梁GR | 2 内禀曲率张量
梁灿彬, 周彬《微分几何入门与广义相对论》第三章的笔记.
3 Intrinsic Curvature Tensors
3.1 Derivative operators
无挠导数算符(torsion free derivative operator). 记\(\mathcal{F}_M(k,l)\)为光滑流形\(M\)上的\((k,l)\)型\(C^\infty\)张量场的集合. 若算符\(\nabla_a:\mathcal{F}_M(k,l)\to\mathcal{F}(k,l+1)\)满足如下条件:
- 线性性, \(\nabla_a(\alpha T^{\dots}{}_{\dots}+S^{\dots}{}_{\dots})=\alpha\nabla_a T^{\dots}{}_{\dots}+\nabla_a S^{\dots}{}_{\dots}\).
- Lebniz法则, \(\nabla_a(T^{\dots}{}_{\dots}S^{\dots}{}_{\dots})=T^{\dots}{}_{\dots}\nabla_aS^{\dots}{}_{\dots}+(\nabla_aT^{\dots}{}_{\dots})S^{\dots}{}_{\dots}\).
- 与缩并可交换, \({\rm C}\circ\nabla=\nabla\circ{\rm C}\).
- 规定与\((0,0)\)型张量场作用的结果, \(v^a(\nabla_af)=v(f)\).
- 进一步有\(\nabla_af=(\dd{f})_a\).
- 无挠性(torsion free), \(\nabla_a(\nabla_bf)=\nabla_b(\nabla_af)\).
则称\(\nabla_a\)为\(M\)上的一个无挠导数算符. 今后的导数算符默认是无挠导数算符.
不同导数算符差别的刻画.
一个流形上的导数算子不光存在, 而且有很多. 它们作用在某个\((0,0)\)型张量场的结果均相同, 故其区别只有在作用在非\((0,0)\)型张量场时才能体现出来: 设\(\omega_b,\omega_b'\)为两个对偶矢量场, 且\(\omega_b|_p=\omega'_b|_p\), 则一般来说\(\nabla_a\omega_b|_p\)和\(\nabla_a\omega'_b|_p\)是不同的. 然而, 有趣的是, 对于两个导数算符\(\nabla_a,\tilde\nabla_a\), 其"差值"\(\tilde\nabla_a-\nabla_a\)分别作用于\(\omega_b,\omega'_b\)后在\(p\)点取值是相同的.
Claim 1 若\(\omega_b|_p=\omega'_b|_p\), 则\([(\tilde\nabla_a-\nabla_a)\omega_b]_p=[(\tilde\nabla_a-\nabla_a)\omega'_b]_p\).
Pf 即证\([\nabla_a(\omega_b-\omega'_b)]_p=[\tilde\nabla_a(\omega_b-\omega'_b)]_p\).
置\(\Omega_b:=\omega_b-\omega'_b\), 其在坐标基底下展开为\(\Omega_b=\Omega_\mu(\dd{x}^\mu)_b\), 于是 \[ \lhs =[\nabla_a\Omega_\mu(\dd{x}^\mu)_b]_p =[(\dd{x}^\mu)_b\nabla_a\Omega_\mu]_p + [\orange{\Omega_\mu}\nabla_a(\dd{x}^\mu)_b]_p =[(\dd{x}^\mu)_b \nabla_a\Omega_\mu]_p. \] (注意到\(\orange{\Omega_\mu|_p=0}\)) 同理可得 \[ \rhs = [(\dd{x}^\mu)_b \tilde\nabla_a\Omega_\mu]_p. \] 根据定义的第4条有\(\nabla_a\Omega_\mu=\tilde\nabla_a\Omega_\mu\), 即\(\lhs=\rhs\).
这个定理告诉我们, 给定\((0,1)\)型张量\(\mu_b\in V^*_p\), 对于所有在\(p\)点取值为\(\mu_b\)的矢量场\(\omega_b\)(称为\(\mu_b\)的延拓), \([(\tilde\nabla_a-\nabla_a)\omega_b]\)是一个固定的\((0,2)\)型张量. 这种对应关系\(\mu_c\mapsto[(\tilde\nabla_a-\nabla_a)\omega_b]\)是一个线性映射, 更具体地说是一个\((1,2)\)型张量, 记作\(C^c{}_{ab}\), 于是 \[ \nabla_a\omega_b = \tilde\nabla_a\omega_b - C^c{}_{ab}\omega_c. \] \(C^c{}_{ab}\)是与\(p\)点有关的张量, 它构成\(M\)上的一个\((1,2)\)型张量场.
Claim 2
(下指标对称) \(C^c{}_{ab}=C^c{}_{ba}\).
(不同导数算符作用于矢量的差别) \(\nabla_a v^b=\tilde\nabla_av^b + C^b{_{ac}}v^c\).
