对任意一点\(p\in S\), 推前\(\phi_*:V_p\to V_{\phi(p)}\)是非退化的(单射). \(S\)的拓扑和微分结构可以自然地带到\(\phi[S]\)上去, 使得\(\phi:S\to\phi[S]\)成为微分同胚.
称\(\phi:S\to M\)为\(M\)的一个嵌入子流形(embedded submanifold), 有时也称\(\phi[S]\)为嵌入子流形. 若\(\dim{S}=n-1\), 则称\(\phi[S]\)为\(M\)的一张超曲面(hypersurface).
- 设\(S^2\)为\(\R^3\)中的单位球面, 则恒等映射\(\phi:S^2\to\R^3\)给出一个嵌入子流形, 而且是超曲面.
- 嵌入子流形\(\phi[S]\)有两个拓扑, 一个是\(\phi\)带来的, 一个是\(M\)的拓扑在\(\phi[S]\)上诱导的, 两者不一定相同. 如果进一步要求这两个拓扑相同(\(\phi\)同胚), 则这样的\(\phi:S\to M\)成为正则嵌入(regular embedding).
- \(M\)上的某些光滑函数\(f\)可以确定一个超曲面, 其由满足\(f|_p=0\)的点组成. 例如,
三维欧氏空间中的\(f=ax+by+cz\)给出一个二维平面.
- 方程\(f=0\)给出一个超曲面当且仅当\(\dd{f}|_{f=0}\neq0\)恒成立.
设嵌入\(\phi:S\to M\), \(p\in S\). \(q=\phi(p)\)作为\(M\)的一点, 有切空间\(V_p\), 而\(\phi[S]\)在\(q\)处也有切空间\(W_q\)(\(W_q\)是\(V_q\)的线性子空间, 对于\(V_q\)中的向量\(w^a\): \(w^a\in W_q\)当且仅当\(w^a\)是\(\phi[S]\)的某条曲线的切矢).
非零对偶矢量\(n_a\in V_q^*\)称为\(\phi[S]\)在\(q\)点的法余矢(normal covector)为, 如果\(n_aw^a=0,\forall w^a\in W_q\). 如果\(M\)上度规\(g_{ab}\), 则可以将法余矢升指标为法矢(normal vector), 即\(n^a=g^{ab}n_b\in V_q\). 法矢与\(W_q\)中的所有矢量正交.
- 回顾线性代数, 法余矢和法矢分别可以看作\(W_q\)的零化子\(W_q^0\)和正交补空间\(W_q^\perp\)的(非零)元素.
Claim 1 对于超曲面\(\phi[S]\), 其上任意一点\(q\)都有法余矢, 且两个法余矢之间相差非零实数.
Claim 2 设\(\phi[S]\)是光滑函数\(f=0\)给出的超曲面, 则\(\nabla_af|_q\)(\(q\in\phi[S]\))是该曲面的法余矢.
Pf 任取\(q\in\phi[S]\)和\(w^a\in W_q\), 因为\(w^a\)一定是超曲面上某条曲线\(c(t)\)的切矢, 而\(c(t)\)上的点总有\(f=0\)为常数, 所以\(w^a\nabla_af=w(f)=\pdv{f}{t}=0\).
Claim 3 设\(n_a\)为超曲面\(\phi[S]\)的法余矢, 则\(n^a\in W_q\)的充要条件为\(n^an_a=0\).
Pf (\(\Rightarrow\)) 因为\(n_a\)为法余矢, 且\(n^a\in W_q\), 所以\(n^an_a=0\).
(\(\Leftarrow\)) 取\(V_q\)的基底\(\qty{(e_\mu)^a}\)使得\((e_2)^a,\dots,(e_n)^a\in W_q\), 且\((e_1)_a=n_a\), 因此\(n^a\)在该基底的第一分量\(n^1=n^a(e_1)_a=n^an_a=0\), 所以\(n^a\)可以被\(\qty{(e_2)^a,\dots,(e_n)^a}\)表出, \(n^a\in W_q\).
Example 1 考虑二维闵氏空间\((\R^2,\eta_{ab})\)的超曲面的法矢, 分以下三种情况:
超曲面是\(x\)坐标线, 切矢\((e_2)^a=(\pdv{x})^a\), 设\((e_1)^a=\alpha(\pdv{t})^a+\beta(\pdv{x})^a\)(\(\alpha\neq0\)), 因为\((e^1)_a(e_1)^a=1\)且\((e^1)_a(e_2)^a=0\), 解得\((e^1)_a=\alpha^{-1}(\dd{t})_a\), 可知\((e^1)_a\)为法余矢, 升指标得到法矢\(n^a=-\alpha^{-1}(\pdv{t})^a\).
超曲面是\(t\)坐标线, 同上. 法矢平行于\(x\)轴.
超曲面是\(45^\circ\)斜直线, 切矢\((e_2)^a=(\pdv{t})^a+(\pdv{x})^a\), 设\((e_1)^a=\alpha(\pdv{x})^a+\beta(\pdv{t})^a\)(\(\alpha\neq\beta\)), 可以解得\((e^1)_a=(\alpha-\beta)^{-1}((\dd{t})_a-(\dd{x})_a)\), 升指标得到法矢\(n^a=(\beta-\alpha)^{-1}((\pdv{t})^a+(\pdv{x})^a)\), 可以发现法矢与切矢\((e_2)^a\)平行! 这就是\(n^a\in W_q\)的例子, 类光测地线切矢长度为零.