(不同导数算符作用于一般张量的差别) \[ \nabla_a T^{b_1\dots b_k}{_{c_1\dots c_l}} =\tilde\nabla_a T^{b_1\dots b_k}{_{c_1\dots c_l}} +\sum_{i=1}^k C^{b_i}{_{ad}} T^{b_1\dots d\dots b_k}{_{c_1\dots c_l}} -\sum_{j=1}^l C^{d}{_{ac_j}} T^{b_1\dots b_k}{_{c_1\dots d\dots c_l}}. \]
普通导数算符与协变导数算符.
给定坐标域\(O\), 取算符\(\partial_a:\mathcal{F}_O(k,l)\to\mathcal{F}_O(k,l+1)\). 对于\(T^{b\dots}{_{c\dots}} = T^{\nu\dots}{_{\sigma\dots}} \pqty{\pdv{x^\nu}}^{b} \cdots (\dd{x^{\sigma}})_{c} \cdots\), 满足 \[ \partial_a T^{b\dots}{_{c\dots}}:= (\dd{x}^\mu)_a \pdv{T^{\nu\dots}{_{\sigma\dots}}}{x^\mu} \pqty{\pdv{x^\nu}}^{b} \cdots (\dd{x^{\sigma}})_{c} \cdots. \] 可以验证, 这个算符是无挠导数算符, 称之为普通导数(ordinary derivative)算符. 上面的这个条件其实是说, 张量"导数的分量"等于"分量的偏导".
- \(\partial_a\)满足比无挠性更强的条件, \(\partial_a(\partial_b T)=\partial_b(\partial_aT)\), 对任意张量场\(T\). 即\(\partial_{(a}\partial_{b)}=\partial_a\partial_b\).
- 坐标基矢的普通导数为零.
\(\partial_a\)的定义依赖于坐标系, 而我们称与坐标系无关的导数算符为协变导数(covariant derivative)算符, 记作\(\nabla_a\). 我们把刻画普通导数算符\(\partial_a\)与协变导数算符\(\nabla_a\)差别的\(C^c{_{ab}}\)称\(\nabla_a\)在该坐标系下的克氏符(Christoffel symbol), 记作\(\Gamma^c{_{ab}}\). 有 \[ \nabla_a\omega_b = \partial_a\omega_b - \Gamma^c{_{ab}}\omega_c. \]
克氏符的定义是依赖于坐标系的: \(\nabla_a\)在不同坐标系\(\qty{x^\mu},\qty{x'^\mu}\)下有不同的克氏符\(\Gamma^c{_{ab}}\)和\(\bar\Gamma^c{_{ab}}\).
然而\(\Gamma^c{_{ab}}\)在\(\qty{x^\mu},\qty{x'^\mu}\)下的分量\(\Gamma^{\sigma}{_{\mu\nu}}\)和\(\Gamma'^{\sigma}{_{\mu\nu}}\)确实符合张量变换律(\(\bar\Gamma^c{_{ab}}\)亦然).
类似地, 普通导数\(\partial_av^b\)也依赖于坐标系, 其展开为\(\displaystyle\partial_a v^b = (\dd{x}^\mu)_a \pqty{\pdv{x^\nu}}^b \pdv{v^\nu}{x^\mu}\). 记\(\displaystyle v^\nu{}_{,\mu}\equiv\partial_\mu v^\nu\equiv\pdv{v^\nu}{x^\mu}\).
设坐标系\(\qty{x^\mu},\qty{x'^\mu}\)下的普通导数算符分别为\(\partial_a,\partial_a'\), 则\(\partial_av^b,\partial_a'v^b\)一般不同.
然而, \(\partial_av^b\)在\(\qty{x^\mu},\qty{x'^\mu}\)下的分量是满足变换律的.
协变导数\(\nabla_av^b\)是不依赖于坐标系的张量场. 记其分量为\(v^\nu{}_{;\mu}\), 于是\(\displaystyle\partial_a v^b = (\dd{x}^\mu)_a \pqty{\pdv{x^\nu}}^b v^\nu{_{;\mu}}\).
Claim 3 \(v^\nu{_{;\mu}} = v^\nu{_{,\mu}} + \Gamma^\nu{_{\mu\sigma}}v^\sigma\)且\(\omega_{\nu\,;\mu}=\omega_{\nu\,,\mu}-\Gamma^\sigma{_{\mu\nu}}\omega_\sigma\).
Claim 4 选定坐标场, 对于任一导数算符\(\nabla_a\), 有 \[ \pqty{\pdv{x^\tau}}^b\nabla_b\pqty{\pdv{x^\mu}}^a =\Gamma^\sigma{_{\mu\tau}}\pqty{\pdv{x^\sigma}}^a \]
- 左边表示第\(\mu\)基底场沿着第\(\tau\)基底场的导数.
- 这可作为克氏符的等价定义.
Claim 5 定义的条件3, 与缩并可交换顺序\({\rm C}\circ\nabla=\nabla\circ{\rm C}\)等价于\(\nabla_a\delta^b{_c}=0\), 其中\((1,1)\)型张量场\(\delta^b{_c}\)定义为\(\delta^b{_c}v^c=v^b\), 对于任意\(v^c\in V_p, p\in M\).
矢量场的对易子.
对易子的定义\([u,v](f):=u(v(f))-v(u(f))\)是依赖于函数的, 我们可以借助导数算符给出不依赖于函数的表达式.
Claim 6 对任意导数算符\(\nabla_a\), 有\([u,v]^a=u^b\nabla_bv^a-v^b\nabla_bu^a\).
Pf 一方面, \[ \Align{ [u,v](f) &= u(v(f))-v(u(f)) \\ &= u^b\nabla_b(v^a\nabla_af) - v^b\nabla_b(u^a\nabla_af) \\ &= u^b(\nabla_bv^a)(\nabla_af) + u^bv^a\nabla_b\nabla_af -v^b(\nabla_bu^a)(\nabla^af) - v^bu^a\nabla_b\nabla_af \\ &= (u^b\nabla_bv^a-v^b\nabla_bu^a)(\nabla_af), } \] 其中第二个等号利用了导数算符定义第4条, 第三个等号利用了Lebniz律和与缩并可交换, 第四个等号利用了无挠性.
另一方面, 由定义第4条, \([u,v](f) = [u,v]^a\nabla_af\), 即证.
3.2 Parallel transport and derivative along a curve
矢量场沿曲线平移(parallelly transported along a curve). 设\(v^a\)是沿曲线\(C(t)\)的矢量场, \(T^b\)为\(C(t)\)的切矢, 如果\(T^b\nabla_bv^a=0\), 则称\(v^a\)是沿\(C(t)\)平移的. 其中, \(T^b\nabla_bv^a\)可以理解为\(v^a\)沿着\(T^b\)方向上的导数.
Claim 1 曲线\(C(t)\)以及其上一点的矢量可以唯一确定一个沿\(C(t)\)平移的矢量场.
Pf 我们先推导矢量场沿曲线平移方程的坐标表示. 不妨取包含\(C(t)\)的坐标域\(O\), 曲线参数式\(x^\mu(t)\), 则 \[ \Align{ T^b \nabla_b v^a &= T^b (\partial_b v^a + \Gamma^a{_{bc}}v^c) \\ &= T^b \bqty{ (\dd{x^\nu})_b \pqty{\pdv{x^\mu}}^a \pdv{v^\mu}{x^\nu} + (\dd{x^\nu})_b \pqty{\pdv{x^\mu}}^a \Gamma^\mu{_{\nu\sigma}}v^\sigma } \\ &= \pqty{ \pdv{v^\mu}{x^\nu}T^\nu + \Gamma^\mu{_{\nu\sigma}}T^\nu v^\sigma } \pqty{\pdv{x^\mu}}^a \\ &= \pqty{ \pdv{v^\mu}{x^\nu}\dv{x^\nu}{t} + \Gamma^\mu{_{\nu\sigma}}T^\nu v^\sigma } \pqty{\pdv{x^\mu}}^a \\ &= \pqty{ \dv{v^\mu}{t} + \Gamma^\mu{_{\nu\sigma}}T^\nu v^\sigma } \pqty{\pdv{x^\mu}}^a. } \] (第五个等号使用了链式法则) 于是\(T^b\nabla_bv^a=0\)的坐标方程就是 \[ \dv{v^\mu}{t} + \Gamma^\mu{_{\nu\sigma}}T^\nu v^\sigma = 0. \] (\(\mu=1,\dots,n\)) 这是关于\(v^\mu\)的一阶线性常微分方程组, 给定初值\(v^\mu(t_0)\)后有唯一解, 即证.
有了平移的概念之后, 就可以将\(M\)中两点\(p,q\)上的矢量联系起来. 取一条曲线\(C(t)\)过\(p,q\), 对\(V_p\)中的元素\(v^a\), 它可以唯一确定一个沿\(C(t)\)平移的矢量场, 这个矢量场在\(q\)的值就称为\(v^a\)平移到\(q\)的结果. 这种平移依赖于曲线\(C(t)\)的选择. 由于\(\nabla_a\)将\(V_p\)和\(V_q\)联系了起来, 所以也称\(\nabla_a\)为(无挠)联络(connection).
与度规适配的导数算符.