称超曲面类空, 若其法矢处处类时; 超曲面类时, 若其法矢处处类空; 超曲面类光, 若其法矢处处类光. 若\(n^an_a\neq0\), 则今后谈的都是归一化法矢, 即\(g_{ab}n^an^b\equiv n^an_a=\pm1\).
诱导度规.
设\(\phi[S]\)为嵌入子流形, 在\(V_q\)上有度规\(g_{ab}\), 现在在\(W_q\)上找一个度规\(h_{ab}\), 如果满足 \[ g_{ab}w_1^aw_2^b=h_{ab}w_1^aw_2^b,\quad (\forall w_1^a,w_2^a\in W_q) \] 则称\(h_{ab}\)为\(g_{ab}\)生出的诱导度规(induced metric). 诱导度规本质上就是把\(V_q\)的度规限制在\(W_q\)上的结果.
- 一个类光超曲面不存在诱导度规. 如果取法矢\(n^a\in W_q\), 则\(h_{ab}n^aw^b=g_{ab}n^aw^b=n_bw^b=0\)对于\(w^b\in W_q\)恒成立, 于是\(h_{ab}\)是退化的, 不构成度规.
当\(\phi[S]\)为类时或类空超曲面(或正定度规下的超曲面)时, 诱导度规可以用归一化法矢(\(n^an_a=\pm1\))表示为 \[ h_{ab} := g_{ab} - (n^cn_c)n_an_b, \] 可以验证它确实是诱导度规. 用度规\(g\)对其升指标得到 \[ h^a{_b} = g^{ad}h_{db} = \delta^a{_b} - (n^cn_c)n^an_b. \] 这是一个\((1,1)\)型张量, 代表\(V_q\)上的一个线性变换, 将其作用与\(v^b\in V_q\)得到 \[ h^a{_b}v^b = v^a - (n^cn_c)n^a(n_bv^b), \quad\textsf{或}\, v^a = h^a{_b}v^b + (n^cn_c)(n_bv^b)n^a, \] 其中\((n^cn_c)\)和\((n^bv_b)\)都是实数, 所以右边这个式子将\(v^a\)写作了法向部分\((n^cn_c)(n_bv^b)n^a\)和切向部分\(h^a{_b}v^b\)(因为\(n_a(h^a{_b}v^b)=(n_b-(n^cn_c)(n_an^a)n_b)v^b=0\), 所以\(h^a{_b}v^b\in V_q\))的和. 称\(h^a{_b}\)为\(V_q\)到\(W_q\)的投影映射(projection map).
- 容易验证, \(h^a{_b}\)在\(W_q\)上是恒等算子, 从而\(h^a{_b}\)是满射; 而且\(h^a{_b}h^b{_c}=h^a{_c}\), 即\(h\)幂等.
Example 2 考虑嵌入于\((\R^3,\delta_{ab})\)的\(S^2\).
取\(\R^3\)的球坐标\(\qty{r,\theta,\phi}\), 则度规场分量\(g_{\mu\nu}=\diag(1,r^2,r^2\sin^2\theta)\). 设球面上一点\(q\), 则\(W_q\)的基底\(\{(\pdv{\theta})^a,(\pdv{\phi})^a\}\), 由定义可以求得单位法余矢\(n_a=(\dd{r})_a\), 升指标得到\(n^a=(\pdv{r})^a\), 可得\(n^an_a=1\), 诱导度规场\(h_{ab}=g_{ab}-n_an_b\), 其分量 \[ h_{\mu\nu} = \pmqty{0\\&r^2\\&&r^2\sin^2\theta}, \] 进而可以求得投影映射场\(h^a{_b}\)的分量为\(h^\mu{_\nu}=\diag(0,1,1)\).
现在我们取笛卡尔坐标\(\qty{x,y,z}\), 此时可用Claim 2求法余矢: 将\(S^2\)看作\(f=x^2+y^2+z^2-R^2=0\)给出的超曲面, 计算 \[ \nabla_af=(\dd{f})_a=2x(\dd{x})_a+2y(\dd{y})_a+2z(\dd{z})_a \] 可以得到归一化的法矢和法余矢(场) \[ \Align{ n^a &= \frac1R \bqty{ x\pqty{\pdv{x}}^a+y\pqty{\pdv{y}}^a+z\pqty{\pdv{z}}^a}, \\ n_a &= \frac1R \bqty{ x(\dd{x})_a+y(\dd{y})_a+z(\dd{z})_a}, } \] 其中\(R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). 现在可以计算诱导度规场的分量 \[ h_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu}-n_\mu n_\nu = \pmqty{ 1-\frac{x^2}{R^2} & -\frac{xy}{R^2} & -\frac{xz}{R^2} \\ -\frac{xy}{R^2} & 1-\frac{y^2}{R^2} & -\frac{yz}{R^2} \\ -\frac{xz}{R^2} & -\frac{yz}{R^2} & 1-\frac{z^2}{R^2} }, \] 投影映射场的分量同上.