设\((M,g_{ab})\)为度规流形, 并有联络\(\nabla_a\). 曲线\(C(t)\)上有两个沿其平移的矢量场\(v^a,u^b\), 我们希望平移不改变内积, 也就是内积沿着曲线的导数为零, 即\(T^c\nabla_c(g_{ab}v^au^b) = 0\). 利用Lebniz律展开有 \[ \Align{ (T^c\nabla_cg_{ab})v^au^b + g_{ab}(T^c\nabla_cv^a)u^b + g_{ab}v^a(T^c\nabla_cu^b) = 0 } \] 因为\(v^a,u^b\)沿\(C(t)\)平移, 所以\(T^c\nabla_cv^a=T^c\nabla_cu^b=0\), 上式化为 \[ (T^c\nabla_cg_{ab})v^au^b = 0 \] 又根据\(C(t), v^a, u^b\)的任意性, 则有 \[ \nabla_c g_{ab}=0 \] 满足这个条件的\(\nabla_c\)称为与度规\(g_{ab}\)适配的导数算符(也成为Levi-Civita联络, 或黎曼联络), 它一定是一个协变的导数算符.
Claim 2 对于\((M,g_{ab})\), 与度规\(g_{ab}\)适配的导数算符存在且唯一.
Pf 任取导数算符\(\tilde\nabla_a\), 现在要找到合适的\(C^c{}_{ab}\), 使得\(\nabla_a\)与度规适配. 利用上一节的Claim 3, \[ 0 =\nabla_cg_{ab} =\tilde\nabla_cg_{ab} - C^d{}_{ca}g_{db} - C^d{}_{cb}g_{ad} =\tilde\nabla_cg_{ab} - C_{bca} - C_{acb}, \] 即\(C_{bca}+C_{acb}=\tilde\nabla_cg_{ab}\). 交换指标可以得到另外两个方程, 组成方程组 \[ \Cases{ C_{bca}+C_{acb}=\tilde\nabla_cg_{ab}, \\ C_{cba}+C_{abc}=\tilde\nabla_bg_{ac}, \\ C_{cab}+C_{bac}=\tilde\nabla_ag_{bc}. \\ } \] 由\(C\)的对称性, 二式加三式减一式得到 \[ C_{cab} = \frac12( \tilde\nabla_bg_{ac} + \tilde\nabla_ag_{bc} - \tilde\nabla_cg_{ab} ). \] 升指标得到 \[ C^c{_{ab}} = \frac12 g^{cd}( \tilde\nabla_bg_{ad} + \tilde\nabla_ag_{bd} - \tilde\nabla_dg_{ab} ). \] 这个\(C^c{_{ab}}\)与\(\tilde\nabla_a\)结合得到的\(\nabla_a\)便是\(\nabla_a g_{bc}=0\)的解. 这个解是唯一的, 因为如果\(\nabla'_a\)也满足\(\nabla_a' g_{bc}=0\), 那么将上式中的\(\tilde\nabla_a\)代成\(\nabla'_a\)可以得到反映\(\nabla_a\)与\(\nabla'_a\)差别的\(C^c{_{ab}}=0\).
给定度规流形\((M,g_{ab})\)后, 就相当于给了一个与\(g_{ab}\)相适配的导数算符. 后文中, 度规流形上的导数算符默认是与度规适配的.
- 与欧氏度规\(\delta_{ab}\)(闵氏度规\(\eta_{ab}\))适配的导数算符是笛卡尔坐标系(洛伦兹坐标系)的普通导数算符\(\partial_a\).
取坐标系及\(\partial_a\), 则在这个坐标系下\(\Gamma^c{_{ab}}\)的分量可以利用Claim 2计算: \[ \Align{ \Gamma^\sigma{_{\mu\nu}} &=\Gamma^c{_{ab}}(\dd{x^\sigma})_c\pqty{\pdv{x^\mu}}^a\pqty{\pdv{x^\nu}}^b \\ &=\frac12(\dd{x^\sigma})_c\pqty{\pdv{x^\mu}}^a\pqty{\pdv{x^\nu}}^b g^{cd}(\partial_ag_{bd}+\partial_bg_{ad}-\partial_dg_{ab}) \\ &=\frac12 g^{\sigma\rho}( g_{\nu\rho,\mu} + g_{\mu\rho,\nu} - g_{\mu\nu,\rho} ). } \]
四维空间中, \(\Gamma^\sigma{_{\mu\nu}}\)一共有\(4^3=64\)个分量, 但由于下标的对称性, 只有\(40\)个独立分量.
一般地, \(n\)维空间的克氏符有\(\dfrac{n^2(n+1)}2\)个独立分量.
记忆方法, \[ \Gamma^{\green{\sigma}}{_{\blue{\mu\nu}}} =\frac12 g^{ \green{\sigma} \rho }( g_{\rho{\blue{\mu}},{\blue\nu}} + g_{\rho{\blue{\nu}},{\blue\mu}} - g_{ {\blue{\mu\nu}},\rho} ). \]
沿曲线的导数. 设曲线切矢\(T^a\), 则某张量场\(S\)沿曲线的导数为\(T^a\nabla_aS\), 也可以用记号\(\dfrac{ {\rm D}S}{\dd{t} }\).
3.3 Geodesics
测地线.
对于流形\((M,\nabla_a)\)上的一条曲线, 若其切矢沿曲线平移, 即\(T^b\nabla_bT_a=0\), 则称其(仅在这个参数化下)为一条测地线(geodesic). 取定坐标系, 参考矢量场沿曲线平移的坐标方程, 我们可以写出测地线坐标方程(将\(v^\mu\)代成\(T^\mu=\dv{x^\mu}{t}\)), \[ \dv[2]{x^\mu}{t} + \Gamma^{\mu}{_{\nu\sigma}} \dv{x^\nu}{t} \dv{x^\sigma}{t} = 0. \]
欧氏度规(或闵氏度规)的克氏符为零, 所以测地线方程的解为\(x^\mu(t)=a^\mu t+b^\mu\)(\(a^\mu,b^\mu\)为常数且\(a^\mu\)非零.) 可见, 测地线可以看作"直线(段)"概念的推广.
由于平移不改变内积, 所以洛伦兹度规下测地线总共可分为类时, 类光, 类空三种.
二维球面的诱导度规\(g_{\theta\theta}=R^2, g_{\theta\phi}=g_{\phi\theta}=0,g_{\phi\phi}=R^2\sin^2\theta\), 可算出克氏符的全部非零分量为 \[ \Gamma^\theta{_{\phi\phi}} = -\sin\theta\cos\theta, \quad \Gamma^\phi{_{\theta\phi}} = \Gamma^\phi{_{\phi\theta}} = \cot\theta. \] 于是测地线方程为 \[ \left\{\Align{ &\dv[2]{\theta}{t} - \sin\theta\cos\theta\pqty{\dv{\phi}{t}}^2 = 0, \\ &\dv[2]{\phi}{t} + \cot\theta\dv{\theta}{t}\dv{\phi}{t} = 0. }\right. \]
Claim 1 一点\(p\)及\(p\)点的一个矢量\(v^a\)唯一确定一条测地线\(\gamma(t)\), 满足\(\gamma(0)=p\)且\(\gamma(t)\)在\(t=0\)处切矢为\(v^a\).
Claim 2 对于曲线\(C:I\to M\),
- 若其为测地线, 则其重参数化后必有\(T'^b\nabla_bT'^a = \alpha T'^a\)(其中\(\alpha:I\to\R\)).
- 若其切矢满足\(T^b\nabla_bT^a = \alpha T^a\), 则其必定可以重参数化为测地线.
Pf
设\(T'^b\)是\(C(t)\)重参数化为\(C'(t')\)后的切矢, 则\(T^b=(\pdv{t})^b=\dv{t'}{t}(\pdv{t'})^b=\dv{t'}{t}T'^b\), 代入测地线方程有 \[ \Align{0 &=\dv{t'}{t}T'^b \nabla_b \pqty{ \dv{t'}{t}T'^a } \\ &=\pqty{\dv{t'}{t}}^2 T'^b \nabla_b T'^a + \dv{t'}{t}T'^b T'^a \nabla_b \dv{t'}{t} \\ &=\pqty{\dv{t'}{t}}^2 T'^b \nabla_b T'^a + T'^a \dv[2]{t'}{t}, } \] (最后一步是因为\(\dv{t'}{t}T'^b T'^a \nabla_b \dv{t'}{t}=T'^a\dv{t'}{t} T'(\dv{t'}{t})=T'^a \dv{t'}{t} \pdv{t'}\dv{t'}{t}=T'^a\dv[2]{t'}{t}\))
设\(\alpha(t):=-\dv[2]{t'}{t} \Big/ \pqty{\dv{t'}{t}}^2\)即证.
设\(T'^b\)是重参数化后的切矢, 有\(T^b = \dv{t'}{t}T'^b\), 代入\(T^b\nabla_bT^a = \alpha T^a\)有 \[ \Align{ \dv{t'}{t}T'^b \nabla_b \pqty{\dv{t'}{t}T'^a} &= \alpha \dv{t'}{t}T'^a, \\ \dv[2]{t'}{t} T'^a + \pqty{\dv{t'}{t}}^2 T'^b\nabla_bT'^a &= \alpha \dv{t'}{t} T'^a. } \] 测地线方程要求\(T'^b\nabla_bT'^a=0\), 于是\(\dv[2]{t'}{t}=\alpha\dv{t'}{t}\), 解出\(t'(t)\)即可.
使得曲线成为测地线的参数称为其仿射参数(affine parameter). 为了区分, 将满足\(T^b\nabla_bT^a = \alpha T^a\)(\(\alpha\)不恒为零)的参数称为非仿射参数.
Claim 3 对于测地线\(C(t)\), 其中\(t\)为仿射参数,
- \(t'\)为仿射参数当且仅当\(t'=at+b\)(\(a,b\)为常数且\(a\neq0\)).
- 其线长参数必为仿射参数.
Pf
- \(C(t)\)重参数化后为\(C'(t')\). 若\(t'=at+b\), 则Claim 2的证明1中, \(\alpha(t)=0\), \(t'\)为仿射参数; 反过来, 若\(t'\)为仿射参数, 则Claim 2的证明2中, \(t'(t)\)满足的微分方程变为\(\dv[2]{t'}{t}=0\), 通解为\(t'=at+b\).
- 因为\(\nabla_a\)与\(g_{ab}\)适配, 所以\(|T|=\sqrt{g(T,T)}\)沿曲线不变, 因此线长\(l(t)=\int_{t_0}^t|T|\dd{\tau}=|T|(t-t_0)\), (又已知\(t\)为仿射参数)根据上一个命题, \(l\)为仿射参数.
Claim 4 设流形\(M\)上的洛伦兹度规场\(g_{ab}\), 两点\(p,q\), 则\(p,q\)间的光滑类空(类时)曲线为测地线当且仅当其线长取极值.
- 也适用于\(g_{ab}\)正定(黎曼)的情况, 此时定语"类空(类时)"略去.
- 取极值是一个局部性质, 含义如下: 设\(c\)为\(p,q\)间光滑类时(类空)曲线, 则可对它进行微小修改(变分)得到许多"无限邻近"的类时(类空)曲线, 而\(c\)为测地线的充要条件是其长度\(l\)在所有这些曲线的长度中取极值. 根据变分理论, \(l\)取极值当且仅当其变分\(\var{l}=0\).
指数映射与黎曼法坐标.
既然点\(p\)和一个切矢\(v^a\in V_p\)唯一确定一条测地线\(\gamma(t)\), 那么我们就可以定义\(p\)点的指数映射(exponential map) \[ \exp_p: V_p\,\textsf{(或其子集)}\to M,\quad v^a \mapsto\gamma(1) \] 其中\(\gamma(t)\)以\(p\)为仿射参数的零点. 零元\(0\)的像\(\exp_p=p\). 由测地线方程的线性性可知, \(\exp_p(tv)=\gamma(t)\).
- 需要注意的是, \(M\)中不一定存在满足测地线参数\(t=1\)的点, 此时\(v^a\)无像, 需要把这样的\(v^a\)排除在外, 所以\(\exp_p\)的定义域可能只是\(V_p\)的(含有零元的)子集.
- 定义不能保证\(\exp_p\)的单射性和满射性, 然而只需对定义域和陪域作出适当限制, 就能保证\(\exp_p\)是双射, 而且是微分同胚.
Claim 5 对于任意\(p\in M\), 总存在\(V_p\)的含有零元的开子集\(\hat{V}_p\), \(M\)的含有\(p\)的开子集\(N\), 使得\(\exp_p:\hat{V}_p\to N\)是微分同胚. (此时称\(N\)为\(p\)点的法邻域(normal neighborhood).)
利用微分同胚\(\exp_p:\hat{V}_p\to N\)可以在\(N\)上定义坐标. 选定\(V_p\)的一个正交归一基底\(\qty{(e_\mu)^a}\), 我们把\(q\in N\)的原像点\(v^a=(\exp_p)^{-1}\in\hat{V}_p\)在这个基底下的坐标定义为\(q\)点的坐标. 这样的坐标系称为\(p\)点的黎曼法坐标(Riemannian normal coordinates)系. 坐标函数\(x^\mu\)可以写作\(x^\mu=e^\mu\circ\exp_p^{-1}\).
- 在黎曼法坐标系下, 过\(p\)点的测地线的表达式十分简单. 设\(N\)上的测地线\(\gamma(t)\)满足\(\gamma(0)=p\). 取矢量\(v^a\)满足\(\exp_pv=\gamma(1)\), 则有\(\exp_p(tv)=\gamma(t)\), 则 \[ x^\mu(\gamma(t)) = e^\mu[\exp_p^{-1}(\gamma(t))] = e^\mu(tv) = tv^\mu. \] 所以, 测地线坐标式就是坐标系中的直线.
- 由此可以推出, 黎曼法坐标系下克氏符为零.
3.4 Riemann curvature tensors
黎曼曲率张量.
导数算符的无挠性体现在其对易子\((\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\)作用于标量场\(f\)的结果为零; 然而对易子作用于其它类型的张量场未必为零, 黎曼曲率张量正是这种非对易性的体现.
Claim 1 设张量场\(\omega_c|_p=\omega_c'|_p\), 则\([(\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\omega_c]_p=[(\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\omega_c']_p\).
这个定理表明, \((\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\)是将某点的\((0,1)\)型张量映为\((0,3)\)型张量的线性映射: 取定\(p\)点的对偶矢量, 将其延拓为对偶矢量场\(\omega_c\), 再取\([(\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\omega_c]_p\)即可, 此定理可保证这个像与延拓方式无关. 将这个线性映射记作\(R_{abc}{^d}\), 称为黎曼曲率张量(Riemann curvature tensor), 于是 \[ (\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\omega_c = R_{abc}{^d}\omega_d, \] 当\(p\)点变化时, \(R_{abc}{^d}\)构成一个\((1,4)\)型张量场.
- 一个度规流形\((M,g_{ab})\)的黎曼张量指的是与\(g_{ab}\)适配的那个\(\nabla_a\)的黎曼张量. 黎曼张量场为零的空间称为平直空间(flat space).
Claim 2
(导数对易子作用于矢量场) \((\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)v^c = -R_{abd}{^c}v^d\).
(导数对易子作用于任意张量场) \[ (\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a) T^{c_1\dots c_k}{_{d_1\dots d_l}} = -\sum_{i=1}^k R_{abe}{^{c_i}} T^{c_1\dots e\dots c_k}{_{d_1\dots d_l}} +\sum_{i=1}^k R_{abd_j}{^e} T^{c_1\dots c_k}{_{d_1\dots e\dots d_l}}. \]
Claim 3 黎曼曲率张量的性质.
- (前两个指标反对称) \(R_{abc}{^d} = -R_{bac}{^d}\).
- (循环恒等式) \(R_{[abc]}{^d}=0\).
- (Bianchi恒等式) \(\nabla_{[a}R_{bc]d}{^e}=0\).
若有与导数算符适配的度规场\(g_{ab}\), 则可用度规降指标\(R_{abcd}=g_{de}R_{abd}{^d}\), 进一步有
- (后两个指标反对称) \(R_{abcd}=-R_{abdc}\).
- (前后两组指标对称) \(R_{abcd}=R_{cdab}\).
- 第1,2条的推论为\(\sum_{ {\rm cyc}(abc)}R_{abc}{^d}\equiv R_{abc}{^d}+R_{bca}{^d}+R_{cab}{^d}=0\).
- 对于\(n\)维流形, 黎曼张量\(R_{abc}{^d}\)一共有\(n^4\)个分量, 但是由于以上性质, 其中只有\(\dfrac{n^2(n^2-1)}{12}\)个独立分量.
一个\((1,1)\)型张量\(T^a{_b}\)的迹(trace)定义为\(T^a{_a}=T^\mu{_\mu}\in\R\). 而对于\((0,2)\)型张量\(T_{ab}\), 可以先将其用度规升指标\(T^a{_b}=g^{ac}T_{cb}\), 再缩并求迹\(T^a{_a}=g^{ac}T_{ca}\). 对于\((0,4)\)型张量\(R_{abcd}\), 也可以类似地得到如下六个"迹": \[ \mqty{ g^{ab}R_{abcd}, & g^{ac}R_{abcd}, & g^{ad}R_{abcd}, \\ g^{cd}R_{abcd}, & g^{bd}R_{abcd}, & g^{bc}R_{abcd}. } \] 利用黎曼曲率张量的性质, 可以发现每一列的上下两个迹相等, 且第一列为零, 第二列和第三列差一个负号. 于是六个迹中只有一个独立, 我们定义\(R_{ac}=g^{bd}R_{abcd}\)为里奇张量(Ricci tensor).
- 需要注意的是, 因为\(g^{bd}R_{abcd}=R_{abc}{^b}\), 所以里奇张量的定义是不依赖于度规的.
里奇张量的迹称为标量曲率(scalar curvature), 定义为\(R:=g^{ac}R_{ac}\).
在维数\(n\ge3\)的广义黎曼空间中, \(R_{abcd}\)的无迹部分称为外尔张量(Weyl tensor), 定义为 \[ C_{abcd}:=R_{abcd} -\frac2{n-2} (g_{a[c}R_{d]b} - g_{b[c}R_{d]a}) +\frac2{(n-1)(n-2)}R g_{a[c}g_{d]b}. \] Claim 4 外尔张量的性质.
- \(C_{abcd}=-C_{abdc}=-C_{bacd}=C_{cdab}\)且\(C_{[abc]d}=0\).
- 各种迹都为零, 如\(g^{ac}C_{abcd}=0\).
广义黎曼空间的爱因斯坦张量(Einstein tensor)定义为 \[ G_{ab}:=R_{ab}-\frac12Rg_{ab}. \] Claim 5 爱因斯坦张量满足\(\nabla^aG_{ab}=0\), 其中\(\nabla^a = g^{ac}\nabla_c\).
由度规计算黎曼曲率张量.
利用定义式\(R_{abc}{^d}\omega_d=2\nabla_{[a}\nabla_{b]}\omega_c\), 先将右边展开来, \[ \Align{ \nabla_a (\nabla_b \omega_c) &=\partial_a(\nabla_b\omega_c) -\Gamma^d{_{ab}}\nabla_d\omega_c - \Gamma^d{_{ac}}\nabla_b\omega_d \\ &=\partial_a(\partial_b\omega_c - \Gamma^e{_{bc}}\omega_e) -\Gamma^d{_{ab}}\nabla_d\omega_c - \Gamma^d{_{ac}}\nabla_b\omega_d \\ &=(\partial_a\partial_b\omega_c -\Gamma^e{_{bc}}\partial_a\omega_e - \omega_e\partial_a\Gamma^e{_{bc}}) -\Gamma^d{_{ab}}\nabla_d\omega_c -(\Gamma^d{_{ac}}\partial_b\omega_d - \Gamma^d{_{ac}}\Gamma^e{_{bd}}\omega_e), } \] 一共\(6\)项. 于是(利用圆括号和方括号的性质, 以及\(\Gamma\)下标的对称性) \[ \Align{ \nabla_{[a} \nabla_{b]} \omega_c &=(0 -\orange{\Gamma^e{_{c[b}}\partial_{a]}\omega_e} -\omega_e\partial_{[a}\Gamma^e{_{b]c}}) -0 -(\orange{\Gamma^d{_{c[a}}\partial_{b]}\omega_d} -\Gamma^d{_{c[a}}\Gamma^e{_{b]d}}\omega_e) \\ &= -\omega_e\partial_{[a}\Gamma^e{_{b]c}} +\Gamma^d{_{c[a}}\Gamma^e{_{b]d}}\omega_e \\ &=(-\partial_{[a}\Gamma^d{_{b]c}}+\Gamma^e{_{c[a}}\Gamma^d{_{b]e}}) \omega_d, } \] (其中注意到橙色部分差一个负号; 第三步把指标\(d\)和\(e\)互换了) 因此可以写出黎曼曲率张量的表达式 \[ \Align{ R_{abc}{^d} &= -\partial_{[a}\Gamma^d{_{b]c}}+\Gamma^e{_{c[a}}\Gamma^d{_{b]e}} \\ &= \partial_{b}\Gamma^d{_{ac}}-\partial_{a}\Gamma^d{_{bc}}+ \Gamma^e{_{ca}}\Gamma^d{_{be}}+\Gamma^e{_{cb}}\Gamma^d{_{ae}}. } \] 选定坐标基底场, 得到分量的表达式为 \[ R_{\mu\nu\sigma}{^\rho} =\Gamma^\rho{_{\mu\sigma,\nu}} - \Gamma^\rho{_{\nu\sigma,\mu}} +\Gamma^\lambda{_{\sigma\mu}}\Gamma^\rho{_{\nu\lambda}} +\Gamma^\lambda{_{\sigma\nu}}\Gamma^\rho{_{\mu\lambda}}. \]
记忆方法, \[ R_{ \blue{\mu\nu} \green\sigma}{^{ \orange\rho} } =\Gamma^{\orange\rho} {}_{ \blue\mu \green\sigma, \blue\nu } -\Gamma^{\orange\rho} {}_{ \blue\nu \green\sigma, \blue\mu } +\Gamma^\lambda{}_{ \blue\mu \green\sigma } \Gamma^{\orange\rho}{_{ \blue\nu \lambda} } +\Gamma^\lambda{}_{ \blue\nu \green\sigma } \Gamma^{\orange\rho}{_{ \blue\mu \lambda} }. \]
对二维球面, 取定球面坐标\(\qty{\theta,\phi}\), 根据之前算出的克氏符可以进一步算出黎曼曲率张量(只有一个独立分量) \[ R_{\phi\theta\phi\theta} = R_{\theta\phi\theta\phi} = -R_{\phi\theta\theta\phi} = -R_{\theta\phi\phi\theta} = R^2\sin^2\theta, \] 里奇张量 \[ R_{\theta\theta}=1,\quad R_{\phi\phi}=\sin^2\theta, \] 以及标量曲率\(\dfrac2{R^2}\).
3.5 Intrinsic and extrinsic curvatures
在微分流形\(M\)上选定一个度规\(g_{ab}\)后, 就自然有了一个适配的导数算符\(\nabla_a\), 进而有了黎曼曲率张量\(R_{abc}{^d}\). 这些由度规决定的性质都称为\((M,g_{ab})\)的内禀性质(intrinsic properties). "内禀弯曲性"描述的是空间的以下三个等价的性质.
- 导数算符的非对易性. \(\nabla_a\nabla_b\neq\nabla_b\nabla_a\), 用来定义黎曼曲率张量.
- 矢量平移的曲线依赖性. 内禀曲率\(R_{abc}{^d}\)非零的充要条件是存在闭合曲线, 使得线上某点的矢量沿曲线平移一周后和原来不相等.
- 存在初始平行而后来不平行的测地线. 例如球面上的两条经线.
而外曲率指的是把\(M\)镶嵌到更高维的流形后得到的曲率.